Số vô tỉ. Căn bậc hai
Lý thuyết về Số vô tỉ. Căn bậc hai
Định nghĩa số vô tỉ
+ Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
+ Tập hợp các số vô tỉ kí hiệu là $I$.
Ví du: $2,4142...$ là số vô tỉ.
Định nghĩa căn bậc hai
+ Căn bậc hai của một số $a$ không âm là số $x$ sao cho ${{x}^{2}}=a$.
+ Số dương $a$ có đúng hai căn bậc hai là $\sqrt{a}$ và $-\sqrt{a}$
+ Số $0$ chỉ có một căn bậc hai là số $0$: $\sqrt{0}=0$
Ví dụ: Các căn bậc hai của $5$ là $\sqrt{5}$ và $-\sqrt{5}$
Chú ý: Không được viết $\sqrt{9}=\pm 3$.
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho biết $ \sqrt{x}=\dfrac{3}{2} $ , khi đó $ 2x $ bằng
- A
- B
- C
- D
Vì $ \sqrt{x}=\dfrac{3}{2} $ nên $ x={{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{9}{4}. $
Do đó: $ 2x=2.\dfrac{9}{4}=\dfrac{9}{2}. $
Câu 2: Cho biết: $ \left( x-1 \right)-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{1}{4} $ . Khi đó $ \sqrt{x} $ bằng:
- A
- B
- C
- D
$ \left( x-1 \right)-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{1}{4} $
$ x-1=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{2} $
$ x-1=\dfrac{5}{4} $
$ x=\dfrac{5}{4}+1 $
$ x=\dfrac{9}{4}. $
Khi đó: $ \sqrt{x}=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{3}{2}. $
Câu 3: Nếu $ \sqrt{x}=5 $ thì $ {{x}^{2}} $ bằng:
- A
- B
- C
- D
Vì $ \sqrt{x}=5 $ nên $ x={{5}^{2}}=25. $
Do đó: $ \,{{x}^{2}}={{25}^{2}}=625. $
Câu 4: Giá trị $ x $ thỏa mãn: $ \dfrac{x}{3}=\dfrac{2}{x} $ là:
- A
- B
- C
- D
$ \dfrac{x}{3}=\dfrac{2}{x}\, $
$ \Rightarrow \,x.x=3.2 $
$ \Rightarrow {{x}^{2}}=6 $
$ \Rightarrow x=\sqrt{6} $ hoặc $ x=-\sqrt{6} $ .
Câu 5: Giá trị $ x $ thỏa mãn $ \sqrt{x-1}=\dfrac{2}{3} $ là:
- A
- B
- C
- D
$ \sqrt{x-1}=\dfrac{2}{3} $
$ \Rightarrow x-1={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}} $
$ \,\,\,\,\,\,x-1=\dfrac{4}{9} $
$ \,\,\,\,\,x=\dfrac{4}{9}+1 $
$ \,\,\,\,\,x=\dfrac{13}{9}. $
Câu 6: Kết quả của phép tính $ {{2018}^{0}}.\sqrt{\dfrac{9}{49}}+{{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}.\sqrt{16} $ là:
- A
- B
- C
- D
$ {{2018}^{0}}.\sqrt{\dfrac{9}{49}}+{{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}.\sqrt{16}=1.\sqrt{{{\left( \dfrac{3}{7} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{4}.\sqrt{{{4}^{2}}}=\dfrac{3}{7}+1=\dfrac{10}{7}. $
Câu 7: So sánh nào sau đây là đúng ?
- A
- B
- C
- D
Ta có:
$ *\sqrt{36:4}=\sqrt{9}=\sqrt{{{3}^{2}}}=3\,;\,\,\sqrt{36}-\sqrt{4}=\sqrt{{{6}^{2}}}-\sqrt{{{2}^{2}}}=6-2=4 $
$ \Rightarrow \,\,\sqrt{36:4} < \sqrt{36}-\sqrt{4} $ .
$ *\sqrt{25+16}=\sqrt{41}\,;\, $ $ \sqrt{25}+\sqrt{16}=\sqrt{{{5}^{2}}}+\sqrt{{{4}^{2}}}=5+4=9=\sqrt{81}\, > \sqrt{41} $
$ \Rightarrow \,\,\sqrt{25+16} < \sqrt{25}+\sqrt{16} $ .
