1. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và

Xét tam giác MNP có $ \widehat{M} < \widehat{P}\Rightarrow NP < MN $

Ta có $ NK\bot MP $ gt

Mà PK là hình chiếu của PN; KM là hình chiếu của NM nên $ KP\text{ } < \text{ }KM $ .

Xét tam giác $ DMN $

Theo đề bài $ DI\bot MN $ nên I là hình chiếu của điểm D lên MN

$ \Rightarrow IM;IN $ là hình chiếu của $ DM;DN $

Mà $ IM < IN\Rightarrow DM < DN $ ( quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên).

Vì OH và OH’ tương ứng là hình chiếu của OA trên đường thẳng d và đường thẳng d’ nên

$ AH\bot d\, $ tại H, $ AH'\bot d' $ tại $ H' $ .

Xét tam giác $ AOH $ và tam giác $ AOH' $ có:

$ \widehat{AHO}=\widehat{AH'O}={{90}^{o}} $ ; $ OH=OH' $ ; cạnh $ OA $ chung

$ \Rightarrow \,\Delta AOH=\Delta AOH' $ (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

$ \Rightarrow \,AH=AH' $ .

- So sánh $ MB $ và $ MC $ .

Ta có: $ AB < AC $ nên $ HB < HC $ $ \Rightarrow \,\,MB < MC $ (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).

- So sánh $ MD $ và $ HD $ .

Vì $ \Delta MHB $ vuông tại H $ \Rightarrow \widehat{HMB} $ là góc nhọn.

$ \Rightarrow \widehat{DMH} $ là góc tù (hai góc kề bù).

Xét $ \Delta MHD $ có: $ \widehat{DMH} $ là góc tù

$ \Rightarrow HD $ là cạnh lớn nhất (quan hệ góc-cạnh đối diện) hay $ MD < HD. $

Vậy khẳng định đúng là: $ MD < HD. $

Xét tam giác \[ \Delta ABM=\Delta DCM \] có

\[ \left. \begin{array}{l} AM=MD \\ BM=MC \\ \widehat{AMB}=\widehat{CMD\left( dd \right)} \end{array} \right\}\Rightarrow \Delta ABM=\Delta DCM\,\,\left( c-g-c \right) \]

\[ \Rightarrow AB=DC \] ( 2 cạnh tương ứng )

Tam giác \[ \Delta ABC \] có \[ AH \] là đường cao nên \[ H \] là hình chiều của \[ A \] lên \[ BC \]

\[ \Rightarrow HB;HC \] là hình chiếu của \[ AB;AC \] .

Mà \[ HB < HC \] nên \[ AB < AC \] ( quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên ).

Lại có \[ AB=DC \] nên \[ AC > DC \]

Vậy cả (I) và (II) đúng.

Xét tam giác $ AMC $ có $ AM+AC > MC $ (theo bất đẳng thức tam giác)

$ \Rightarrow \,\,2AM > MC $ (Vì $ AM=AC $ ).

Gọi N là giao điểm của CM và AB $ \Rightarrow N $ nằm giữa A và B $ \Rightarrow AN < AB $ (1)

Gọi H là hình chiếu của A trên MC.

Vì $ AM=AC $ nên $ HM=HC, $ mà $ HM < HN $ nên $ HC < HN\Rightarrow AC < AN. $ (2)

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow AC < AB. $

Đường xiên $ DC > DB $ nên hình chiếu $ HC > HB. $

Hình chiếu $ HC > HB $ nên đường xiên $ AC > AB. $

Đường xiên $ AB=AC $ nên hình chiếu $ HB=HC. $

Ta lại có: $ DB=CE\Rightarrow HD=HE. $

Hình chiếu $ HD=HE $ nên đường xiên $ AD=AE. $

$ \Delta AHC $ có $ AC $ là cạnh huyền nên $ AC > AH. $

$ \Delta ABC $ có $ \widehat{C} > \widehat{B}\Rightarrow AB > AC. $

Đường xiên $ AB > AC $ nên hình chiếu $ HB > HC. $

Xét tam giác $ AHC $ có $ AC $ là cạnh huyền nên $ AH < AC. $

Ta có: $ AB < AC\Rightarrow HB < HC $ (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).

