Biết đồ thị hàm số $\Large y=a^x$ và đồ thị hàm số $\Large y=\log_bx$

Biết đồ thị hàm số $\Large y=a^x$ và đồ thị hàm số $\Large y=\log_bx$ cắt nhau tại điểm $\Large A\left(\dfrac{1}{2}; 2\right)$. Giá trị của biểu thức $\Large T=a^2+b^2$ bằng

• A.

  $\Large T=\dfrac{33}{2}$.

• B.

  $\Large T=15$.

• C.

  $\Large T=17$.

• D.

  $\Large T=9$.

ĐK: $\Large a, b > 0$; $\Large a, b\neq 1$

Vì đồ thị hàm số $\Large y=a^x$ và đồ thị hàm số $\Large y=\log_bx$ cắt nhau tại điểm $\Large A\left(\dfrac{1}{2}; 2\right)$ nên điểm $\Large A\left(\dfrac{1}{2}; 2\right)$ thuộc đồ thị hàm số $\Large y=a^x$ và đồ thị hàm số $\Large y=\log_bx$

$\Large \Rightarrow \left\{\begin{align} & 2=a^{\frac{1}{2}}\\ & 2=\log_b\dfrac{1}{2} \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & a=4\\ & b^2=\dfrac{1}{2} \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & a=4\\ & b=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow T=a^2+2b^2=4^2+2\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=17$.