$ *\sqrt{25.9}=\sqrt{{{5}^{2}}{{.3}^{2}}}=15 $ ; $ \sqrt{25}.\sqrt{9}=\sqrt{{{5}^{2}}}.\sqrt{{{3}^{2}}}=5.3=15. $
$ \Rightarrow \,\,\sqrt{25.9}=\sqrt{25}.\sqrt{9} $ .
$ *\sqrt{\dfrac{25}{16}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{5}{4} \right)}^{2}}}=\dfrac{5}{4} < \dfrac{5}{3} $ .
Câu 8: Giá trị nguyên của $ x $ để $ \dfrac{74}{\sqrt{x}-1} $ là số nguyên là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ \dfrac{74}{\sqrt{x}-1} $ là số nguyên khi $ 74\vdots \sqrt{x}-1 $ $ \left( x\ge 0 \right) $
Ta có bảng sau:
Vậy $ x\in \left\{ 0,4,9,1444,5625 \right\} $ .
Câu 9: Một hình vuông có diện tích bằng $ 15\,c{{m}^{2}} $ thì độ dài cạnh hình vuông bằng: (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
(làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
- A
- B
- C
- D
Gọi cạnh hình vuông là $ x\left( cm \right),\,\,x > 0 $
Diện tích hình vuông là: $ S={{x}^{2}}\Rightarrow \,\,{{x}^{2}}=15\,\Rightarrow x=\sqrt{15}\approx 3,9 $ (Vì $ x > 0 $ )
Vậy độ dài cạnh hình vuông là $ 3,9\,cm. $
Câu 10: Phép tính nào sau đây không có kết quả bằng $ \dfrac{2}{3} $ ?
- A
- B
- C
- D
$ \sqrt{\dfrac{{{(-4)}^{2}}}{36}}=\sqrt{\dfrac{16}{36}}=\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{2}{3}; $
$ \dfrac{\sqrt{36}-\sqrt{16}}{\sqrt{{{(-3)}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{{{6}^{2}}}-\sqrt{{{4}^{2}}}}{\sqrt{{{3}^{2}}}}=\dfrac{6-4}{3}=\dfrac{2}{3}\,; $
$ \sqrt{\dfrac{{{(-5)}^{2}}-21}{3}}=\sqrt{\dfrac{25-21}{3}}=\sqrt{\dfrac{4}{3}}\,\,\ne \,\,\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\,\dfrac{2}{3} $ ;
$ \dfrac{\sqrt{25}-\sqrt{9}}{\sqrt{4}+1}=\dfrac{\sqrt{{{5}^{2}}}-\sqrt{{{3}^{2}}}}{\sqrt{{{2}^{2}}}+1}=\dfrac{5-3}{2+1}=\dfrac{2}{3}\,. $
Câu 11: Cho $ a\in \mathbb{Q};b\in I $ . Khẳng định sai là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ a\text{ }+\text{ }b $ là số vô tỉ nên $ a\text{ }+\text{ }b $ là số hữu tỉ là sai.
Câu 12: Giá trị của biểu thức $ \sqrt{25}-\dfrac{1}{3}\sqrt{81}+\dfrac{3}{2}\sqrt{144} $ là:
- A
- B
- C
- D
$ \sqrt{25}-\dfrac{1}{3}\sqrt{81}+\dfrac{3}{2}\sqrt{144}=\sqrt{{{5}^{2}}}-\dfrac{1}{3}\sqrt{{{9}^{2}}}+\dfrac{3}{2}\sqrt{{{12}^{2}}}=5-\dfrac{1}{3}.9+\dfrac{3}{2}.12=5-3+18=20. $
Câu 13: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng.
- A
- B
- C
- D
Nếu $ x~\in \mathbb{Q} $ thì $ x~\notin I $
Nếu $ x~\in I $ thì $ x~\notin \mathbb{Q} $
Nếu $ x~\in \mathbb{R} $ thì $ x~\in I $ hoặc $ x~\in \mathbb{Q} $
Nếu $ x\in \mathbb{Z} $ thì $ x~\in \mathbb{R} $ .
Câu 14: Giá trị của biểu thức $ \sqrt{{{(-3)}^{4}}}-\sqrt{{{(-7)}^{2}}}+\sqrt{-{{(-4)}^{3}}} $ là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ \sqrt{{{(-3)}^{4}}}-\sqrt{{{(-7)}^{2}}}+\sqrt{-{{(-4)}^{3}}}=\sqrt{{{3}^{4}}}-\sqrt{{{7}^{2}}}+\sqrt{{{4}^{3}}}=9-7+8=10 $ .