Sự tồn tại nguyên hàm

Sự tồn tại nguyên hàm

4/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 20 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Sự tồn tại nguyên hàm

Lý thuyết về Sự tồn tại nguyên hàm

Định lí. Mọi hàm số liên tục trên $K$ đều có nguyên hàm trên $K$

Ví dụ.

  1. Hàm số $f(x)=x^{\frac{2}{3}}$ có nguyên hàm trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ và $\displaystyle\int{x^{\frac{2}{3}}}dx=\dfrac{3}{5} \cdot x^{\frac{5}{3}}+C$
  2. Hàm số $g(x)=\dfrac{1}{\sin^2{x}}$ có nguyên hàm trên từng khoảng $\left( k\pi ;\left( k+1 \right)\pi \right),\left( k\in \mathbb{Z} \right)$ và $\displaystyle\int{\dfrac{1}{\sin^2{x}}dx}=-\cot x+C$

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Tìm nguyên hàm $ F\left( x \right)=\int{{{\pi }^{2}}}\text{d}x $ .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ F\left( x \right)=\int{{{\pi }^{2}}}\text{d}x={{\pi }^{2}}x+C $ .

Câu 2: Hàm số $y={{\left( x-1 \right)}^{\dfrac{1}{2}}}$ có nguyên hàm trong khoảng 

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Do hàm số $y={{\left( x-1 \right)}^{\dfrac{1}{2}}}$ luôn liên tục trên tập xác định nên nó có nguyên hàm trên tập xác định, tức trên tập $\left( 1;+\infty \right)$.

Câu 3: Cho $ f\left( x \right),g\left( x \right) $ là các hàm số xác định và liên tục trên $ \mathbb{R} $ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Nguyên hàm không có tính chất nguyên hàm của tích bằng tích các nguyên hàm.

Câu 4: Hàm số $ F\left( x \right) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f\left( x \right) $ trên khoảng $ K $ nếu

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Theo lý thuyết nguyên hàm:
Hàm số $ F\left( x \right) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f\left( x \right) $ trên khoảng $ K $ khi và chỉ khi $ {F}'\left( x \right)=f\left( x \right),\forall x\in K $ .