Tính chất
Ví dụ 1. Ta có$\left( \displaystyle\int{\cos xdx} \right)'=\left( \sin x+C \right)'=\cos x$ và $\displaystyle\int{\left( \cos x \right)}'dx=\displaystyle\int{\left(-\sin{x}\right)}dx=\cos x+C$
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của hàm số$f\left( x \right)=3\sin x+\dfrac{2}{x}$trên khoảng$\left( 0;+\infty \right)$
Giải. Với $x\in \left( 0;+\infty \right)$, ta có $\displaystyle\int{\left( 3\sin x+\dfrac{2}{x} \right)dx}=3\displaystyle\int{\sin \text{x}dx}+2\int{\dfrac{1}{x}dx}=-3\cos x+2\ln x+C$
Theo tính chất nguyên hàm thì (I) và (II) là đúng, (III) sai.
Áp dụng tính chất $\int{f'\left( x \right)d\text{x}=f\left( x \right)+C}$ ta được $\int{\left( \sin x \right)'}d\text{x}=\sin x+C$.
Theo định nghĩa nguyên hàm ta có $f\left( x \right)=F'\left( x \right)\Rightarrow \int{f\left( x \right)d\text{x}}=F\left( x \right)+C$
Vậy $\int{f\left( x \right)d\text{x}}=2\sqrt{x}+1+{{C}_{1}}=2\sqrt{x}+C$
$I=\int{({{x}^{2}}+2{{\cos }^{2}}x)d\text{x}}=\int{{{x}^{2}}d\text{x}}+2\int{{{\cos }^{2}}xd\text{x}}=A+2B$.