Biết rằng hàm số $\large y=\dfrac{2}{3} x^{3}+(m+1) x^{2}+\left(m^{2}+

Biết rằng hàm số $\large y=\dfrac{2}{3} x^{3}+(m+1) x^{2}+\left(m^{2}+4 m+3\right) x+\dfrac{1}{2}$ đạt cực trị tại $\large x_{1}, x_{2}$. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\large P=x_{1} x_{2}-2\left(x_{1}+x_{2}\right)$

• A.

  A. $\Large minP=-9$.

• B.

  B. $\Large minP=-1$.

• C.

  C. $\large \min P=-\dfrac{1}{2}$.

• D.

  D. $\large \min P=-\dfrac{9}{2}$.

Chọn D.
Ta có $\large y^{\prime}=2 x^{2}+2(m+1) x+m^{2}+4 m+3$

Để hàm số đã cho đạt cực trị tại $\Large x_1;x_2$ thì phương trình $\Large y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Large \Delta'=(m+1)^2-2(m^2+4m+3)>0\Leftrightarrow-m^2-6m-5>0\Leftrightarrow -5 Vì hàm số đã cho đạt cực trị tại $\large x_{1}, x_{2}$ theo Viet ta có
$\large \left\{\begin{array}{l}
x_{1} x_{2}=\dfrac{m^{2}+4 m+3}{2} \\
x_{1}+x_{2}=-(m+1)
\end{array}\right.\quad {(*)}$

Thay (*) vào biểu thức $\large P=x_{1} x_{2}-2\left(x_{1}+x_{2}\right)$ ta được
$\large P=\dfrac{m^{2}+4 m+3}{2}+2(m+1)=\dfrac{m^{2}+8 m+7}{2}=\dfrac{(m+4)^{2}-9}{2}\geq\dfrac{-9}{2}$
Vậy $ P_{\min }=-\dfrac{9}{2}$, dấu "=" xảy ra $\Large \Leftrightarrow(m+4)^{2}=0 \Leftrightarrow m=-4 (tm -5