Cho các số thực a, b, c không âm thỏa mãn $\Large 2^a+4^b+8^c=4$. Gọi

Cho các số thực a, b, c không âm thỏa mãn $\Large 2^a+4^b+8^c=4$. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\Large S=a+2b+3c$. Giá trị của biểu thức $\Large 2^M+\mathrm{log}_4m$ bằng

• A.

  $\Large \dfrac{11}{6}$.

• B.

  $\Large \dfrac{91}{27}$.

• C.

  $\Large \dfrac{64}{27}$.

• D.

  $\Large \dfrac{4}{3}$.

Chọn C

+ Đặt: $\Large x=2^a, y=4^b, z=8^c$. Khi đó $\Large x, y, z \geq 1; x+y+z=4$ và ta có:

$\Large S=a+2b+3c=\mathrm{log}_2x+2\mathrm{log}_4y+3\mathrm{log}_8z=\mathrm{log}_2x+\mathrm{log}_2y+\mathrm{log}_2z=\mathrm{log}_2(xyz)$.

+ Ta có: $\Large xyz \leq \left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)^3=\dfrac{64}{27}$. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Large x+y+z=\dfrac{4}{3}$.

Suy ra $\Large \mathrm{log}_2(xyz) \leq \mathrm{log}_2\dfrac{64}{27} \Rightarrow M=\mathrm{log}_2\dfrac{64}{27}$.

+ Không mất tính tổng quát ta giả sử: $\Large x \geq y \geq z \geq 1 \Rightarrow 1 \leq z \leq \dfrac{4}{3}$. Khi đó:

$\Large (x-1)(y-1) \geq 0 \Rightarrow xy-x-y+1 \geq 0 \Rightarrow xy \geq x+y-1=3-z \Rightarrow xyz \geq -z^2+3z$

Xét $\Large f(z)=-z^2+3z$ với $\Large z \in \left[1; \dfrac{4}{3}\right]$.

Ta có: $\Large {f}'(z)=-2z+3 > 0, \forall z \in \left[1; \dfrac{4}{3}\right]$ suy $\Large f(z) \geq f(1)=2 \Rightarrow xyz \geq 2$

Suy ra $\Large \mathrm{log}_2(xyz) \geq \mathrm{log}_22=1 \Rightarrow m=1$

+ Từ đó: $\Large 2^M+\mathrm{log}_4m=\dfrac{64}{27}$.