Định lí Pitago trong tam giác vuông

Do $ H $ là trung điểm của $ EF $ nên $ FH=EH=\dfrac{a}{2} $

Áp dụng định lí pytago trong tam giác DEH ta có $ D{{H}^{2}}=D{{E}^{2}}-E{{H}^{2}}\Rightarrow DH=\sqrt{D{{E}^{2}}-E{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2} $

Ta có $ B{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}={{3}^{2}}+{{4}^{2}}=25 $ ; $ A{{C}^{2}}={{5}^{2}}=25 $

Áp dụng định lí pytago đảo ta có $ B{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}} $ nên tam giác $ ABC $ vuông tại B

Xét tam giác ABC vuông cân tại A có $ BC=2cm $ .

Vì $ \Delta ABC $ vuông cân tại A nên $ AB=AC $ và theo định lí Py-ta-go ta có:

$ A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}={{2}^{2}}=4 $

$ \Rightarrow 2A{{B}^{2}}=4\Rightarrow AB=\sqrt{2}\left( cm \right). $

Kẻ $ AH\bot Ox\,\,(H\in \,\,Ox) $ .

Vì $ A(3\,;5) $ nên $ AH=5\,;\,\,OH=3 $ .

Theo định lí Py-ta-go ta có:

$ O{{A}^{2}}={{3}^{2}}+{{5}^{2}}=34\Rightarrow OA=\sqrt{34}. $

Xét tam giác ABM và tam giác CBM có:

$ AB=BC $ (Vì $ \Delta ABC $ cân tại B);

Cạnh BM chung;

$ AM=MC $ (Vì M là trung điểm của AC)

$ \Rightarrow $ $ \Delta ABM=\Delta CBM\left( c.c.c \right)\Rightarrow {{\widehat{M}}_{1}}={{\widehat{M}}_{2}}. $

Ta lại có: $ {{\widehat{M}}_{1}}+{{\widehat{M}}_{2}}={{180}^{0}} $ (kề bù) nên $ {{\widehat{M}}_{1}}={{90}^{0}}. $

Vì M là trung điểm của AC nên $ AM=MC=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}.17=8\,(cm). $

Xét tam giác ABM vuông tại M, theo định lí Py-ta-go ta có: $ B{{M}^{2}}=A{{B}^{2}}-A{{M}^{2}}={{17}^{2}}-{{8}^{2}}=289-64=225={{15}^{2}}. $

Vậy $ BM=15cm. $

Do $ M $ là trung điểm của $ BC $ nên BM=MC=3cm.

Áp dụng định lí pytago trong tam giác vuông ABM có

$ A{{M}^{2}}=A{{B}^{2}}-B{{M}^{2}}\Rightarrow AM=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{M}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4 $ cm.

Xét tam giác ABC vuông cân tại A.

Vì $ \Delta ABC $ vuông cân tại A nên $ AB=AC=2\,dm. $

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

$ B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}} $

$ \Rightarrow $ $ B{{C}^{2}}={{2}^{2}}+{{2}^{2}}=8\Rightarrow BC=\sqrt{8}\left( dm \right). $

Xét tam giác ABH vuông tại H, theo định lí Py-ta-go ta có:

$ A{{H}^{2}}=A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}={{15}^{2}}-{{12}^{2}}={{9}^{2}} $ $ \Rightarrow AH=9 $ .

Xét tam giác AHC vuông tại H, định lí Py-ta-go ta có:

$ H{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}-A{{H}^{2}}={{41}^{2}}-{{9}^{2}}={{40}^{2}} $ $ \Rightarrow HC=40 $ .

