Lũy thừa của một số hữu tỉ

Lũy thừa của một số hữu tỉ

4.4/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 20 Aug 2022

Lưu về Facebook:

Hình minh họa Lũy thừa của một số hữu tỉ

MỤC LỤC

Lý thuyết về Lũy thừa của một số hữu tỉ

1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Lũy thừa bậc $n$ của một số hữu tỉ $x$ , kí hiệu là ${{x}^{n}}$ , là tích của $n$ thừa số $x$ ( $n$ là một số tự nhiên lớn hơn $1$ ): ${{x}^{n}}=\underbrace{x.x.\ldots x}_{n}\left( x\in \mathbb{Q},n\in \mathbb{N},n>1 \right)$

Quy ước: ${{x}^{1}}=x;{{x}^{0}}=1\left( x\ne 0 \right)$

Ví dụ: ${{2}^{3}}=2.2.2$

Chú ý: Khi viết lũy thừa dưới dạng $\dfrac{a}{b}$ $(a,b\in \mathbb{Z};b\ne 0)$ , ta có ${{\left( \dfrac{a}{b} \right)}^{n}}=\dfrac{{{a}^{n}}}{{{b}^{n}}}$

2. Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số

+ Khi nhấn hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ:

${{x}^{m}}.{{x}^{n}}={{x}^{m+n}}$ (với $x$ là số hữu tỉ)

+ Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số khác $0$ , ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ đi số mũ của lũy thừa chia: ${{x}^{m}}:{{x}^{n}}={{x}^{m-n}}(x\ne 0,m\ge n)$

Ví dụ: ${{3}^{5}}{{.3}^{2}}={{3}^{5+2}}={{3}^{7}};{{2}^{7}}:{{2}^{2}}={{2}^{7-2}}={{2}^{5}}$

3. Lũy thừa của lũy thừa

Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ: ${{\left( {{x}^{m}} \right)}^{n}}={{x}^{m.n}}$

Ví dụ: ${{\left( {{2}^{3}} \right)}^{4}}={{2}^{3.4}}={{2}^{12}}$

4. Lũy thừa của một tích

Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa: ${{(x.y)}^{n}}={{x}^{n}}\cdot {{y}^{n}}$

Ví dụ: ${{(2.3)}^{2}}={{2}^{2}}{{.3}^{2}}=4.9=36$

5. Lũy thừa của một thương

Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa: ${{\left( \dfrac{x}{y} \right)}^{n}}=\dfrac{{{x}^{n}}}{{{y}^{n}}}(y\ne 0)$

Ví dụ: ${{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{{{2}^{3}}}{{{3}^{3}}}=\dfrac{8}{27}$

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Giá trị biểu thức $\dfrac{{{45}^{10}}{{.5}^{10}}}{{{75}^{10}}}$ bằng

A
${{3}^{10}}$ .
B
${{25}^{10}}$ .
C
${{5}^{10}}$ .
D
${{15}^{10}}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\dfrac{{{45}^{10}}{{.5}^{10}}}{{{75}^{10}}}=$ ${{3}^{10}}$ .

Câu 2: Viết số $\dfrac{81}{2401}$ dưới dạng một lũy thừa của một số hữu tỉ ${{\left( \dfrac{a}{b} \right)}^{n}}$ , trong đó $a,b > 0$ . Có tất cả bao nhiêu cách viết ?

A
7 cách.
B
3 cách.
C
5 cách.
D
4 cách.

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\dfrac{81}{2401}={{\left( \dfrac{81}{2401} \right)}^{1}}={{\left( \dfrac{9}{49} \right)}^{2}}={{\left( \dfrac{3}{7} \right)}^{4}}.$

Câu 3: Số a thích hợp để $- \frac{{27}}{{343}} = {\left( { - \frac{3}{7}} \right)^a}$ là

A
$3$ .
B
$2$ .
C
$1$ .
D
$7$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $-\dfrac{27}{343}={{\left( -\dfrac{3}{7} \right)}^{3}}$ .

Vậy số cần điền vào ô trống là 3.

Câu 4: Giá trị $x$ thỏa mãn ${{2}^{x}}+{{2}^{x+3}}=144$ là

A
$0$ .
B
$1$ .
C
$2$ .
D
$4$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có ${{2}^{x}}+{{2}^{x+3}}=144\Leftrightarrow {{2}^{x}}\left( 1+{{2}^{3}} \right)=144\Leftrightarrow x=4$ .

Câu 5: Giá trị của ${{\left( -\dfrac{1}{3} \right)}^{4}}$ bằng

A
$\dfrac{1}{81}$ .
B
$\dfrac{-4}{81}$ .
C
$\dfrac{-1}{81}$ .
D
$\dfrac{4}{81}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có ${{\left( -\dfrac{1}{3} \right)}^{4}}=\dfrac{1}{81}$ .

