Cho dãy số $\Large (u_n)$ thỏa mãn $\Large u_1=1$, $\Large u_{n+1}=u_n

Cho dãy số $\Large (u_n)$ thỏa mãn $\Large u_1=1$, $\Large u_{n+1}=u_n+n(n+1)$, $\Large \forall n\geq 1$. Gọi $\Large n_0$ là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn $\Large u_{n_0}\geq 33300$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

• A.

  $\Large n_0\in [45; 60]$.

• B.

  $\Large n_0\in [65; 80]$.

• C.

  $\Large n_0\in [85; 100]$.

• D.

  $\Large n_0\in [105; 120]$.

Ta có

$\Large u_2-u_1=1.2$

$\Large u_3-u_2=2.3$

$\Large u_4-u_3=3.4$

........

$\Large u_n-u_{n-1}=(n-1).n$.

Cộng vế theo từng vế các đẳng thức trên ta được

$\Large u_n-u_1=1.2+2.3+3.4+...+(n-1).n$.

Ta có

$\Large 1.2+2.3+3.4+...+(n-1).n$

$\Large =\dfrac{1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+3.4.(5-2)+...+(n-1).n.\big(n+1-(n-2)\big)}{3}$

$\Large =\dfrac{1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-1).n.(n+1)}{3}$ $\Large -\dfrac{1.2.0+1.2.3+2.3.4+...+(n-2).(n-1).n}{3}$

$\Large =\dfrac{(n-1).n.(n+1)}{3}=\dfrac{n^3-n}{3}$.

Từ (??) suy ra $\Large u_n=1+\dfrac{n^3-n}{3}=\dfrac{n^3-n+3}{3}$.

Theo đề bài ta có

$\Large u_n\geq 33300$

$\Large \Leftrightarrow \dfrac{n^3-n+3}{3}\geq 33300$

$\Large \Leftrightarrow n^3-n-99897\geq 0$

$\Large \Leftrightarrow n\geq 46,407$.

Vậy $\Large n_0=47\in [45; 60]$.

Chọn đáp án A.