Giải bất phương trình $\Large \log_{3}\dfrac{5x+1}{(x-1)^2}\geq 3x^2-1

Giải bất phương trình $\Large \log_{3}\dfrac{5x+1}{(x-1)^2}\geq 3x^2-11x+3$ ta được tập nghiệm $\Large S$. Biết rằng $\Large S$ có dạng $\Large [a; b]\backslash\left \{ 1 \right \}$. Hãy tính $\Large T=(a+b)-ab$

 

• A.

  A. $\Large \dfrac{23}{3}$

   
• B.

  B. $\Large \dfrac{11}{3}$

   
• C.

  C. $\Large 3$

   
• D.

  D. $\Large \dfrac{10}{3}$

Chọn C

Điều kiện: $\Large \left\{\begin{matrix}x>-\dfrac{1}{5}\\ x\neq1\end{matrix}\right.$

$\Large \log_{3}\dfrac{5x+1}{(x-1)^2}\geq 3x^2-11x+3$

$\Large \Leftrightarrow \log_{3}(5x+1)-\log_{3}(x-1)^2\geq 3(x-1)^2-(5x+1)+1$

$\Large \Leftrightarrow \log_{3}(5x+1)+(5x+1)\geq \log_{3}(x-1)^2+3(x-1)^2+\log_{3}3$

$\Large \Leftrightarrow \log_{3}(5x+1)+(5x+1)\geq \log_{3}[3(x-1)^2]+3(x-1)^2$

$\Large \Leftrightarrow f(5x+1)\geq f[3(x-1)^2]$

Xét hàm $\Large f(t)=\log_{3}t+t$, với $\Large t>0$

$\Large f'(t)=\dfrac{1}{t\ln3}+1>0$ với $\Large \forall t>0$ nên hàm số đồng biến trên $\Large (0; +\infty)$

Nên: 

$\Large f(5x+1)\geq f[3(x-1)^2]$

$\Large \Leftrightarrow 5x+1\geq 3(x-1)^2 \Leftrightarrow 3x^2-11x+2\leq 0\Leftrightarrow \dfrac{11-\sqrt{97}}{6}\leq x\leq\dfrac{11+\sqrt{97}}{6}$

Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương là: $\Large \left[\dfrac{11-\sqrt{97}}{6}; \dfrac{11+\sqrt{97}}{6}\right]\backslash \left\{1\right\}$

vậy $\Large T=(a+b)-ab=3$