Câu 6: Giá trị $x$ thỏa mãn để ${{2}^{x}}={{2}^{8}}:{{2}^{2}}$ là

A
$5$ .
B
$6$ .
C
$8$ .
D
$~{{2}^{6}}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có ${{2}^{x}}={{2}^{8}}:{{2}^{2}}={{2}^{6}}\Rightarrow x=6$ .

Câu 7: Giá trị của biểu thức $\dfrac{{{\left( 0,8 \right)}^{5}}}{{{\left( 0,4 \right)}^{6}}}$ bằng

A
$0,8$ .
B
$800$ .
C
$80$ .
D
$8$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\dfrac{{{\left( 0,8 \right)}^{5}}}{{{\left( 0,4 \right)}^{6}}}=\dfrac{{{\left( 0,8 \right)}^{5}}}{{{\left( 0.4 \right)}^{5}}}.\dfrac{1}{0,4}={{2}^{5}}.\dfrac{1}{0,4}=80.$

Câu 8: Cho số $a={{2}^{12}}{{.5}^{8}}.$

$a$ là số có bao nhiêu chữ số ?

A
9 chữ số.
B
12 chữ số.
C
10 chữ số.
D
11 chữ số.

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$a={{2}^{12}}{{.5}^{8}}={{2}^{4}}.\left( {{2}^{8}}{{.5}^{8}} \right)={{16.10}^{8}}=1\,\,600\,\,000\,\,000.$

Vậy số a có 10 chữ số.

Câu 9: Giá trị $x$ thỏa mãn ${{3}^{x}}+{{3}^{x+2}}=810$ là

A
$x=2$ .
B
$x=-4$ .
C
$x=4~$ .
D
$x=8$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có ${{3}^{x}}+{{3}^{x+2}}=810\Leftrightarrow {{3}^{x}}\left( 1+{{3}^{2}} \right)=810\Leftrightarrow {{3}^{x}}=81\Leftrightarrow x=4$ .

Câu 10: Kết quả phép tính ${{\left( \dfrac{-2}{5}+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}$ bằng

A
$\dfrac{1}{4}$ .
B
$\dfrac{-1}{100}$ .
C
$\dfrac{81}{100}$ .
D
$\dfrac{1}{100}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có ${{\left( \dfrac{-2}{5}+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{100}$ .

Câu 11: Chọn khẳng định đúng.

So sánh ${{3}^{222}}$ và ${{2}^{333}}$ ta được

A
${{3}^{222}}~ > \text{ }{{2}^{333}}$ .
B
${{3}^{222}}~ < \text{ }{{2}^{333}}$ .
C
Không so sánh được.
D
${{3}^{222}}=\text{ }{{2}^{333}}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Dễ thấy ${{3}^{222}}={{\left( {{3}^{2}} \right)}^{111}}={{9}^{111}}$ và ${{2}^{333}}={{\left( {{2}^{3}} \right)}^{111}}={{8}^{111}}$

Mà ${{9}^{111}} > {{8}^{111}}$ nên ${{3}^{222}}~ > \text{ }{{2}^{333}}$ .

Câu 12: Giá trị $x$ thỏa mãn ${{2}^{x-1}}=\text{ }16$ là

A
$1$ .
B
$2$ .
C
$5$ .
D
$4$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có ${{2}^{x-1}}=\text{ }16\Leftrightarrow {{2}^{x-1}}=\text{ }{{\text{2}}^{4}}\Leftrightarrow x=5$ .

Câu 13: Kết quả phép tính $\dfrac{{{90}^{2}}}{{{15}^{2}}}$ bằng

A
$26$ .
B
$36$ .
C
$16$ .
D
$6$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\dfrac{{{90}^{2}}}{{{15}^{2}}}={{\left( \dfrac{90}{15} \right)}^{2}}=36.$

Câu 14: Kết quả của phép tính ${{2}^{4}}+8{{\left[ {{\left( -2 \right)}^{2}}:\dfrac{1}{2} \right]}^{0}}-{{2}^{-2}}\cdot 4+{{\left( -2 \right)}^{2}}$ là

A
$27$ .
B
$19$ .
C
$29$ .
D
$\dfrac{447}{16}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có ${{2}^{4}}+8{{\left[ {{\left( -2 \right)}^{2}}:\dfrac{1}{2} \right]}^{0}}-{{2}^{-2}}\cdot 4+{{\left( -2 \right)}^{2}}=27$ .

