Cho đồ thị hàm số $\Large (C): y = \dfrac{-x +1}{2x - 1}$ và đường thẳ

Cho đồ thị hàm số $\Large (C): y = \dfrac{-x +1}{2x - 1}$ và đường thẳng $\Large (d): y = x + m$. Với mọi $\Large m$ đường thẳng $\Large (d)$ luôn cắt đồ thị $\Large (C)$ tại hai điểm phân biệt $\Large A; B$. Gọi $\Large k_{1}; k_{2}$ lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị $\Large (C)$ tại $\Large A; B$. Giá trị nhỏ nhất của $\Large T = k_{1}^{2020} + k_{2}^{2020}$ bằng

• A.

  A. $\Large 1$

• B.

  B. $\Large 2$

• C.

  C. $\Large \dfrac{1}{2}$

• D.

  D. $\Large \dfrac{2}{3}$

Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

$\Large \dfrac{-x + 1}{2x - 1} = x + m \Leftrightarrow -x + 1 = 2x^{2} - x + 2mx - m$ 

$\Large \Leftrightarrow 2x^{2} + 2mx - m - 1 = 0$

luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $\Large m$ (vì $\Large \Delta > 0$).

Gọi $\Large A(x_{1} ; y_{1})$; $\Large B(x_{2} ; y_{2})$

$\Large \left\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = -m\\ x_{1}x_{2} = \dfrac{-m-1}{2}\end{matrix}\right.$

$\Large (C): y = \dfrac{-x + 1}{2x - 1} \Rightarrow y{}' = \dfrac{-1}{(2x - 1)^{2}}$

Ta có:

$\Large k_{1}^{2020} = \left [ \dfrac{-1}{(2x_{1} - 1)^{2}} \right ]^{2020};  k_{2}^{2020} = \left [ \dfrac{-1}{(2x_{2} - 1)^{2}} \right ]^{2020}$

$\Large T = k_{1}^{2020} +  k_{2}^{2020}= \dfrac{1}{(2x_{1} - 1)^{4040}} + \dfrac{1}{(2x_{2} - 1)^{4040}}$ 

$\Large \geq 2\left [ \dfrac{1}{(2x_{1} - 1)(2x_{2} - 1)} \right ]^{2020}$

$\Large \Leftrightarrow T \geq 2\left [ \dfrac{1}{4x_{1}x_{2} - 2(x_{1} + x_{2}) + 1}\right ]^{2020}$

$\Large \Leftrightarrow T \geq 2\left [ \dfrac{1}{4\dfrac{-m-1}{2}- 2(-m) + 1} \right ]^{2020}$

$\Large \Leftrightarrow T \geq 2\left [ \dfrac{1}{-2m - 2 + 2m + 1} \right ]^{2020}$

$\Large \Leftrightarrow T \geq 2$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$\Large \dfrac{1}{(2x_{1} - 1)^{4040}} = \dfrac{1}{(2x_{2} - 1)^{4040}}\Leftrightarrow (2x_{1} - 1)^{4040} = (2x_{2} - 1)^{4040}$

$\Large \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2x_{1} - 1 = 2x_{2} - 1 \\ 2x_{1} - 1 = -2x_{2} + 1\\ \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x_{1} = x_{2} (VL) \\ x_{1} + x_{2} = 1 \Leftrightarrow -m = 1 \Leftrightarrow m = -1\\ \end{array}\right.$