Tập nghiệm của bất phương trình $\Large \log_{2}(x\sqrt{x^2+2}+4-x^2)+

Tập nghiệm của bất phương trình  $\Large \log_{2}(x\sqrt{x^2+2}+4-x^2)+2x+\sqrt{x^2+2}\leq 1$ là $\Large \left(-\sqrt{a}; -\sqrt{b} \right ]$. Khi đó $\Large ab$ bằng 

 

• A.

  A. $\Large \dfrac{12}{5}$

   
• B.

  B. $\Large \dfrac{5}{12}$

   
• C.

  C. $\Large \dfrac{15}{16}$

   
• D.

  D. $\Large \dfrac{16}{15}$

Chọn D

Điều kiện: 

$\Large x\sqrt{x^2+2}+4-x^2>0\Leftrightarrow x(\sqrt{x^2+2}-x)+4>0$ 

$\Large \Leftrightarrow x.\dfrac{2}{\sqrt{x^2+2}+x}+4>0\Leftrightarrow \dfrac{2x+4(\sqrt{x^2+2}+x)}{\sqrt{x^2+2}+x}>0$ 

$\Large \Leftrightarrow 4\sqrt{x^2+2}+6x>0$ (vì $\Large \sqrt{x^2+2}+x>0, \forall x)$

$\Large \Leftrightarrow 2\sqrt{x^2+2}>-3x$  $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align}&-3x<0\\&\left\{\begin{matrix}-3x\geq0\\4(x^2+2)>(-3x)^2\end{matrix}\right.\\\end{align}\right.$ 

$\Large \Leftrightarrow\left[\begin{align}&x>0\\&\left\{\begin{matrix}x\leq0\\5x^2<8\end{matrix}\right. \\\end{align}\right.$  $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align}&x>0\\&-\dfrac{\sqrt{40}}{5}

Khi đó ta có: 

$\Large \log_{2}(x\sqrt{x^2+2}+4-x^2)+2x+\sqrt{x^2+2}\leq 1$ 

$\Large \Leftrightarrow \log_{2}\left(\dfrac{6x+4\sqrt{x^2+2}}{\sqrt{x^2+2}+x}\right)+2x+\sqrt{x^2+2}\leq 1$ 

$\Large \Leftrightarrow \log_{2}(6x+4\sqrt{x^2+2})-\log_{2}(\sqrt{x^2+2}+x)+2x+\sqrt{x^2+2}\leq 1 $ 

$\Large \Leftrightarrow \log_{2}[2(3x+2\sqrt{x^2+2})]-\log_{2}(\sqrt{x^2+2}+x)+2x+\sqrt{x^2+2}\leq 1$ 

$\Large \Leftrightarrow \log_{2}2+\log_{2}(3x+2\sqrt{x^2+2})-\log_{2}(\sqrt{x^2+2}+x)+2x+\sqrt{x^2+2}\leq 1$ 

$\Large \Leftrightarrow \log_{2}(3x+2\sqrt{x^2+2})+3x+2\sqrt{x^2+2x}\leq\log_{2}(\sqrt{x^2+2}+x)+x+\sqrt{x^2+2} (*) $

Xét hàm số: $\Large f(x)=t+\log_{2}t$  với $\Large t>0$  ta có: $\Large f'(t)=1+\dfrac{1}{t\ln2}>0$ với $\Large t>0$  nên $\Large f(t)$ là hàm đồng biến trên $\Large (0; +\infty)$ 

Từ đó: 

$\Large (*) \Leftrightarrow f(3x+2\sqrt{x^2+2})\leq f(x+\sqrt{x^2+2})$ 

$\Large \Leftrightarrow 3x+2\sqrt{x^2+2}\leq x+\sqrt{x^2+2}$ 

$\Large \Leftrightarrow  \sqrt{x^2+2}\leq -2x$  $\Large \Leftrightarrow\left\{\begin{align}&-2x\geq 0\\&x^2+2\leq 4x^2\\\end{align}\right.$ 

$\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&x\leq 0\\&3x^2\geq 2\\\end{align}\right.$  $\Large \Leftrightarrow\left\{\begin{align}&x\leq 0\\&\left[\begin{matrix}x\geq \dfrac{\sqrt{6}}{3}\\x\leq -\dfrac{\sqrt{6}}{3}\end{matrix}\right. \\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow x\leq -\dfrac{\sqrt{6}}{3}$

Kết hợp điều kiện $\Large \left[\begin{align}&x>0\\&-\dfrac{\sqrt{40}}{5}

Tập nghiệm của BPT là $\Large S=\left(-\sqrt{\dfrac{8}{5}}; -\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right]$  nên $\Large a=\dfrac{8}{5}; b=\dfrac{2}{3}\Rightarrow ab=\dfrac{16}{15}$