Xét các số thực dương $\Large a, b$ thỏa mãn $\Large \log_{2}\dfrac{1-

Xét các số thực dương $\Large a, b$ thỏa mãn $\Large \log_{2}\dfrac{1-ab}{a+b}=2ab+a+b-3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\Large P=a+2b$

 

• A.

  A. $\Large P_{\min}=\dfrac{2\sqrt{10}-3}{2}$

   
• B.

  B. $\Large P_{\min}=\dfrac{2\sqrt{10}-5}{2}$

   
• C.

  C. $\Large P_{\min}=\dfrac{3\sqrt{10}-7}{2}$

   
• D.

  D. $\Large P_{\min}=\dfrac{2\sqrt{10}-1}{2}$

Chọn A

Ta có: $\Large \log_{2}\dfrac{1-ab}{a+b}=2ab+a+b-3\Leftrightarrow \log_{2}(1-ab)-\log_{2}(a+b)$$\Large =2ab-2+a+b-1$

$\Large \Leftrightarrow \log_{2}(1-ab)+1+2(1-ab)=\log_{2}(a+b)+a+b$$\Large \Leftrightarrow\log_{2}[2(1-ab)]+2(1-ab)=\log_{2}(a+b)+a+b$

Xét hàm số $\Large f(t)=\log_{2}t+t, t>0$, ta có: $\Large f'(t)=\dfrac{1}{t\ln 2}+1>0, \forall t>0$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\Large (0; +\infty)$. Khi đó: $\Large f[2(1-ab)]=f(a+b)\Leftrightarrow 2(1-ab)=a+b$

Suy ra: 

$\Large 2ab+a+b=2\Leftrightarrow a=\dfrac{2-b}{1+2b}\Rightarrow P=\dfrac{2-b}{1+2b}+2b\Rightarrow P'=\dfrac{-5}{(1+2b)^2}+2=0 \Rightarrow b=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{\dfrac{5}{2}}-1\right)$

Khi đó: $\Large P_{\min}=\dfrac{2\sqrt{10}-3}{2}$