Câu 15: Giá trị của ${{\left( {{2}^{2}} \right)}^{\left( {{2}^{2}} \right)}}$ bằng

A
128.
B
64.
C
512.
D
256.

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

${{\left( {{2}^{2}} \right)}^{\left( {{2}^{2}} \right)}}={{4}^{4}}=256.$

Câu 16: Tổng các giá trị của $x$ thỏa mãn ${{\left( x\,+\,\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}\,=\,\dfrac{4}{25}$ là

A
$-1$ .
B
$-\dfrac{7}{10}$ .
C
$\dfrac{9}{10}$ .
D
$-\dfrac{3}{10}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có ${{\left( x\,+\,\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}\,=\,\dfrac{4}{25}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x\,+\,\dfrac{1}{2}\,=\,\dfrac{2}{5} \\ x\,+\,\dfrac{1}{2}\,=\,\dfrac{-2}{5} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{-1}{10} \\ x=\dfrac{-9}{10} \end{array} \right.$

Nên $-\dfrac{9}{10}+-\dfrac{1}{10}=-1$ .

Câu 17: Tích ${{4}^{4}}{{.9}^{4}}{{.4}^{9}}{{.9}^{9}}$ bằng:

A
${{1296}^{26}}.$
B
${{13}^{13}}.$
C
${{36}^{13}}.$
D
${{13}^{36}}.$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

${{4}^{4}}{{.9}^{4}}{{.4}^{9}}{{.9}^{9}}={{\left( 4.9 \right)}^{4}}.{{\left( 4.9 \right)}^{9}}={{36}^{4+9}}={{36}^{13}}.$

Câu 18: Biểu diễn mối quan hệ giữa $x$ và $y$ biết ${{x}^{4}}={{y}^{4}}.$

A
$x=-y.$
B
$x=\pm y.$
C
$x=y.$
D
$x=\dfrac{1}{y}.$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì số mũ của x và y đều là số mũ chẵn nên ${{x}^{4}}={{y}^{4}}\Leftrightarrow x=\pm y.$

Câu 19: Biết Giá trị của $x$ thỏa mãn là

A
$-0,32.$
B
$0,{{32}^{2}}.$
C
$0,32$ .
D
$-\dfrac{1}{0,32}.$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

${{\left( -0,32 \right)}^{8}}=\left( -0,32 \right).{{\left( -0,32 \right)}^{7}}.$

Câu 20: Cho ${{20}^{n}}:~{{5}^{n}}=4~$ thì

A
$n=3~$ .
B
$n=1$ .
C
$n=0$ .
D
$n=2$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có ${{20}^{n}}:~{{5}^{n}}=4~\Leftrightarrow {{4}^{n}}=4\Leftrightarrow n=1$ .

Câu 21: Giá trị $x$ thỏa mãn ${{\left( \text{x}\,-\dfrac{\text{1}}{\text{2}} \right)}^{\text{3}}}\text{ = }\dfrac{\text{1}}{\text{27}}\text{ }$ là

A
$-\dfrac{5}{6}$ .
B
$\dfrac{1}{6}$ .
C
$\dfrac{5}{6}$ .
D
$-\dfrac{1}{6}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có ${{\left( \text{x}\,-\,\dfrac{\text{1}}{\text{2}} \right)}^{\text{3}}}\text{ = }\dfrac{\text{1}}{\text{27}}\text{ }\Leftrightarrow \text{x}\,-\,\dfrac{\text{1}}{\text{2}}=\,\dfrac{\text{1}}{3}\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{6}$ .

Câu 22: Số thích hợp để điền vào chỗ chấm là $0,0001 = 0,{1^{....}}$ là

A
$4$ .
B
$3$ .
C
$1$ .
D
$2$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $0,0001=0,{{1}^{4}}$ .

Vậy số cần điền vào chỗ chấm là 4.

Câu 23: Giá trị của biểu thức ${{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{4}} -$ ${{\left( \dfrac{1}{4} \right)}^{3}}$ là

A
$-\dfrac{17}{5184}.$
B
$\dfrac{1}{7114}.$
C
0
D
$\dfrac{1}{10000}.$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

${{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{4}}-{{\left( \dfrac{1}{4} \right)}^{3}}=\dfrac{1}{81}-\dfrac{1}{64}=-\dfrac{17}{5184}.$

Câu 24: Giá trị ${{\left( 0,125 \right)}^{4}}.\text{ }{{8}^{4}}~$ bằng

A
$1$ .
B
$100$ .
C
$1000$ .
D
$10$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có ${{\left( 0,125 \right)}^{4}}.\text{ }{{8}^{4}}~={{\left( \dfrac{1}{8} \right)}^{4}}{{.8}^{4}}={{\left( \dfrac{1}{8}.8 \right)}^{4}}=1.$

