Cho dãy số $\Large (u_n)$: $\Large \left\{\begin{align} & u_1=1 \\ & u

Cho dãy số $\Large (u_n)$: $\Large \left\{\begin{align} & u_1=1 \\ & u_{n+1}=\dfrac{\sqrt{4u_n^2+1}}{2}, n\geq 1 \end{align}\right.$. Tổng $\Large S=u_1^2+u_2^2+...+u_{1000}^2$ bằng

• A. 278325.
• B. 325097.
• C. 375625.
• D. 350490.

Ta có $\Large u_{n+1}=\dfrac{\sqrt{4u_n^2+3}}{2}$, suy ra $\Large 4u_{n+1}^2=4u_n^2+3$. (1)

Đặt $\Large v_n=(2u_n)^2$. Khi đó (1) trở thành $\Large v_{n+1}=v_n+3$ và $\Large v(1)=4$. Từ đó suy ra dãy số $\Large (v_n)$ là cấp số cộng với công sai $\Large d=3$. Do đó

$\Large S=u_1^2+u_2^2+...+u_{1000}^2$

$\Large =\dfrac{1}{4}.(v_1+v_2+...+v_{1000})$

$\Large =\dfrac{1}{4}.\dfrac{(v_1+v_{1000})1000}{2}$

$\Large =\dfrac{1}{4}.\dfrac{(v_1+v_1+999d)1000}{2}$

$\Large =\dfrac{1}{4}.\dfrac{(4+4+999.3)1000}{2}$

$\Large =375625$.

Chọn đáp án C.