Tính chất ba đường trung tuyến

Tam giác $ ABC $ đều nên $ AM=BN=CQ $ và $ AG=\dfrac{2}{3}AM;\,\,\,CG=\dfrac{2}{3}CQ;\,\,\,BG=\dfrac{2}{3}BN $ nên $ GA=GB=GC $ và $ GN=GM=GQ $ ; $ GM=\dfrac{1}{2}AG=\dfrac{1}{2}CG $ .

$ GN=\dfrac{1}{3}BN $ .

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $ BG=\dfrac{2}{3}BM\,;\,CG=\dfrac{2}{3}CN $ .

Mà $ BM=CN $ nên $ BG=CG $ và $ NG=MG. $

Khi đó: $ \Delta GBN=\Delta GCM\,(c.g.c) $

$ \Rightarrow \,\,BN=CM $ $ \Rightarrow \,\,AB=AC $ $ \Rightarrow \,\Delta ABC $ cân tại A.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG là đường trung tuyến, tức là AG đi qua trung điểm của BC.

Mà $ \Delta ABC $ cân tại A nên $ AG\bot BC $ .

Do $ G $ là trọng tâm của $ \Delta ABC $ nên $ AG=\dfrac{2}{3}AM\Rightarrow GM=\dfrac{1}{2}AG $

Mà $ G $ là trung điểm của $ A{G}' $ nên $ AG=GG' $

$ GM=\dfrac{1}{2}AG=\dfrac{1}{2}GG'\Rightarrow \,M $ là trung điểm đoạn $ GG' $ .

$ \Rightarrow MG'=\dfrac{1}{2}GG'=\dfrac{1}{2}AG $ .

Do $ \Delta DEF $ có $ DE=DF\Rightarrow \Delta DEF $ cân tại $ D $

Mà $ I $ là trung điểm của $ EF $ nên $ IE=IF=\dfrac{1}{2}EF=3 $ cm.

Xét tam giác $ \Delta DEI $ và tam giác $ \Delta DFI $ có

$ DE=DF $ , $ DI $ chung, $ EI=FI $

$ \Rightarrow \Delta DEI=\Delta DFI $ (c-c-c)

Ta có $ \widehat{DIE}=\widehat{DIF} $ ( góc tương ứng)

Mà hai góc kề bù nên $ \widehat{DIE}=\widehat{DIF}={{90}^{o}} $

Xét $ \Delta DEI $ có $ DI\bot \,EF $ : $ D{{I}^{2}}+I{{E}^{2}}=D{{E}^{2}} $ (định lí pytago)

$ \Rightarrow DI=\sqrt{D{{E}^{2}}-I{{E}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4 $ cm.

Ta có $ M $ là trung điểm của $ BC $ nên $ BM=CM=\dfrac{1}{2}BC=\,4cm $

Xét tam giác $ \Delta ABM $ và tam giác $ \Delta ACM $ có

$ AB=AC $ , $ AM $ chung, $ BM=CM $

$ \Rightarrow \Delta ABM=\Delta ACM $ (c-c-c)

Ta có $ \widehat{AMB}=\widehat{AMC} $ ( góc tương ứng)

Mà hai góc kề bù nên $ \widehat{AMB}=\widehat{AMC}={{90}^{o}} $

Áp dụng định lí pytago trong tam giác $ \Delta ACM $

$ \begin{array}{l} A{{C}^{2}}=C{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}\, \\ \Rightarrow AM\,=\sqrt{A{{C}^{2}}-C{{M}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{4}^{2}}}=3cm. \end{array} $

Ta có: $ \Delta DEI=\Delta DFI\left( c.c.c \right)\Rightarrow \widehat{DIE}=\widehat{\text{DIF}}. $

Mà $ \widehat{DIE}+\widehat{\text{DIF}}={{180}^{0}} $ nên $ \widehat{DIE}=\widehat{\text{DIF}}={{90}^{0}}. $

$ IE=\dfrac{1}{2}EF=\dfrac{10}{2}=5\left( cm \right). $

$ \Delta DIE $ vuông tại I nên theo định lí Py-ta-go ta có: $ D{{I}^{2}}=D{{E}^{2}}-I{{E}^{2}}={{13}^{2}}-{{5}^{2}}=169-25=144={{12}^{2}}. $

Vậy $ DI=12cm. $

Xét $ \Delta GBC $ có: $ GB+GC > BC $ (bất đẳng thức tam giác).