Câu 25: Kết quả phép tính ${{\left( -\dfrac{2}{3} \right)}^{4}}:{{2}^{4}}$ là

A
$\dfrac{1}{9}$ .
B
$-\dfrac{1}{81}$ .
C
$-\dfrac{1}{9}$ .
D
$\dfrac{1}{81}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có ${{\left( -\dfrac{2}{3} \right)}^{4}}:{{2}^{4}}={{\left( -\dfrac{2}{3}:2 \right)}^{4}}={{\left( -\dfrac{1}{3} \right)}^{4}}=\dfrac{1}{81}.$

Câu 26: Giá trị $x$ thỏa mãn ${{3}^{x-1}}=\dfrac{1}{243}$ là

A
$4$ .
B
$-1$ .
C
$-4$ .
D
$1$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $\dfrac{1}{243}={{3}^{-5}}\Rightarrow {{3}^{x-1}}={{3}^{-5}}\Leftrightarrow x=-4$ .

Câu 27: Kết quả của phép tính $3-{{\left( -\dfrac{6}{7} \right)}^{0}}+{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}:2$ bằng

A
$\dfrac{17}{8}$ .
B
$23$ .
C
$\dfrac{23}{4}$ .
D
$-\dfrac{17}{8}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $3-{{\left( -\dfrac{6}{7} \right)}^{0}}+{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}:2=\dfrac{17}{8}$ .

Câu 28: Giá trị $x$ thỏa mãn ${{81}^{2x}}{{.27}^{x}}={{9}^{11}}$ là

A
$1$ .
B
$4$ .
C
$3$ .
D
$2$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có ${{81}^{2x}}{{.27}^{x}}={{9}^{11}}\Leftrightarrow {{3}^{8x}}{{.3}^{3x}}={{3}^{22}}\Leftrightarrow x=2$ .

Câu 29: ${{7}^{206}}-{{7}^{205}}+{{7}^{204}}$ chia hết cho

A
$43$ .
B
$42$ .
C
$41$ .
D
$44$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có ${{7}^{206}}-{{7}^{205}}+{{7}^{204}}={{7}^{204}}\left( {{7}^{2}}-7+1 \right)={{7}^{204}}.43$

Nên ${{7}^{206}}-{{7}^{205}}+{{7}^{204}}$ chia hết cho 43.

Câu 30: Giá trị của $x$ thỏa mãn ${{\left( -\dfrac{1}{3} \right)}^{3}}.x=\dfrac{1}{81}$ là

A
$x=\dfrac{1}{3}.$
B
$x=-3.$
C
$x=3.$
D
$x=-\dfrac{1}{3}.$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

${{\left( -\dfrac{1}{3} \right)}^{3}}.x=\dfrac{1}{81}$

$\Leftrightarrow {{\left( -\dfrac{1}{3} \right)}^{3}}.x={{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{4}}$

$\Leftrightarrow x=-{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{4}}:{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{3}}=-\dfrac{1}{3}.$

Câu 31: Số ${{2}^{24}}$ viết dưới dạng lũy thừa có số mũ 8 là

A
${{6}^{8}}$ .
B
Một đáp số khác.
C
${{9}^{8}}$ .
D
${{8}^{8}}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có ${{2}^{24}}={{2}^{3.8}}={{\left( {{2}^{3}} \right)}^{8}}={{8}^{8}}$ .

Câu 32: Tích $\dfrac{2}{3}.\dfrac{4}{9}.\dfrac{8}{27}$ được viết dưới dạng lũy thừa là:

A
${{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{6}}.$
B
${{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{5}}.$
C
${{\left( \dfrac{4}{9} \right)}^{4}}.$
D
${{\left( \dfrac{8}{27} \right)}^{3}}.$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\dfrac{2}{3}.\dfrac{4}{9}.\dfrac{8}{27}=\dfrac{{{2.2}^{2}}{{.2}^{3}}}{{{3.3}^{2}}{{.3}^{3}}}=\dfrac{{{2}^{6}}}{{{3}^{6}}}={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{6}}$

Câu 33: Chọn đáp án đúng.

A
$16={{2}^{5}}.$
B
$-\dfrac{27}{343}={{\left( -\dfrac{3}{7} \right)}^{3}}.$
C
$243={{4}^{5}}.$
D
$0,0001={{\left( -0,1 \right)}^{3}}.$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$16={{2}^{4}};\,\,0,0001={{\left( -0,1 \right)}^{4}};\,\,243={{3}^{5}}.$

Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới