Lũy thừa của một số hữu tỉ
Lý thuyết về Lũy thừa của một số hữu tỉ
1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên
Lũy thừa bậc $n$ của một số hữu tỉ $x$, kí hiệu là ${{x}^{n}}$, là tích của $n$ thừa số $x$ ($n$ là một số tự nhiên lớn hơn $1$ ): ${{x}^{n}}=\underbrace{x.x.\ldots x}_{n}\left( x\in \mathbb{Q},n\in \mathbb{N},n>1 \right)$
Quy ước: ${{x}^{1}}=x;{{x}^{0}}=1\left( x\ne 0 \right)$
Ví dụ: ${{2}^{3}}=2.2.2$
Chú ý: Khi viết lũy thừa dưới dạng $\dfrac{a}{b}$ $(a,b\in \mathbb{Z};b\ne 0)$, ta có ${{\left( \dfrac{a}{b} \right)}^{n}}=\dfrac{{{a}^{n}}}{{{b}^{n}}}$
2. Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số
+ Khi nhấn hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ:
${{x}^{m}}.{{x}^{n}}={{x}^{m+n}}$ (với $x$ là số hữu tỉ)
+ Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số khác$0$ , ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ đi số mũ của lũy thừa chia:${{x}^{m}}:{{x}^{n}}={{x}^{m-n}}(x\ne 0,m\ge n)$
Ví dụ: ${{3}^{5}}{{.3}^{2}}={{3}^{5+2}}={{3}^{7}};{{2}^{7}}:{{2}^{2}}={{2}^{7-2}}={{2}^{5}}$
3. Lũy thừa của lũy thừa
Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ:${{\left( {{x}^{m}} \right)}^{n}}={{x}^{m.n}}$
Ví dụ: ${{\left( {{2}^{3}} \right)}^{4}}={{2}^{3.4}}={{2}^{12}}$
4. Lũy thừa của một tích
Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa: ${{(x.y)}^{n}}={{x}^{n}}\cdot {{y}^{n}}$
Ví dụ: ${{(2.3)}^{2}}={{2}^{2}}{{.3}^{2}}=4.9=36$
5. Lũy thừa của một thương
Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa: ${{\left( \dfrac{x}{y} \right)}^{n}}=\dfrac{{{x}^{n}}}{{{y}^{n}}}(y\ne 0)$
Ví dụ: ${{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{{{2}^{3}}}{{{3}^{3}}}=\dfrac{8}{27}$
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Giá trị biểu thức $ \dfrac{{{45}^{10}}{{.5}^{10}}}{{{75}^{10}}} $ bằng
- A
- B
- C
- D
Ta có $ \dfrac{{{45}^{10}}{{.5}^{10}}}{{{75}^{10}}}= $ $ {{3}^{10}} $ .
Câu 2: Viết số $ \dfrac{81}{2401} $ dưới dạng một lũy thừa của một số hữu tỉ $ {{\left( \dfrac{a}{b} \right)}^{n}} $ , trong đó $ a,b > 0 $ . Có tất cả bao nhiêu cách viết ?
- A
- B
- C
- D
$ \dfrac{81}{2401}={{\left( \dfrac{81}{2401} \right)}^{1}}={{\left( \dfrac{9}{49} \right)}^{2}}={{\left( \dfrac{3}{7} \right)}^{4}}. $
Câu 3: Số a thích hợp để \[ - \frac{{27}}{{343}} = {\left( { - \frac{3}{7}} \right)^a}\] là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ -\dfrac{27}{343}={{\left( -\dfrac{3}{7} \right)}^{3}} $ .
Vậy số cần điền vào ô trống là 3.
Câu 4: Giá trị $ x $ thỏa mãn $ {{2}^{x}}+{{2}^{x+3}}=144 $ là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ {{2}^{x}}+{{2}^{x+3}}=144\Leftrightarrow {{2}^{x}}\left( 1+{{2}^{3}} \right)=144\Leftrightarrow x=4 $ .
Câu 5: Giá trị của $ {{\left( -\dfrac{1}{3} \right)}^{4}} $ bằng
- A
- B
- C
- D
Ta có $ {{\left( -\dfrac{1}{3} \right)}^{4}}=\dfrac{1}{81} $ .
Câu 6: Giá trị $ x $ thỏa mãn để $ {{2}^{x}}={{2}^{8}}:{{2}^{2}} $ là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ {{2}^{x}}={{2}^{8}}:{{2}^{2}}={{2}^{6}}\Rightarrow x=6 $ .
Câu 7: Giá trị của biểu thức $ \dfrac{{{\left( 0,8 \right)}^{5}}}{{{\left( 0,4 \right)}^{6}}} $ bằng
- A
- B
- C
- D
Ta có $ \dfrac{{{\left( 0,8 \right)}^{5}}}{{{\left( 0,4 \right)}^{6}}}=\dfrac{{{\left( 0,8 \right)}^{5}}}{{{\left( 0.4 \right)}^{5}}}.\dfrac{1}{0,4}={{2}^{5}}.\dfrac{1}{0,4}=80. $
Câu 8: Cho số $ a={{2}^{12}}{{.5}^{8}}. $ $ a $ là số có bao nhiêu chữ số ?
