Cho hai dãy só $\Large (u_n), (v_n)$ được xác định như sau $\Large u_1

Cho hai dãy só $\Large (u_n), (v_n)$ được xác định như sau $\Large u_1=3$, $\Large v_1=2$ và $\Large \left\{\begin{align} & u_{n+1}=u_n^2+2v_n^2 \\ & v_{n+1}=2u_{n}.v_n \end{align}\right.$ với $\Large n\geq 2$. Tìm công thức tổng quát của hai dãy $\Large (u_n)$ và $\Large (v_n)$.

• A.

  $\Large \left\{\begin{align} & u_n=(\sqrt{2}+1)^{2^n}+(\sqrt{2}-1)^{2^n} \\ & v_n=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left[(\sqrt{2}+1)^{2^n}-(\sqrt{2}-1)^{2^n}\right] \end{align}\right.$

• B.

  $\Large \left\{\begin{align} & u_n=\dfrac{1}{4}\left[(\sqrt{2}+1)^{2^n}+(\sqrt{2}-1)^{2^n}\right] \\ & v_n=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left[(\sqrt{2}+1)^{2^n}-(\sqrt{2}-1)^{2^n}\right] \end{align}\right.$

• C.

  $\Large \left\{\begin{align} & u_n=\dfrac{1}{2}\left[(\sqrt{2}+1)^{2^n}+(\sqrt{2}-1)^{2^n}\right] \\ & v_n=\dfrac{1}{3\sqrt{2}}\left[(\sqrt{2}+1)^{2^n}-(\sqrt{2}-1)^{2^n}\right] \end{align}\right.$

• D.

  $\Large \left\{\begin{align} & u_n=\dfrac{1}{2}\left[\left(\sqrt{2}+1\right)^{2^n}+\left(\sqrt{2}-1\right)^{2^n}\right] \\ & v_n=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left[\left(\sqrt{2}+1\right)^{2^n}-\left(\sqrt{2}-1\right)^{2^n}\right] \end{align}\right.$.

Chọn D

Chứng minh $\Large u_n-\sqrt{2}v_n=\left(\sqrt{2}-1\right)^{2^n}$ (2)

Ta có: $\Large u_n-\sqrt{2}v_n=u_{n-1}^2+2v_{n-1}^2-2\sqrt{2}u_{n-1}v_{n-1}=\left(u_{n-1}-\sqrt{2}v_{n-1}\right)^2$

Ta có: $\Large u_1-\sqrt{2}v_1=3-2\sqrt{2}=\left(\sqrt{2}-1\right)^2$ nên (2) đúng với $\Large n=1$

Giả sử $\Large u_k-\sqrt{2}v_k=\left(\sqrt{2}-1\right)^{2^k}$, ta có:

$\Large u_{k+1}-\sqrt{2}v_{k-1}=\left(u_k-\sqrt{2}v_k\right)^2=\left(\sqrt{2}-1\right)^{2^{k-1}}$

Vậy (2) đúng với $\Large \forall n\geq 1$.

Theo kết quả bài trên và đề bài ta có: $\Large u_n+\sqrt{2}v_n=\left(\sqrt{2}-1\right)^{2^k}$

Do đó ta suy ra $\Large \left\{\begin{align} & 2u_n=\left(\sqrt{2}+1\right)^{2^n}+\left(\sqrt{2}-1\right)^{2^n} \\ & 2\sqrt{2}v_n=\left(\sqrt{2}+1\right)^{2^n}-\left(\sqrt{2}-1\right)^{2^n} \end{align}\right.$

Hay $\Large \left\{\begin{align} & u_n=\dfrac{1}{2}\left[\left(\sqrt{2}+1\right)^{2^n}+\left(\sqrt{2}-1\right)^{2^n}\right] \\ & v_n=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left[\left(\sqrt{2}+1\right)^{2^n}-\left(\sqrt{2}-1\right)^{2^n}\right] \end{align}\right.$.