Vậy $ x=HC=40. $

$ \Delta ABC $ vuông tại A, theo định lí Py-ta-go ta có:

$ B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{4}^{2}}+{{3}^{2}}=25 $ $ \Rightarrow BC=5\left( cm \right). $

$ \Delta CDE $ vuông tại C, theo định lí Py-ta-go ta có:

$ C{{E}^{2}}=D{{E}^{2}}-C{{D}^{2}}={{5}^{2}}-{{4}^{2}}=9 $ $ \Rightarrow CE=3\left( cm \right). $

Áp dụng định lí pytago trong tam giác vuông MNP ta có $ N{{P}^{2}}=N{{M}^{2}}+M{{P}^{2}}\Rightarrow NP=\sqrt{N{{M}^{2}}+M{{P}^{2}}}=\sqrt{{{9}^{2}}+{{12}^{2}}}=15 $ cm

Vậy chu vi tam giác $ MNP $ là MN+NP+MP=9+15+12=36 cm

Kẻ $ AD\bot AB $ (D thuộc BC).

Vì $ \Delta ABC $ có $ \widehat{A} $ là góc tù nên tia AD nằm giữa hai tia AB và AC $ \Rightarrow BD < BC\left( 1 \right). $

$ \Delta ABD $ vuông tại A, theo định lí Py-ta-go ta có:

$ B{{D}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}\Rightarrow A{{B}^{2}} < B{{D}^{2}}\Rightarrow AB < BD\left( 2 \right) $

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow AB < BC. $

Chứng minh tương tự: $ AC < BC. $

Vậy BC là cạnh lớn nhất.

Dễ thấy $ {{3}^{2}}+{{4}^{2}}=25={{5}^{2}} $

Theo định lí pytago đảo, thì tam giác đó là tam giác vuông.

Dễ thấy $ A{{\text{D}}^{2}}+B{{\text{D}}^{2}}={{4}^{2}}+{{3}^{2}}=25={{5}^{2}}=A{{B}^{2}} $

Theo định lí pytago ta có tam giác ABD vuông tại D hay $ A\text{D}\bot BC $ .

Xét tam giác ADC có $ \widehat{DAC}=\widehat{DCA}\Rightarrow \Delta DAC $ cân tại D mà $ A\text{D}\bot BC $ nên $ \Delta DAC $ vuông cân tại D

Áp dụng định lí pytago trong tam giác vuông ta có $ A{{\text{D}}^{2}}+D{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}\Rightarrow AC=\sqrt{A{{\text{D}}^{2}}+D{{C}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{4}^{2}}}=\sqrt{32} $

Áp dụng định lí pytago trong các tam giác vuông ABC, ABH, ACH ta có

$ A{{B}^{2}}-H{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}=A{{H}^{2}}\Rightarrow A{{B}^{2}}+H{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}+H{{B}^{2}} $

$ B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=\text{A}{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}+\text{A}{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}=2\text{A}{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}+H{{C}^{2}} $

Áp dụng định lí pytago trong tam giác vuông ABH, AHC ta có $ AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{20}^{2}}-{{16}^{2}}}=12 $

$ AC=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}=\sqrt{{{12}^{2}}+{{5}^{2}}}=13 $

Ta thấy:

(1) $ {{15}^{2}}={{9}^{2}}+{{12}^{2}} $ nên tam giác vuông.

(2) $ {{13}^{2}}={{5}^{2}}+{{12}^{2}} $ nên tam giác vuông.

(3) $ {{10}^{2}}\ne {{7}^{2}}+{{7}^{2}} $ nên tam giác không vuông.

$ \Delta ABC $ vuông tại A, theo định lí Py-ta-go ta có:

$ B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{3}^{2}}+{{4}^{2}}=25 $ $ \Rightarrow BC=5\left( cm \right). $

$ \Delta BCD $ vuông tại B, theo định lí Py-ta-go ta có:

$ C{{D}^{2}}=B{{C}^{2}}+B{{D}^{2}}={{5}^{2}}+{{2}^{2}}=29 $ $ \Rightarrow CD=\sqrt{29}cm. $

Ta có: $ OB=OC=OA=\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{2} $ (theo định lí Py-ta-go).

Vậy $ B\left( \sqrt{2};0 \right). $