Bất phương trình $\Large 4^x-(m+1).2^{x+1}+m\geq0$ nghiệm đúng với mọi

Bất phương trình $\Large 4^x-(m+1).2^{x+1}+m\geq0$ nghiệm đúng với mọi $\Large x\geq0$. Tập tất cả các giá trị của $\Large m$ là:

• A.

  A. $\Large (-\infty;12)$

• B.

  B. $\Large (-\infty;-1]$

• C.

  C. $\Large (-\infty;0]$

• D.

  D. $\Large (-1;16]$

Chọn B

$\Large 4^x-(m+1).2^{x+1}+m\geq0, \forall x\geq0\Leftrightarrow (2^x)^2-2(m+1).2^x+m\geq0, \forall x\geq0 (1)$

Đặt: $\Large t=2^x, (t\geq1)$

(1) trở thành:

$\Large \begin{align}t^2-2(m+1)t+m\geq0, \forall t\geq1 (2)\\m\leq\dfrac{t^2-2t}{2t-1}, \forall t\geq1 (3) \end{align}$

Xét hàm số: $\Large y=f(t)=\dfrac{t^2-2t}{2t-1}$. Ta có hàm số $\Large y=f(t)$ liên tục trên $\Large [1;+\infty)$

$\Large f'(t)=\dfrac{(2t-2)(2t-1)-2(t^2-2t)}{(2t-1)^2}=\dfrac{2t^2-2t+2}{(2t-1)^2}>0, \forall t\geq1$

Suy ra hàm số $\Large f(t)$đồng biến trên $\Large [1;+\infty)\Rightarrow f(t)\geq f(1)=-1, \forall t\geq1$

Do đó: $\Large (3)\Leftrightarrow m\leq\underset{[1;+\infty)}{min}f(t)\Leftrightarrow m\leq -1$