$ a $ là số có bao nhiêu chữ số ?
- A
- B
- C
- D
$ a={{2}^{12}}{{.5}^{8}}={{2}^{4}}.\left( {{2}^{8}}{{.5}^{8}} \right)={{16.10}^{8}}=1\,\,600\,\,000\,\,000. $
Vậy số a có 10 chữ số.
Câu 9: Giá trị $ x $ thỏa mãn $ {{3}^{x}}+{{3}^{x+2}}=810 $ là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ {{3}^{x}}+{{3}^{x+2}}=810\Leftrightarrow {{3}^{x}}\left( 1+{{3}^{2}} \right)=810\Leftrightarrow {{3}^{x}}=81\Leftrightarrow x=4 $ .
Câu 10: Kết quả phép tính $ {{\left( \dfrac{-2}{5}+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}} $ bằng
- A
- B
- C
- D
Ta có $ {{\left( \dfrac{-2}{5}+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{100} $ .
Câu 11: Chọn khẳng định đúng. So sánh $ {{3}^{222}} $ và $ {{2}^{333}} $ ta được
So sánh $ {{3}^{222}} $ và $ {{2}^{333}} $ ta được
- A
- B
- C
- D
Dễ thấy $ {{3}^{222}}={{\left( {{3}^{2}} \right)}^{111}}={{9}^{111}} $ và $ {{2}^{333}}={{\left( {{2}^{3}} \right)}^{111}}={{8}^{111}} $
Mà $ {{9}^{111}} > {{8}^{111}} $ nên $ {{3}^{222}}~ > \text{ }{{2}^{333}} $ .
Câu 12: Giá trị $ x $ thỏa mãn $ {{2}^{x-1}}=\text{ }16 $ là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ {{2}^{x-1}}=\text{ }16\Leftrightarrow {{2}^{x-1}}=\text{ }{{\text{2}}^{4}}\Leftrightarrow x=5 $ .
Câu 13: Kết quả phép tính $ \dfrac{{{90}^{2}}}{{{15}^{2}}} $ bằng
- A
- B
- C
- D
Ta có $ \dfrac{{{90}^{2}}}{{{15}^{2}}}={{\left( \dfrac{90}{15} \right)}^{2}}=36. $
Câu 14: Kết quả của phép tính $ {{2}^{4}}+8{{\left[ {{\left( -2 \right)}^{2}}:\dfrac{1}{2} \right]}^{0}}-{{2}^{-2}}\cdot 4+{{\left( -2 \right)}^{2}} $ là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ {{2}^{4}}+8{{\left[ {{\left( -2 \right)}^{2}}:\dfrac{1}{2} \right]}^{0}}-{{2}^{-2}}\cdot 4+{{\left( -2 \right)}^{2}}=27 $ .
Câu 15: Giá trị của $ {{\left( {{2}^{2}} \right)}^{\left( {{2}^{2}} \right)}}$ bằng
- A
- B
- C
- D
$ {{\left( {{2}^{2}} \right)}^{\left( {{2}^{2}} \right)}}={{4}^{4}}=256. $
Câu 16: Tổng các giá trị của $ x $ thỏa mãn $ {{\left( x\,+\,\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}\,=\,\dfrac{4}{25} $ là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ {{\left( x\,+\,\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}\,=\,\dfrac{4}{25}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x\,+\,\dfrac{1}{2}\,=\,\dfrac{2}{5} \\ x\,+\,\dfrac{1}{2}\,=\,\dfrac{-2}{5} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{-1}{10} \\ x=\dfrac{-9}{10} \end{array} \right. $
Nên $ -\dfrac{9}{10}+-\dfrac{1}{10}=-1 $ .
Câu 17: Tích $ {{4}^{4}}{{.9}^{4}}{{.4}^{9}}{{.9}^{9}} $ bằng:
- A
- B
- C
- D
$ {{4}^{4}}{{.9}^{4}}{{.4}^{9}}{{.9}^{9}}={{\left( 4.9 \right)}^{4}}.{{\left( 4.9 \right)}^{9}}={{36}^{4+9}}={{36}^{13}}. $
Câu 18: Biểu diễn mối quan hệ giữa $ x $ và $ y $ biết $ {{x}^{4}}={{y}^{4}}. $
- A
- B
- C
- D
Vì số mũ của x và y đều là số mũ chẵn nên $ {{x}^{4}}={{y}^{4}}\Leftrightarrow x=\pm y. $
Câu 19: Biết $ {{\left( -0,32 \right)}^{8}}=\left( -0,32 \right).{{x}^{7}}. $ Giá trị của $x$ thỏa mãn là
- A
- B
- C
- D
$ {{\left( -0,32 \right)}^{8}}=\left( -0,32 \right).{{\left( -0,32 \right)}^{7}}. $
Câu 20: Cho $ {{20}^{n}}:~{{5}^{n}}=4~ $ thì
- A
- B
- C
- D
Ta có $ {{20}^{n}}:~{{5}^{n}}=4~\Leftrightarrow {{4}^{n}}=4\Leftrightarrow n=1 $ .