Xét tam giác $ \Delta ABC $ có

$ A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}} $ ( do $ {{6}^{2}}+{{8}^{2}}={{10}^{2}} $ )

$ \Rightarrow \Delta ABC $ vuông tại $ A $

Nên $ A $ là hình chiếu của $ C $ lên $ AB $

$ \Rightarrow AE;AD;AF $ là hình chiếu của nên $ CE;CD;CF $ .

Mà $ AD=4cm,\text{ }AE=2cm,\text{ }AF=5cm $ nên $ AE < AD < AF $

Vậy $ CE < CD < CF $ ( quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên ).

Xét tam giác $ DEF $

Ta có $ \widehat{F}={{180}^{0}}-\widehat{D}-\widehat{E}={{180}^{0}}-{{80}^{0}}-{{50}^{0}}={{50}^{0}} $

Vì $ \widehat{D} > \widehat{E}=\widehat{F}\,\,\Rightarrow EF > DF=DE $

Theo đề bài $ DM\bot EF $ nên M là hình chiếu của điểm D lên EF

$ \Rightarrow ME;MF $ là hình chiếu của $ DE;DF $

Mà $ DE=DF $ nên $ DE=DF $ ( quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên) .

Xét tam giác $ ABC $

Ta có $ \widehat{C}={{180}^{0}}-\widehat{A}-\widehat{B}={{180}^{0}}-{{70}^{0}}-{{50}^{0}}={{60}^{0}} $

Vì $ \widehat{A} > \widehat{C} > \widehat{B}\,\,\Rightarrow BC > AB > AC $

Theo đề bài $ AH\bot BC $ nên H là hình chiếu của điểm A lên BC

$ \Rightarrow BH;HC $ là hình chiếu của $ BA;AC $

Mà $ AB > AC $ nên $ BH > HC $ ( quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên) .

Xét tam giác ABC có $ AD\bot BC $

Mà $ AB\text{ } < \text{ }AC\,\,\Rightarrow \widehat{ACB}\,\, < \,\,\widehat{ABC} $ và $ DB\text{ } < \text{ }DC $ .

Xét $ \Delta AIH $ và $ \Delta BIK $ có:

$ \widehat{AHI}=\widehat{BKI}={{90}^{o}} $ ;

$ IA=IB $ (Vì I là trung điểm của AB);

$ \widehat{AIH}=\widehat{BIK} $ (đối đỉnh)

$ \Rightarrow $ $ \Delta AHI=\Delta BKI $ (cạnh huyền-góc nhọn).

$ \Rightarrow IH=IK $ (hai cạnh tương ứng).

Xét tam giác ABC vuông tại A có

$ AD < AE < AB $ $ \left( 3 < 5 < 8 \right) $ ( giả thiết)

Mà $ AD;AE;AB $ lần lượt là hình chiếu của $ CD;CE;CB $

Nên $ CB > CE > CD $ ( quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên).

- Khẳng định 1 là đúng:

Từ một điểm ở ngoài một đường thẳng ta chỉ kẻ được duy nhất một đường vuông góc với đường thẳng đó.

- Khẳng định 2 là đúng (theo định lí 2 về quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).

- Khẳng định 3 là sai. Chẳng hạn hình vẽ sau:

Hình chiếu của điểm A trên d là H, hình chiếu của B trên d là H nhưng A và B không trùng nhau.

Kẻ $ AH\bot BC. $

Đường xiên $ AB=AC $ suy ra hình chiếu $ HB=HC. $

Ta lại có: $ HD > HC\Rightarrow HD > HB. $

Hình chiếu $ HD > HB $ nên đường xiên $ AD > AB. $

Xét tam giác $ ABC $ vuông ở $ A $ nên $ AB\bot AC $

Nên $ A $ là hình chiếu của $ B $ lên $ AC $

$ \Rightarrow AE;AD;AF $ là hình chiếu của nên $ BE;BD;BF $ .

Mà $ AD=13cm,\text{ }AE=10cm,\,\text{ }AF=18cm $ nên $ AE < AD < AF $

Vậy $ BF > BD > BE $ ( quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên ).