Công thức đổi biến số
Lý thuyết về Công thức đổi biến số
Định lí. Nếu $\displaystyle\int{f\left( u \right)du=F\left( u \right)+C}$ và $u=u\left( x \right)$ là hàm số có đạo hàm liên tục thì $$\displaystyle\int{f\left[u\left( x \right) \right]u'\left( x \right)dx=F\left( u\left( x \right) \right)+C}$$
Các bước đổi biến
B1: Quan sát các biểu thức phức tạp (chứa căn, mũ cao..) đặt biểu thức đó $= u$
B2: Vi phân 2 vế (trong 1 số trường hợp thì cần biến đổi trước để vi phân dễ dàng)
B3: Thay thế toàn bộ biến cũ thành biến mới
B4: Tình toán thông thường trên biến u; được kết quả thế trả lại biến x
Ví dụ. Tìm $I=\displaystyle\int{\cos{(7x + 5)}dx}$
Đặt $u = 7x + 5 \Rightarrow du = d(7x + 5) = (7x + 5)'dx = 7dx\Rightarrow dx=\dfrac{du}{7}$.
Khi đó ta có $I = \displaystyle\int{\dfrac{1}{7} \cos{(u)} du} $$= \dfrac{1}{7} \sin{u} + C= \dfrac{1}{7} \sin{(7x + 5)} + C$
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho hàm số \(f\left( x \right)=x\cos {x}\) có một nguyên hàm là $F\left( x \right)=\left( ax+b \right)\sin x+\left( c{x}+d \right)\cos {x}$ . Khi đó $ac+b{d}$ có giá trị là:
- A
- B
- C
- D
Cách 1: $F'\left( x \right)=\left( a-cx-d \right)\sin x+\left( {ax}+b+c \right)\cos {x}$
Vì $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ nên $F'\left( x \right)=f\left( x \right)$
Đồng nhất hệ số hai vế ta được:
$a=d=1,b=c=0\Rightarrow ac+b{d}=0$
Cách 2: dùng nguyên hàm từ phần ta có \(\int{x\cos x}dx=x\sin x+\cos x+C\)