Cho hai số thực dương $\Large x, y$ thay đổi thỏa mãn hệ thức: $\Large

Cho hai số thực dương $\Large x, y$ thay đổi thỏa mãn hệ thức: $\Large 3+\ln \dfrac{x+y+1}{3xy}=9xy-3x-3y$. Tìm giá trị nhỏ nhất $\Large m$ của biểu thức $\Large P=xy$

 

• A.

  A. $\Large m=\dfrac{1}{3}$

   
• B.

  B. $\Large m=1$

   
• C.

  C. $\Large m=\dfrac{1}{2}$

   
• D.

  D. $\Large m=0$

Chọn B

Từ giả thiết ta có: 

$\Large 3+\ln\dfrac{x+y+1}{3xy}=9xy-3x-3y$$\Large \Leftrightarrow 3+\ln(x+y+1)-\ln(3xy)=9xy-3x-3y$

$\Large \Leftrightarrow \ln(x+y+1)+3(x+y+1)=\ln (3xy)+3(3xy)$$\Large \Leftrightarrow f(x+y+1)=f(3xy)$ (*)

Xét hàm số $\Large f(t)=\ln t+3t$ với $\Large t>0$, ta có: $\Large f'(t)=3+\dfrac{1}{t}>0, \forall t>0\Rightarrow f(t)$ là hàm số đồng biến

Khi đó:

$\Large (*)\Leftrightarrow x+y+1=3xy\Leftrightarrow 3xy-1=x+y\geq 2\sqrt{xy}$$\Large \Leftrightarrow 3xy-2\sqrt{xy}-1\geq0$

$\Large \Leftrightarrow (\sqrt{xy}-1)(3\sqrt{xy}+1)\geq 0\Leftrightarrow \sqrt{xy}\geq1 \Leftrightarrow xy\geq 1\Rightarrow P_{min}=1\Rightarrow m=1$