Biết $\Large F(x)$ là một nguyên hàm trên $\mathbb{R}$ của hàm số $\La

Biết $\Large F(x)$ là một nguyên hàm trên $\mathbb{R}$ của hàm số $\Large f(x)=\dfrac{2017x}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2018}}}$ thỏa mãn $\Large F(1)=0$ . Tìm giá trị nhỏ nhất $\Large m$ của $\Large F(x)$ 

• A.

  $\Large m=-\dfrac{1}{2}$

• B.

  $\Large m=\dfrac{1-{{2}^{2017}}}{{{2}^{2018}}}$

• C.

  $\Large m=\dfrac{{{2}^{2017}}+1}{{{2}^{2018}}}$

• D.

  $\Large m=\dfrac{1}{2}$

Ta có $\Large \int{\dfrac{2017x}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2018}}}dx=\dfrac{2017}{2}\int{\dfrac{d({{x}^{2}}+1)}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2018}}}=-\dfrac{1}{2{{({{x}^{2}}+1)}^{2017}}}+C}}$

Do đó ta có thể viết $\Large F(x)=-\dfrac{1}{2{{({{x}^{2}}+1)}^{2017}}}+C$ . Vì $\Large F(1)=0$ nên $\Large C=\dfrac{1}{{{2}^{2018}}}$

Suy ra $\Large F(x)=\dfrac{1}{{{2}^{2018}}}-\dfrac{1}{2{{({{x}^{2}}+1)}^{2017}}}\ge \dfrac{1}{{{2}^{2018}}}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1-{{2}^{2017}}}{{{2}^{2018}}}$

Đẳng thức xảy ra khi $\Large x=0$. Vậy $\Large m=\dfrac{1-{{2}^{2017}}}{{{2}^{2018}}}$

Chọn đáp án B