Câu 21: Giá trị $ x $ thỏa mãn $ {{\left( \text{x}\,-\dfrac{\text{1}}{\text{2}} \right)}^{\text{3}}}\text{ = }\dfrac{\text{1}}{\text{27}}\text{ } $ là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ {{\left( \text{x}\,-\,\dfrac{\text{1}}{\text{2}} \right)}^{\text{3}}}\text{ = }\dfrac{\text{1}}{\text{27}}\text{ }\Leftrightarrow \text{x}\,-\,\dfrac{\text{1}}{\text{2}}=\,\dfrac{\text{1}}{3}\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{6} $ .
Câu 22: Số thích hợp để điền vào chỗ chấm là $0,0001 = 0,{1^{....}}$ là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ 0,0001=0,{{1}^{4}} $ .
Vậy số cần điền vào chỗ chấm là 4.
Câu 23: Giá trị của biểu thức $ {{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{4}} -$ $ {{\left( \dfrac{1}{4} \right)}^{3}} $ là
- A
- B
- C
- D
$ {{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{4}}-{{\left( \dfrac{1}{4} \right)}^{3}}=\dfrac{1}{81}-\dfrac{1}{64}=-\dfrac{17}{5184}. $
Câu 24: Giá trị $ {{\left( 0,125 \right)}^{4}}.\text{ }{{8}^{4}}~ $ bằng
- A
- B
- C
- D
Ta có $ {{\left( 0,125 \right)}^{4}}.\text{ }{{8}^{4}}~={{\left( \dfrac{1}{8} \right)}^{4}}{{.8}^{4}}={{\left( \dfrac{1}{8}.8 \right)}^{4}}=1. $
Câu 25: Kết quả phép tính $ {{\left( -\dfrac{2}{3} \right)}^{4}}:{{2}^{4}} $ là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ {{\left( -\dfrac{2}{3} \right)}^{4}}:{{2}^{4}}={{\left( -\dfrac{2}{3}:2 \right)}^{4}}={{\left( -\dfrac{1}{3} \right)}^{4}}=\dfrac{1}{81}. $
Câu 26: Giá trị $ x $ thỏa mãn $ {{3}^{x-1}}=\dfrac{1}{243} $ là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ \dfrac{1}{243}={{3}^{-5}}\Rightarrow {{3}^{x-1}}={{3}^{-5}}\Leftrightarrow x=-4 $ .
Câu 27: Kết quả của phép tính $ 3-{{\left( -\dfrac{6}{7} \right)}^{0}}+{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}:2 $ bằng
- A
- B
- C
- D
Ta có $ 3-{{\left( -\dfrac{6}{7} \right)}^{0}}+{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}:2=\dfrac{17}{8} $ .
Câu 28: Giá trị $ x $ thỏa mãn $ {{81}^{2x}}{{.27}^{x}}={{9}^{11}} $ là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ {{81}^{2x}}{{.27}^{x}}={{9}^{11}}\Leftrightarrow {{3}^{8x}}{{.3}^{3x}}={{3}^{22}}\Leftrightarrow x=2 $ .
Câu 29: $ {{7}^{206}}-{{7}^{205}}+{{7}^{204}} $ chia hết cho
- A
- B
- C
- D
Ta có $ {{7}^{206}}-{{7}^{205}}+{{7}^{204}}={{7}^{204}}\left( {{7}^{2}}-7+1 \right)={{7}^{204}}.43 $
Nên $ {{7}^{206}}-{{7}^{205}}+{{7}^{204}} $ chia hết cho 43.
Câu 30: Giá trị của $ x $ thỏa mãn $ {{\left( -\dfrac{1}{3} \right)}^{3}}.x=\dfrac{1}{81}$ là
- A
- B
- C
- D
$ {{\left( -\dfrac{1}{3} \right)}^{3}}.x=\dfrac{1}{81} $
$ \Leftrightarrow {{\left( -\dfrac{1}{3} \right)}^{3}}.x={{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{4}} $
$ \Leftrightarrow x=-{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{4}}:{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{3}}=-\dfrac{1}{3}. $
Câu 31: Số $ {{2}^{24}} $ viết dưới dạng lũy thừa có số mũ 8 là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ {{2}^{24}}={{2}^{3.8}}={{\left( {{2}^{3}} \right)}^{8}}={{8}^{8}} $ .
Câu 32: Tích $ \dfrac{2}{3}.\dfrac{4}{9}.\dfrac{8}{27} $ được viết dưới dạng lũy thừa là:
- A
- B
- C
- D
$ \dfrac{2}{3}.\dfrac{4}{9}.\dfrac{8}{27}=\dfrac{{{2.2}^{2}}{{.2}^{3}}}{{{3.3}^{2}}{{.3}^{3}}}=\dfrac{{{2}^{6}}}{{{3}^{6}}}={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{6}} $
Câu 33: Chọn đáp án đúng.
- A
- B
- C
- D
$ 16={{2}^{4}};\,\,0,0001={{\left( -0,1 \right)}^{4}};\,\,243={{3}^{5}}. $