Định lý mở rộng về tính đơn điệu

Nếu ${f}'\left( x \right)\ge 0\,\,\forall x\in \left( a;b \right)$ thì hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( a;b \right)$ .

Nếu ${f}'\left( x \right) > 0\,\,\forall x\in \left( a;b \right)$ thì hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( a;b \right)$ .

Hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( a;b \right)$ khi và chỉ khi ${f}'\left( x \right) > 0\,\,\forall x\in \left( a;b \right)$ .

Hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( a;b \right)$ khi và chỉ khi ${f}'\left( x \right)\ge 0\,\,\forall x\in \left( a;b \right)$ .

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 1;4 \right)$.

Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;3)$.

Hàm số chỉ đồng biến trên khoảng $(0;4)$.

Hàm số đồng biến trên $\left( 1;2 \right) \cup (2;4)$.

Hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên $R$

Hàm số $y=f\left( x \right)$ không có cực trị

Hàm số $y=f\left( x \right)$ là hàm hằng

Hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $R$

$f'\left( x \right)\ge x,\forall x\in K$.

$f'\left( x \right)<0,\forall x\in K$.

$f'\left( x \right)$ không đổi dấu trên $K$.

$f'\left( x \right)\ne 0,\forall x\in K$.

Nếu hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( a;b \right)$ và $f'\left( x \right)=0$ vô nghiệm trên $\left( a;b \right)$ thì hàm số $y=f\left( x \right)$ đơn điệu trên $\left( a;b \right)$. (I)

Nếu hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( a;b \right)$ thì hàm số $y=f\left( x \right)$ đơn điệu trên $\left( a;b \right)$. (IV)

Nếu hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( a;b \right)$ và $f'\left( x \right)=0$ có vô số nghiệm trên $\left( a;b \right)$ thì hàm số $y=f\left( x \right)$ đơn điệu trên $\left( a;b \right)$. (II)

Nếu hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( a;b \right)$ và $f'\left( x \right)=0$ có hữu hạn nghiệm trên $\left( a;b \right)$ thì hàm số $y=f\left( x \right)$ đơn điệu trên $\left( a;b \right)$. (III)

$\left( {{x_1};{x_2}} \right)$

$\left( -\infty ;a \right),\left( b;c \right)$

$\left( {{x}_{2}};+\infty \right)$

$\left( {{x}_{1}};b \right),\left( b;c \right)$

(II) Nếu các hàm số $y=f\left( x \right),y=g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( a;b \right)$ thì hàm số $y=f\left( x \right).g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( a;b \right)$ .

(IV) Nếu các hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( a;b \right)$ thì hàm số $y=-f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( a;b \right)$ .

(I) Nếu các hàm số $y=f\left( x \right),y=g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( a;b \right)$ thì hàm số $y=f\left( x \right)+g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( a;b \right)$ .

(III) Nếu các hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( a;b \right)$ và $\alpha > 0$ thì hàm số $y=\alpha .f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( a;b \right)$ .

Hàm số có cực trị.

Hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Hàm số có cực đại.

Nếu hàm số f không đổi trên K thì $f'\left( x \right) > 0,\forall x\in K$ .

Nếu $f'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in K$ và $f'\left( x \right)=0$ tại một số hữu hạn điểm trên K thì hàm số f đồng biến trên K.

Hàm số f đồng biến trên K thì $f'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in K$ .

Nếu $f'\left( x \right) < 0,\forall x\in K$ thì hàm số f nghịch biến trên K.

$f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( a;b \right)$ và $f'\left( x \right) > 0$ với mọi $x\in \left[ a;b \right]$

$f'\left( x \right)\ge 0$ với mọi $x\in \left[ a;b \right]$

$f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ a;b \right]$ và $f'\left( x \right) < 0$ với mọi $x\in \left( a;b \right)$

$f'\left( x \right)\le 0$ với mọi $x\in \left[ a;b \right]$

Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên K thì đồ thị của nó đi lên từ trái sang phải.

Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên K thì đồ thị của nó đi xuống đi từ trái sang phải.

Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên K thì hệ số góc của tiếp tuyến tại mọi điểm của (C) luôn bé hơn hoặc bằng không.

Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên K thì hệ số góc của tiếp tuyến tại mọi điểm của (C) luôn bé hơn hoặc bằng không.

$y=-3{{x}^{3}}-2x+10$

$y=\dfrac{x-1}{x+1}$

$y={{x}^{3}}-3x+1$

$y=6{{x}^{3}}+3x+1$

Nếu $f'\left( x \right)=0,\forall x\in \left( a;b \right)$ thì f là hàm hằng trên $\left( a;b \right)$

Nếu $f'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( a;b \right)$ thì hàm số f đồng biến trên $\left( a;b \right)$

Nếu $f'\left( x \right)\le 0,\forall x\in \left( a;b \right)$ thì hàm số f nghịch biến trên $\left( a;b \right)$

Nếu $f'\left( x \right) > 0,\forall x\in \left( a;b \right)$ thì hàm số f nghịch biến trên $\left( a;b \right)$

$f\left( x \right)g\left( x \right)$.

$\dfrac{g\left( x \right)}{f\left( x \right)}$.

$\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}$.

$f\left( x \right)-g\left( x \right)$.

Nếu hàm số f đồng biến trên K thì $f'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in K$

Nếu f là hàm số hằng trên K thì $f'\left( x \right)=0,\forall x\in K$

Nếu $f'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in K$ thì hàm số f đồng biến trên K.

Nếu $f'\left( x \right)=0,\forall x\in K$ thì hàm số f không đổi trên K.

Hàm số nghịch biến trên khoảng$(1;+\infty )$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng$(-1;1)$.

Hàm số đồng biến trên khoảng$(-\infty ;+\infty )$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng$(-\infty ;0)$.    

$f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ a;b \right]$ và $f'\left( x \right)<0$ với mọi $x\in \left( a;b \right)$

$f'\left( x \right)\le 0$ với mọi $x\in \left[ a;b \right]$

$f'\left( x \right)\ge 0$ với mọi $x\in \left[ a;b \right]$

$f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( a;b \right)$ và $f'\left( x \right)>0$ với mọi $x\in \left[ a;b \right]$

Không xác định được

$\underset{\left[ a,b \right]}{\mathop{\max }}\,=f\left( b \right)$

$\underset{\left[ a,b \right]}{\mathop{\max }}\,=f\left( a \right)$

$\underset{\left[ a,b \right]}{\mathop{\max }}\,=f\left( {{x}_{0}} \right)$