Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Ta có: $ AC > AB\Rightarrow {{\widehat{B}}_{2}} > {{\widehat{C}}_{2}} $

Mà $ {{\widehat{B}}_{1}}+{{\widehat{B}}_{2}}={{180}^{o}}\,;\,\,{{\widehat{C}}_{1}}+{{\widehat{C}}_{2}}={{180}^{o}} $

Do đó $ {{\widehat{B}}_{1}} < {{\widehat{C}}_{1}}. $

Vậy góc ngoài đỉnh B nhỏ hơn góc ngoài đỉnh C.

Xét tam giác MBB’ có MB = MB’

\[ \Rightarrow MB{B}' \] cân tại M

Nên \[ \widehat{M{B}'B}=\widehat{MBB'} \] ( tính chất tam giác cân)

Ta có \[ \widehat{MBC}=\widehat{MB{B}'}+\widehat{B'BC}=\widehat{MB'B}+\widehat{B'BC} > \widehat{MB'B} \] .

Vậy \[ \widehat{MBC} > \widehat{MB'B} \] .

$ \Delta ABD=\Delta HBD $ (cạnh huyền-góc nhọn) $ \Rightarrow BA=BH. $

$ \Delta DHC $ vuông tại H $ \Rightarrow DC > DH. $

Ta lại có: $ DA=DH $ (do $ \Delta ABD=\Delta HBD $ ) nên $ DA < DC. $

Xét tam giác \[ \Delta BAM\, \] và \[ \Delta CEM \] có

MA = ME

MB = MC

\[ \widehat{BMA}=\widehat{CME} \]

\[ \Delta BAM=\Delta CEM\,\,\left( c-g-c \right) \]

nên \[ \widehat{ABM}=\,\,\widehat{MCE}\,\,={{90}^{0}} \] .

Xét tam giác \[ CEM \] có \[ \widehat{MCE}={{90}^{0}} \] nên \[ EC < EM \] và \[ EA\,\,=\,\,2AM \] .

Vậy (I) đúng, (II) sai.

Vì $ \Delta ABC $ cân tại A nên $ \widehat{ABC}=\widehat{ACB} $ .

Vì tia Bx nằm giữa hai tia BA và BC, điểm $ D\in $ Bx nên $ \widehat{DBC} < \widehat{ABC}=\widehat{ACB} $

$ \Rightarrow \,\,\widehat{DBC} < \widehat{ACB} $ . (1)

Vì điểm D nằm ngoài tam giác ABC nên $ \widehat{BCD} > \widehat{ACB} $ . (2)

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow \,\,\widehat{DBC} < \widehat{BCD} $ .

Xét tam giác BCD có: $ \,\widehat{DBC} < \widehat{BCD} $ $ \Rightarrow \,\,CD < BD $ .

Tam giác ABC có $ AB < AC $ $ \Rightarrow \widehat{ACB} < \widehat{ABC} $

Mà $ {{\widehat{B}}_{1}}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABC}\,;\,\,{{\widehat{C}}_{1}}=\dfrac{1}{2}\widehat{ACB} $ (tính chất tia phân giác)

$ \Rightarrow {{\widehat{C}}_{1}} < {{\widehat{B}}_{1}} $ .

Xét $ \Delta IBC $ có $ {{\widehat{C}}_{1}} < {{\widehat{B}}_{1}}\,\,\Rightarrow \,IB < IC $ .

Do $ AB < BC < CA $ nên $ \widehat{C}\,\, < \widehat{A} < \,\,\widehat{B}\,\Rightarrow 3\,\widehat{C} < \,\widehat{C}\,\,+\widehat{A}+\,\,\widehat{B}\,\,={{180}^{0}}\,\Rightarrow \,\widehat{C}\, < \dfrac{{{180}^{0}}}{3}\,=\,{{60}^{0}} $ .

Vì cạnh AB là cạnh nhỏ nhất nên góc C đối diện với cạnh AB là góc nhỏ nhất.

