Phương pháp đổi biến số - Cách 1
Lý thuyết về Phương pháp đổi biến số - Cách 1
Giả sử ta cần tính $\displaystyle\int\limits_{a}^{b} {g(x)dx} $. Nếu ta viết được $g(x)$ dưới dạng $f[u(x)] u'(x)$, thì ta có $\displaystyle\int\limits_{a}^{b} {g(x)dx} = \displaystyle\int\limits_{u(a)}^{u(b)} {f(u)du}$.
Vậy bài toán quy về tính $\displaystyle\int\limits_{u\left( a \right)}^{u\left( b \right)} {f\left( u \right)du} $. Trong nhiều trường hợp việc tính tích phân mới này đơn giản hơn
Ví dụ. Tính $\displaystyle\int\limits_1^2 {x{e^{{x^2}}}dx} $
Giải. Ta có $x{e^{{x^2}}}dx = \dfrac{1}{2}{e^{{x^2}}}d\left( {{x^2}} \right)$. Đặt $u = {x^2}$ ta có $u\left( 1 \right) = 1,u\left( 2 \right) = 4$.Do đó
$$\displaystyle\int\limits_1^2 {x e^{x^2}dx} = \displaystyle\int\limits_1^4 {\frac{e^u}{2}du} = \dfrac{1}{2}\left(e^4 - e\right) $$
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho tích phân $ I=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{x}{\sqrt{3x+1}}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{3{{b}^{2}}} $ với $ a;b\in \mathbb{N}* $ và $ \dfrac{{{a}^{3}}}{3{{b}^{2}}} $ là phân số tối giản. Vậy giá trị của $ a+b $ là:
- A
- B
- C
- D
Đặt $ t=\sqrt{3x+1}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x=\dfrac{{{t}^{2}}-1}{3} \\ dx=\dfrac{2tdt}{3} \\ \end{matrix} \right. $
Đổi cận: $ \left\{ \begin{matrix} x=0 \\ x=1 \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} t=1 \\ t=2 \\ \end{matrix} \right. $ . Suy ra $ I=\dfrac{2}{9}\int\limits_{1}^{2}{\left( {{t}^{2}}-1 \right)}dt=\dfrac{2}{9}\left( \dfrac{{{t}^{3}}}{3}-t \right)\left| \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ \end{matrix}=\dfrac{8}{27} \right. $
Câu 2: Kết quả của tích phân $\int\limits_{0}^{2\sqrt{2}}{\dfrac{x}{{{x}^{2}}+1}dx}$ là
- A
- B
- C
- D
$\int\limits_{0}^{2\sqrt{2}}{\dfrac{x}{{{x}^{2}}+1}dx}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{2\sqrt{2}}{\dfrac{d\left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{x}^{2}}+1}=\dfrac{1}{2}\left. \ln \left| {{x}^{2}}+1 \right| \right|_{0}^{2\sqrt{2}}=\ln 3}$.
Câu 3: Cho hàm số $ y=f\left( x \right) $ liên tục trên $ \mathbb{R}. $ Biết $ \int\limits_{0}^{2}{x.f\left( {{x}^{2}} \right)dx=2,} $ hãy tính $ I=\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)dx.} $
- A
- B
- C
- D
Đặt $ t={{x}^{2}}\Rightarrow dt=2xdx,\left\{ \begin{array}{l} & x=0\to t=0 \\ & x=2\to t=4 \end{array} \right.\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{x.f\left( {{x}^{2}} \right)dx=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{4}{f\left( t \right)dt\Rightarrow \int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)dx=4\Rightarrow I=4.}}} $