Định lí Pitago trong tam giác vuông

Do $H$ là trung điểm của $EF$ nên $FH=EH=\dfrac{a}{2}$

Áp dụng định lí pytago trong tam giác DEH ta có $D{{H}^{2}}=D{{E}^{2}}-E{{H}^{2}}\Rightarrow DH=\sqrt{D{{E}^{2}}-E{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Ta có $B{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}={{3}^{2}}+{{4}^{2}}=25$ ; $A{{C}^{2}}={{5}^{2}}=25$

Áp dụng định lí pytago đảo ta có $B{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}$ nên tam giác $ABC$ vuông tại B

Xét tam giác ABC vuông cân tại A có $BC=2cm$ .

Vì $\Delta ABC$ vuông cân tại A nên $AB=AC$ và theo định lí Py-ta-go ta có:

$A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}={{2}^{2}}=4$

$\Rightarrow 2A{{B}^{2}}=4\Rightarrow AB=\sqrt{2}\left( cm \right).$

Kẻ $AH\bot Ox\,\,(H\in \,\,Ox)$ .

Vì $A(3\,;5)$ nên $AH=5\,;\,\,OH=3$ .

Theo định lí Py-ta-go ta có:

$O{{A}^{2}}={{3}^{2}}+{{5}^{2}}=34\Rightarrow OA=\sqrt{34}.$

Xét tam giác ABM và tam giác CBM có:

$AB=BC$ (Vì $\Delta ABC$ cân tại B);

Cạnh BM chung;

$AM=MC$ (Vì M là trung điểm của AC)

$\Rightarrow$ $\Delta ABM=\Delta CBM\left( c.c.c \right)\Rightarrow {{\widehat{M}}_{1}}={{\widehat{M}}_{2}}.$

Ta lại có: ${{\widehat{M}}_{1}}+{{\widehat{M}}_{2}}={{180}^{0}}$ (kề bù) nên ${{\widehat{M}}_{1}}={{90}^{0}}.$

Vì M là trung điểm của AC nên $AM=MC=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}.17=8\,(cm).$

Xét tam giác ABM vuông tại M, theo định lí Py-ta-go ta có: $B{{M}^{2}}=A{{B}^{2}}-A{{M}^{2}}={{17}^{2}}-{{8}^{2}}=289-64=225={{15}^{2}}.$

Vậy $BM=15cm.$

Do $M$ là trung điểm của $BC$ nên BM=MC=3cm.

Áp dụng định lí pytago trong tam giác vuông ABM có

$A{{M}^{2}}=A{{B}^{2}}-B{{M}^{2}}\Rightarrow AM=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{M}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4$ cm.

Xét tam giác ABC vuông cân tại A.

Vì $\Delta ABC$ vuông cân tại A nên $AB=AC=2\,dm.$

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$

$\Rightarrow$ $B{{C}^{2}}={{2}^{2}}+{{2}^{2}}=8\Rightarrow BC=\sqrt{8}\left( dm \right).$

Xét tam giác ABH vuông tại H, theo định lí Py-ta-go ta có:

$A{{H}^{2}}=A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}={{15}^{2}}-{{12}^{2}}={{9}^{2}}$ $\Rightarrow AH=9$ .

Xét tam giác AHC vuông tại H, định lí Py-ta-go ta có:

$H{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}-A{{H}^{2}}={{41}^{2}}-{{9}^{2}}={{40}^{2}}$ $\Rightarrow HC=40$ .

Vậy $x=HC=40.$

$\Delta ABC$ vuông tại A, theo định lí Py-ta-go ta có:

$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{4}^{2}}+{{3}^{2}}=25$ $\Rightarrow BC=5\left( cm \right).$

$\Delta CDE$ vuông tại C, theo định lí Py-ta-go ta có:

$C{{E}^{2}}=D{{E}^{2}}-C{{D}^{2}}={{5}^{2}}-{{4}^{2}}=9$ $\Rightarrow CE=3\left( cm \right).$

Áp dụng định lí pytago trong tam giác vuông MNP ta có $N{{P}^{2}}=N{{M}^{2}}+M{{P}^{2}}\Rightarrow NP=\sqrt{N{{M}^{2}}+M{{P}^{2}}}=\sqrt{{{9}^{2}}+{{12}^{2}}}=15$ cm

Vậy chu vi tam giác $MNP$ là MN+NP+MP=9+15+12=36 cm

Kẻ $AD\bot AB$ (D thuộc BC).

Vì $\Delta ABC$ có $\widehat{A}$ là góc tù nên tia AD nằm giữa hai tia AB và AC $\Rightarrow BD < BC\left( 1 \right).$

$\Delta ABD$ vuông tại A, theo định lí Py-ta-go ta có:

$B{{D}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}\Rightarrow A{{B}^{2}} < B{{D}^{2}}\Rightarrow AB < BD\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow AB < BC.$

Chứng minh tương tự: $AC < BC.$

Vậy BC là cạnh lớn nhất.

Dễ thấy ${{3}^{2}}+{{4}^{2}}=25={{5}^{2}}$

Theo định lí pytago đảo, thì tam giác đó là tam giác vuông.

Dễ thấy $A{{\text{D}}^{2}}+B{{\text{D}}^{2}}={{4}^{2}}+{{3}^{2}}=25={{5}^{2}}=A{{B}^{2}}$

Theo định lí pytago ta có tam giác ABD vuông tại D hay $A\text{D}\bot BC$ .

Xét tam giác ADC có $\widehat{DAC}=\widehat{DCA}\Rightarrow \Delta DAC$ cân tại D mà $A\text{D}\bot BC$ nên $\Delta DAC$ vuông cân tại D

Áp dụng định lí pytago trong tam giác vuông ta có $A{{\text{D}}^{2}}+D{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}\Rightarrow AC=\sqrt{A{{\text{D}}^{2}}+D{{C}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{4}^{2}}}=\sqrt{32}$

Áp dụng định lí pytago trong các tam giác vuông ABC, ABH, ACH ta có

$A{{B}^{2}}-H{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}=A{{H}^{2}}\Rightarrow A{{B}^{2}}+H{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}+H{{B}^{2}}$

$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=\text{A}{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}+\text{A}{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}=2\text{A}{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}+H{{C}^{2}}$

Áp dụng định lí pytago trong tam giác vuông ABH, AHC ta có $AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{20}^{2}}-{{16}^{2}}}=12$

$AC=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}=\sqrt{{{12}^{2}}+{{5}^{2}}}=13$

Ta thấy:

(1) ${{15}^{2}}={{9}^{2}}+{{12}^{2}}$ nên tam giác vuông.

(2) ${{13}^{2}}={{5}^{2}}+{{12}^{2}}$ nên tam giác vuông.

(3) ${{10}^{2}}\ne {{7}^{2}}+{{7}^{2}}$ nên tam giác không vuông.

$\Delta ABC$ vuông tại A, theo định lí Py-ta-go ta có:

$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{3}^{2}}+{{4}^{2}}=25$ $\Rightarrow BC=5\left( cm \right).$

$\Delta BCD$ vuông tại B, theo định lí Py-ta-go ta có:

$C{{D}^{2}}=B{{C}^{2}}+B{{D}^{2}}={{5}^{2}}+{{2}^{2}}=29$ $\Rightarrow CD=\sqrt{29}cm.$

Ta có: $OB=OC=OA=\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{2}$ (theo định lí Py-ta-go).

Vậy $B\left( \sqrt{2};0 \right).$