Hai đường thẳng vuông góc

Do Om là phân giác của $ \widehat{xOy} $ nên $ \widehat{mOy}=\dfrac{1}{2}\widehat{xOy} $

Mà $ \widehat{xOy} $ và $ \widehat{y\text{O}z} $ là hai góc kề bù nên $ \widehat{xOy}+\widehat{y\text{O}z}=\widehat{xOz} $

Ta có $ \widehat{mOn}=\dfrac{1}{2}\widehat{xOz} $ hay $ \widehat{mOy}+\widehat{yOn}=\dfrac{1}{2}\widehat{xOz}=\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\widehat{xOy}+\widehat{y\text{On}}=\dfrac{1}{2}\left( \widehat{xOy}+\widehat{y\text{O}z} \right)\Rightarrow \widehat{y\text{On}}=\dfrac{1}{2}\widehat{yOz} $

Nên tia On là tia phân giác $ \widehat{yOz} $ .

Ta có $ \widehat{xOy} $ là góc bẹt $ \Rightarrow $ $ \widehat{xOy}={{180}^{o}} $ và tia $ Ox $ và tia $ Oy $ là hai tia đối nhau.

Vì tia $ Ot $ vuông góc với $ Ox $ nên $ \widehat{xOt}={{90}^{o}} $ .

Do đó: $ \widehat{tOy}=\widehat{xOy}-\widehat{xOt}={{180}^{o}}-{{90}^{o}}={{90}^{o}} $ .

Vì đường thẳng $ d $ là đường trung trực của $ AB $ nên $ M $ là trung điểm của $ AB $ $ \Rightarrow \,\,MA=MB=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}.8=4\,(cm). $

Do $ \widehat{AOB} $ là góc bẹt nên $ \widehat{AOB}={{180}^{o}} $ mà $ \widehat{AOC}={{60}^{o}},\widehat{BOD}={{30}^{o}} $ nên $ \widehat{DOC}=\widehat{AOB}-\widehat{BO\text{D}}-\widehat{AOC}={{180}^{o}}-{{30}^{o}}-{{60}^{o}}={{90}^{o}} $

$ \widehat{BOC}=\widehat{AOB}-\widehat{AOC}={{180}^{o}}-{{60}^{o}}={{120}^{o}} $

$ \widehat{AO\text{D}}=\widehat{AOB}-\widehat{DOB}={{180}^{o}}-{{30}^{o}}={{150}^{o}} $

- Theo định nghĩa ta có hai đường thẳng vuông góc thì cắt nhau và tạo thành bốn góc vuông.

- Mỗi đoạn thẳng có duy nhất một trung điểm nên có duy nhất một đường trung trực.

- Hai đường thẳng cắt nhau có thể không vuông góc (chẳng hạn hình vẽ)

Vậy trong các câu trên có 3 câu đúng là: (1), (3) và (4).

Ta có $ \widehat{xOm} $ và $ \widehat{y\text{O}n} $ là hai góc đối đỉnh nên $ \widehat{xOm}=\widehat{y\text{O}n}={{30}^{o}} $

Mà xy và zt vuông góc với nhau tại O nên $ \widehat{y\text{O}t}={{90}^{o}} $ hay $ \widehat{y\text{O}n}+\widehat{nOt}={{90}^{o}}\Rightarrow \widehat{nOt}={{60}^{o}} $

Do $ \widehat{xOz}=\widehat{yOz} $ mà $ \widehat{xOz} $ và $ \widehat{yOz} $ là hai góc kề bù nên $ \widehat{xOz}=\widehat{yOz}={{90}^{o}}\Rightarrow xy\bot zt $

Mà $ OM=ON=3cm\Rightarrow zt\bot MN $ nên zt là đường trung trực của đoạn MN

Vì tia $ OC $ vuông góc với tia $ OA $ nên $ \widehat{AOC}={{90}^{o}} $ .

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia $ OA $ có: $ \widehat{AOB}={{65}^{o}}\, < \,\widehat{AOC}={{90}^{o}} $

$ \Rightarrow $ Tia $ OB $ nằm giữa hai tia $ OA $ và $ OC $

$ \Rightarrow \,\,\widehat{AOC}=\widehat{AOB}+\widehat{BOC} $

$ \Rightarrow \,\widehat{BOC}=\widehat{AOC}-\widehat{AOB}={{90}^{o}}-{{65}^{o}}={{25}^{o}}. $

Ta có: $ a\bot CD $ tại $ O $ và $ OC=OD $

$ \Rightarrow $ đường thẳng $ a $ là đường trung trực của đoạn thẳng CD.

