Tính chất của nguyên hàm

Tính chất của nguyên hàm

4.9/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Tính chất của nguyên hàm

Lý thuyết về Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 

  1. $\left(\displaystyle\int{f(x)dx}\right)' = f(x)$
  2. $\displaystyle\int{f'(x)}dx=f(x)+C$
  1. $\displaystyle\int{kf\left( x \right)dx=k\int{f\left( x \right)dx}}$      (k là hằng số khác 0)
  2. $\displaystyle\int{\left[ f\left( x \right)\pm g\left( x \right) \right]}dx=\int{f\left( x \right)}dx\pm \int{g\left( x \right)dx}$

Ví dụ 1. Ta có$\left( \displaystyle\int{\cos xdx} \right)'=\left( \sin x+C \right)'=\cos x$ và $\displaystyle\int{\left( \cos x \right)}'dx=\displaystyle\int{\left(-\sin{x}\right)}dx=\cos x+C$

Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của hàm số$f\left( x \right)=3\sin x+\dfrac{2}{x}$trên khoảng$\left( 0;+\infty  \right)$

Giải. Với $x\in \left( 0;+\infty  \right)$, ta có $\displaystyle\int{\left( 3\sin x+\dfrac{2}{x} \right)dx}=3\displaystyle\int{\sin \text{x}dx}+2\int{\dfrac{1}{x}dx}=-3\cos x+2\ln x+C$

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho hai hàm số \[ f\left( x \right),g\left( x \right) \] là hàm số liên tục,có \[ F\left( x \right),G\left( x \right) \] lần lượt là nguyên hàm của \[ f\left( x \right),g\left( x \right) \] . Xét các mệnh đề sau: $(I): F\left( x \right)+G\left( x \right) $ là một nguyên hàm của \[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \] . $(II): k.F\left( x \right) $ là một nguyên hàm của \[ k.f\left( x \right) \] với \[ k\ne 0\] . $(III): F\left( x \right).G\left( x \right) $ là một nguyên hàm của \[ f\left( x \right).g\left( x \right) \] . Các mệnh đề đúng là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Theo tính chất nguyên hàm thì (I) và (II) là đúng, (III) sai.

Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số $y=\left( \sin x\right)'$

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Áp dụng tính chất $\int{f'\left( x \right)d\text{x}=f\left( x \right)+C}$ ta được $\int{\left( \sin x \right)'}d\text{x}=\sin x+C$.

Câu 3: Nếu $f\left( x \right)=\left( 2\sqrt{x}+1 \right)'$ thì $\int{f\left( x \right)d\text{x}}$ bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Theo định nghĩa nguyên hàm ta có $f\left( x \right)=F'\left( x \right)\Rightarrow \int{f\left( x \right)d\text{x}}=F\left( x \right)+C$
Vậy $\int{f\left( x \right)d\text{x}}=2\sqrt{x}+1+{{C}_{1}}=2\sqrt{x}+C$

Câu 4: Cho $\int{{{x}^{2}}d\text{x}}=A$$\int{{{\cos }^{2}}xd\text{x}}=B$, khi đó nguyên hàm $I$ của hàm số $y={{x}^{2}}+2{{\cos }^{2}}x$ theo A, B là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$I=\int{({{x}^{2}}+2{{\cos }^{2}}x)d\text{x}}=\int{{{x}^{2}}d\text{x}}+2\int{{{\cos }^{2}}xd\text{x}}=A+2B$.