Mặt khác: $ GB=\dfrac{2}{3}BN,GC=\dfrac{2}{3}CP $ (tính chất trọng tâm $ \Delta ABC $ ).

Từ đó, ta có: $ \dfrac{2}{3}BN+\dfrac{2}{3}CP > BC\Leftrightarrow BN+CP > \dfrac{3}{2}BC. $

Vì G là trọng tâm của tam giác $ ABC $ nên $ BG=\dfrac{2}{3}BD\,;\,CG=\dfrac{2}{3}CE $ .

Mà $ BD < CE $ nên $ BG < CG\Rightarrow {{\widehat{C}}_{1}} < {{\widehat{B}}_{1}}. $

Vậy $ \widehat{GBC} > \widehat{GCB}. $

Xét $ \Delta ABD $ có trung tuyến BC, M là điểm trên BC và $ MB=\dfrac{2}{3}BC $ (do $ BM=2CM $ )

$ \Rightarrow $ M là trọng tâm của $ \Delta ABD $ .

$ \Rightarrow $ M thuộc trung tuyến AN.

$ \Rightarrow $ Ba điểm A, M, N thẳng hàng.

Tam giác DEF với ba trung tuyến DM, EN, FP và trọng tâm G, ta có:

$ GD=2GM $ ; $ GN=\dfrac{1}{3}EN\,;\,GP=\dfrac{1}{2}GF $ ; $ DM=\dfrac{3}{2}GD. $

Do đó (1) và (4) đúng.

Trong $ \Delta DEF: $ DH là đường trung tuyến, mà G là trọng tâm nên $ \dfrac{GH}{DH}=\dfrac{1}{3}. $

Gọi G là giao điểm của BD và CE, ta có $ BG=\dfrac{2}{3}BD,CG=\dfrac{2}{3}CE. $

Do $ BD=CE $ nên $ BG=CG,GD=GE. $

$ \Delta BGE=\Delta CGD\left( c.g.c \right)\Rightarrow BE=CD. $

Ta lại có: $ BE=\dfrac{1}{2}AB,CD=\dfrac{1}{2}AC $ nên $ AB=AC. $

Ta có: $ CM=BM=2IM $ (Vì I là trung điểm của BM).

$ \Rightarrow \,CM=\dfrac{2}{3}CI $ .

Xét $ \Delta ACE, $ ta có CI là đường trung tuyến và $ CM=\dfrac{2}{3}CI $

$ \Rightarrow $ M là trọng tâm của tam giác $ ACE $ .

Xét $ \Delta ABC $ vuông tại A, đường trung tuyến AM.

Trên tia đối của tia MA, lấy điểm D sao cho $ MD=MA. $

Ta có: $ AM=\dfrac{1}{2}AD. $ (1)

Dễ thấy: $ \Delta BMD=\Delta CMA\left( c.g.c \right)\Rightarrow BD=AC,{{\widehat{B}}_{1}}=\widehat{C} $ , do đó $ BD//AC. $

Ta lại có: $ \widehat{BAC}={{90}^{0}} $ nên $ \widehat{ABD}={{90}^{0}}. $

Xét $ \Delta CAB $ và $ \Delta DBA $ có:

Cạnh AB chung, $ \widehat{CAB}=\widehat{DBA}={{90}^{0}},AC=BD $

$ \Rightarrow $ $ \Delta CAB=\Delta DBA $ $ \Rightarrow $ $ BC=AD. $ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $ AM=\dfrac{1}{2}BC. $