$ b\bot AB $ tại $ O $ và $ OA=OB $

$ \Rightarrow $ đường thẳng $ b $ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Trên tia $ Ax $ có $ AB=3cm\, < AD=7cm $

$ \Rightarrow $ Điểm $ B $ nằm giữa $ A $ và $ D $

$ \Rightarrow \,AD=AB+BD\Rightarrow \,\,BD=AD-AB=7cm-3cm=4cm. $

Gọi $ M $ là giao điểm của đường thẳng $ d $ và $ Ax $ .

Vì đường thẳng $ d $ là đường trung trực của đoạn thẳng $ BD $ nên $ M $ là trung điểm của $ BD $

$ \Rightarrow \,\,MB=MD=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{4}{2}=2\,(cm). $

Ta có: $ OA\bot ON\,\,\,\Rightarrow \,\,\widehat{AON}={{90}^{o}} $ .

$ OB\bot OM\Rightarrow \widehat{BOM}={{90}^{o}} $ .

Tia $ OM $ nằm giữa hai tia $ OA $ và $ OB $ $ \Rightarrow \,\widehat{AOB}=\widehat{BOM}+\widehat{AOM}\Rightarrow \,\widehat{AOM}=\widehat{AOB}-\widehat{BOM}={{130}^{o}}-{{90}^{o}}={{40}^{o}}. $

Tia $ ON $ nằm giữa hai tia $ OA $ và $ OB $ $ \Rightarrow \,\widehat{AOB}=\widehat{AON}+\widehat{BON}\Rightarrow \,\,\widehat{BON}=\widehat{AOB}-\widehat{AON}={{130}^{o}}-{{90}^{o}}={{40}^{o}} $ .

Vậy $ \widehat{AOM}=\widehat{BON}={{40}^{o}} $ .

Do OC là tia phân giác của góc AOB nên $ \widehat{AOC}=\widehat{COB}=\dfrac{1}{2}\widehat{AOB}={{40}^{o}} $

Lại có $ \widehat{BOC} $ và $ \widehat{EO\text{D}} $ là hai góc đối đỉnh nên $ \widehat{BOC}=\widehat{EO\text{D}}={{40}^{o}} $

Ta có $ \widehat{DOM}=\widehat{EO\text{D}}+\widehat{MOE}\Rightarrow \widehat{MOE}=\widehat{DOM}-\widehat{EO\text{D}}={{90}^{o}}-{{40}^{o}}={{50}^{o}} $

Vì tia $ OC $ nằm giữa hai tia $ OA $ và $ OB $ nên $ \widehat{AOB}=\widehat{AOC}+\widehat{BOC} $

$ \Rightarrow \,\,\widehat{BOC}=\widehat{AOB}-\widehat{AOC}={{130}^{o}}-{{40}^{o}}={{90}^{o}} $

$ \Rightarrow $ $ OB $ vuông góc với OC.

Vì $ xy\bot x'y' $ tại O nên $ \widehat{xOx'}={{90}^{0}} $ .

Vì tia $ Om $ là tia phân giác của góc $ \widehat{xOx} $ nên $ \widehat{xOm}=\dfrac{1}{2}\widehat{xOx'}=\dfrac{1}{2}{{.90}^{0}}={{45}^{0}} $ .

Do $ \left\{ \begin{array}{l} OP\bot OM \\ OQ\bot ON \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \widehat{MOP}={{90}^{o}} \\ \widehat{NOQ}={{90}^{o}} \end{array} \right. $ mà $ \widehat{MON}={{120}^{o}} $ nên $ \left\{ \begin{array}{l} \widehat{MOQ}={{30}^{o}} \\ \widehat{PON}={{30}^{o}} \end{array} \right.\Rightarrow \widehat{POQ}={{60}^{o}} $

Ta có $ \widehat{BOC}=\widehat{AOB}-\widehat{AOC}={{130}^{o}}-{{90}^{o}}={{40}^{o}} $

Để được hình vẽ đã cho ta vẽ tuần tự theo các bước:

Bước 1: Vẽ góc $ \widehat{xOy} $ có số đo bằng $ {{60}^{o}} $ . (2)

Bước 2: Lấy điểm $ M $ bất kì trong góc $ \widehat{xOy} $ . (4)

Bước 3: Qua $ M $ vẽ tia $ Mt $ vuông góc với tia $ Ox $ tại $ B $ . (1)

Bước 4: Qua $ M $ vẽ tia $ Mz $ vuông góc với tia $ Oy $ tại $ A $ . (3)

(chú ý có thể vẽ bước 4 trước rồi vẽ bước 3)

Vậy thứ tự đúng là: (2), (4), (1), (3) hoặc (2), (4), (3), (1) .

Do $ Om\bot xy $ nên $ \widehat{xOm}=\widehat{mOy}={{90}^{o}} $ mà $ \widehat{xOa}=\widehat{yOb} $ nên $ \widehat{aOm}=\widehat{mOb}\Rightarrow $ Om là tia phân giác $ \widehat{aOb} $ .