Khi đó: $ \widehat{C}\le \widehat{B};\,\,\widehat{C}\le \widehat{A}. $

Ta có: $ 3\widehat{C}\le \widehat{C}+\widehat{B}+\widehat{A}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{C}\le {{60}^{0}}. $

Vì $ \Delta ABC $ đều nên $ \widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{ACB}={{60}^{o}} $

Ta có: $ {{\widehat{D}}_{1}} > \widehat{A}={{60}^{0}} $ (góc ngoài); $ {{\widehat{C}}_{1}} < \widehat{ACB}={{60}^{0}} $

Do đó trong tam giác $ $ có: $ {{\widehat{D}}_{1}} > \widehat{B} > \widehat{{{C}_{1}}}\,\,\Rightarrow $ $ BC > CD > BD. $

Tam giác \[ MB{B}' \] cân tại \[ M \] , Gọi \[ H \] là trung điểm của \[ B{B}' \] nên \[ MH\bot B{B}' \] .

Xét tam giác MHB vuông tại H

Có cạnh MH đối diện góc B; cạnh MB đối diện góc \[ \widehat{MHB} \]

Mà góc \[ \widehat{MHB}={{90}^{o}} \]

\[ \Rightarrow MH < MB \] .

Tam giác \[ ABC \] vuông tại \[ A \]

Áp dụng định lí Pitago

\[ \begin{array}{l} A{{C}^{2}}+\,\,A{{B}^{2}}=\,\,B{{C}^{2}}\Rightarrow \,\,A{{C}^{2}}\,=\,B{{C}^{2}}\,-\,A{{B}^{2}}\,={{10}^{2\,}}\,-\,{{6}^{2}}\,={{8}^{2}} \\ \Rightarrow AC=8 \end{array} \]

Ta có \[ BC > AC > AB\, \] do \[ \left( 10 > 8 > 6 \right) \] nên \[ \widehat{C} < \widehat{B} < \widehat{A} \] .

Góc ở đáy nhỏ hơn $ {{60}^{0}} $ thì góc ở đỉnh lớn hơn $ {{60}^{0}} $ .

Do đó cạnh đáy lớn hơn cạnh bên.

Xét tam giác ABC

Ta có \[ \widehat{C}={{180}^{0}}-\widehat{A}-\widehat{B}={{180}^{0}}-{{50}^{0}}-{{35}^{0}}={{95}^{0}} \] nên \[ \widehat{C} > \widehat{A} > \widehat{B}\,\,\Rightarrow \,AB\,\, > \,BC\,\, > \,AC \]

Vậy cạnh lớn nhất của tam giác \[ ABC \] là \[ AB \] .

Tam giác $ ABC $ vuông tại B nên góc B là góc lớn nhất

$ \Rightarrow \,\,AB < AC\,;\,\,BC < AC $ .

Ta có: $ \widehat{ACD} > \widehat{B} $ (góc ngoài $ \Delta ABC $ ) nên $ \widehat{ACD} > {{90}^{0}}. $

$ \Delta ACD $ có: $ \widehat{ACD} > {{90}^{0}} $ $ \Rightarrow $ $ AD > AC. $

Xét tam giác $ ABD $ vuông tại A có $ \widehat{ABD}+\widehat{ADC}={{90}^{o}} $

$ \Rightarrow \,\,\widehat{ADB}={{90}^{o}}-\widehat{ABD}={{90}^{o}}-{{20}^{o}}={{70}^{o}} $ .

Ta có: $ \widehat{ADB}+\widehat{BDC}={{180}^{o}} $ (kề bù) $ \Rightarrow \,\,\widehat{ADC}={{180}^{o}}-\widehat{ADB}={{180}^{o}}-{{70}^{o}}={{110}^{o}} $ .

Khi đó: $ \Delta ABD $ có $ \widehat{ABD} < \widehat{ADB} < \widehat{A}\,\,\Rightarrow $ $ AD < AB < BD $ . (1)

$ \Delta BDC $ có $ \widehat{DCB} < \widehat{DBC} < \widehat{ADC}\,\,\Rightarrow $ $ BD < DC < BC $ . (2)

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow AD < AB < BD < DC < BC. $

Trong tam giác vuông, góc vuông là góc lớn nhất.

Nên cạnh huyền (đối diện với góc vuông) là cạnh lớn nhất.

Ta có \[ \widehat{C}={{180}^{0}}-\widehat{A}-\widehat{B}={{180}^{0}}-{{110}^{0}}-{{30}^{0}}={{40}^{0}} \] nên ta có \[ \widehat{A} > \widehat{C} > \widehat{B}\,\,\Rightarrow \,BC\,\, > \,AB\,\, > \,AC \] .

Vậy cạnh \[ BC \] là cạnh lớn nhất, tam giác \[ ABC \] là tam giác tù.