Cho các số thực a, b thỏa mãn $\Large \mathrm{log}_2(2020-2b^2)-2b^2=\

Cho các số thực a, b thỏa mãn $\Large \mathrm{log}_2(2020-2b^2)-2b^2=\mathrm{log}_2(a^2+b^2+1009)+a^2$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $\Large P=a^3+a^2b+2ab^2+2b^3+1$ thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

• A. (0; 1).
• B. (1; 2).
• C. (2; 3).
• D. (3; 4).

Chọn A

ĐKXĐ: $\Large 2020-2b^2 > 0 \Leftrightarrow b^2 < 1010 \Leftrightarrow -\sqrt{1010} < b < \sqrt{1010}$

+ Theo đề bài ra, ta có:

$\Large \mathrm{log}_2(2020-2b^2)-2b^2=​​​​​​​\mathrm{log}_2(a^2+b^2+1009)+a^2$

$\Large \Leftrightarrow 1+​​​​​​​\mathrm{log}_2(1010-b^2)-2b^2=​​​​​​​\mathrm{log}_2(a^2+b^2+1009)+a^2$

$\Large \Leftrightarrow ​​​​​​​\mathrm{log}_2(1010-b^2)+1010-b^2=​​​​​​​\mathrm{log}_2(a^2+b^2+1009)+a^2+b^2+1009$ (1)

Xét hàm số sau: $\Large f(t)=​​​​​​​\mathrm{log}_2t+t (t > 0)$

Ta thấy: $\Large {f}'(t)=\dfrac{1}{t.​​​​​​​\mathrm{ln}2}+1 > 0$, suy ra hàm số $\Large f(t)=​​​​​​​\mathrm{log}_2t+t$ đồng biến trên $\Large (0; +\infty)$

Do đó: $\Large (1) \Leftrightarrow 1010-b^2=a^2+b^2+1009$

$\Large a^2+2b^2=1$

+ Khi đó: $\Large P=a^3+a^2b+2ab^2+2b^3+1=(a+b)(a^2+2b^2)+1=a+b+1$

Áp dụng định lí Bunhiacopski cho bộ hai số $\Large \begin{Bmatrix}
a; \sqrt{2b}
\end{Bmatrix}$ và $\Large \begin{Bmatrix}
1; \dfrac{1}{\sqrt{2}}
\end{Bmatrix}$, ta có:

$\Large (a+b)^2 \leq (a^2+2b^2)\left(1+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{2}$ (Dấu "=" xảy ra khi $\Large a=2b$)

$\Large \Rightarrow -\sqrt{\dfrac{3}{2}} \leq a+b \leq \sqrt{\dfrac{3}{2}}+1 \in (2; 3)$

Suy ra: $\Large Min P=\sqrt{\dfrac{3}{2}}+1\in (2; 3)$ khi $\Large a=\dfrac{\sqrt{6}}{3}, =\dfrac{\sqrt{6}}{6}$.