Cho các số thực $\Large x, y$ thỏa mãn $\Large x^2+4xy+12y^2=4$. Giá t

Cho các số thực $\Large x, y$ thỏa mãn $\Large x^2+4xy+12y^2=4$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $\Large P=\log_{2}(x-2y)^2$ là: 

• A.

  A. $\Large \max P=3\log_{2}2$

   
• B.

  B. $\Large \max P=\log_{2}12$

   
• C.

  C. $\Large \max P=12$

   
• D.

  D. $\Large \max P =16$

Chọn B

Điều kiện: $\Large x\neq 2y$. Từ $\Large x^2+4xy+12y^2=4$ suy ra: 

Nếu $\Large y=0$ thì $\Large x^2=4\Rightarrow P=2$

Nếu $\Large y\neq 0$ thì $\Large P=\log_{2}(x-2y)^2\Leftrightarrow 4(x-2y)^2=4.2^P$

$\Large \Rightarrow \dfrac{4.2^P}{4}=\dfrac{4(x-2y)^2}{x^2+4xy+12y^2}=\dfrac{4\left(\dfrac{x}{2y}-1\right)^2}{\left(\dfrac{x}{2y}\right)^2+2\dfrac{x}{2y}+3}$

Đặt $\Large t=\dfrac{x}{2y}, t\in\mathbb{R}, 2^P=\dfrac{4t^2-8t+4}{t^2+2t+3}\Leftrightarrow 2^P(t^2+2t+3)=4t^2-8t+4$

$\Large \Leftrightarrow (2^P-4)t^2+2(2^P+4)t+3.2^P-4=0$, $\Large P\neq 2$

Để phương trình có nghiệm $\Large \begin{align}\Delta'\geq 0\Leftrightarrow(2^P+4)^2-(2^P-4)(3.2^P-4)\geq 0\\\Leftrightarrow -2(2^P)^2+24.2^P\geq 0\Leftrightarrow 0\leq 2^P \leq 12\Rightarrow P\leq \log_{2}12\end{align}$

Vậy $\Large \max P=\log_{2}12$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $\Large \left\{\begin{align}&t=-2\\&t=\dfrac{x}{2y}\\&x^2+4xy+12y^2=4\\\end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow \left\{\begin{align}&x=-4y\\&y^2=\dfrac{1}{3}\\\end{align}\right.$