Cho các số $\Large x, y$ thay đổi thỏa mãn $\Large x > y > 0$ và $\Lar

 Cho các số $\Large x, y$ thay đổi thỏa mãn $\Large x > y > 0$ và $\Large \mathrm{ln}(x-y)+\dfrac{1}{2}\mathrm{ln}(xy)=\mathrm{ln}(x+y)$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\Large M=x+y$ là

• A.

  $\Large 2\sqrt{2}$.

• B.

  2.

• C.

  4.

• D.

  16.

$\Large \mathrm{ln}(x-y)+\dfrac{1}{2}\mathrm{ln}(xy)=\mathrm{ln}(x+y)$ $\Large \Leftrightarrow (x-y)^2xy=(x+y)^2\Leftrightarrow \left[(x+y)^2-4xy\right]xy=(x+y)^2$.

Đặt $\Large A=(x+y)^2$; $\Large B=xy$. Ta được $\Large (A-4B)B=A\Leftrightarrow A(B-1)=4B^2\Rightarrow A=\dfrac{4B^2}{B-1}$.

Do $\Large A > 0$ nên $\Large B > 1$. Ta có: $\Large A=\dfrac{4B^2}{B-1}=4B+4+\dfrac{4}{B-1}=8+4(B-1)+\dfrac{4}{B-1}\geq 8+2.4=16$

Suy ra $\Large x+y\geq 4$.

Dấu bằng xảy ra $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & B-1=\dfrac{1}{B-1} \\ & A=\dfrac{4B^2}{B-1} \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & B=2 \\ & A=16 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & xy=2 \\ & x+y=4 \\ & x > y > 0 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} &  x=2+\sqrt{2} \\ & y=2-\sqrt{2} \end{align}\right.$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\Large M=x+y$ là 4.