Đa thức một biến
Lý thuyết về Đa thức một biến
1. Đa thức một biến
- Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến.
Ví dụ: $A={{x}^{2}}-1;\,\,\,B=\dfrac{2}{3}{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+4$ là các đa thức một biến.
- Mỗi số được coi là đa thức một biến.
2. Sắp xếp một đa thức.
Sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa tăng hoặc giảm của biến.
Ví dụ: Đa thức $P(x)=2{{x}^{2}}+\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+2-4x$
Sắp xếp theo lũy thừa giảm: $P(x)=\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-4x+2$.
Sắp xếp theo lũy thừa tăng: $P(x)=2-4x+2{{x}^{2}}-3{{x}^{3}}+\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}$.
3. Hệ số
Xét đa thức $P(x)=\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-4x+2$.
Ta nói: $\dfrac{1}{2}$ là hệ số của lũy thừa bậc $4;-3$ là hệ số của lũy thừa bậc $3;2$ là hệ số của lũy thừa bậc $2;-4$ là hệ số của lũy thừa bậc $1;2$là hệ số của lũy thừa bậc 0 (gọi là hệ số tự do). Vì $P\left( x \right)$ có bậc bằng 4 nên hệ số của ${{x}^{4}}$ gọi là hệ số cao nhất.
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Giá trị của đa thức: $ Q\left( x \right)=5{{x}^{14}}-7x-{{x}^{15}}+2 $ tại $ x=5. $
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ Q\left( 5 \right)={{5.5}^{14}}-7.5-{{5}^{15}}+2={{5}^{15}}-35-{{5}^{15}}+2=-33. $
Câu 2: Cho đa thức $ M\left( x \right)=4{{x}^{3}}+2{{x}^{4}}-{{x}^{2}}-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}+1-3{{x}^{3}} $ . Thu gọn đa thức và sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến ta được
- A
- B
- C
- D
Ta có $ M\left( x \right)=4{{x}^{3}}+2{{x}^{4}}-{{x}^{2}}-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}+1-3{{x}^{3}}=1+{{x}^{2}}+{{x}^{4}} $ .
Câu 3: Thu gọn đa thức $ 4{{x}^{2}}-5x+9+3{{x}^{2}}-x $ ta được
- A
- B
- C
- D
Ta có $ 4{{x}^{2}}-5x+9+3{{x}^{2}}-x=7{{x}^{2}}-6x+9 $ .
Câu 4: Chọn khẳng định đúng
Bậc của đa thức $ M\left( x \right)=a{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-5 $ (a là hằng số) bằng
- A
- B
- C
- D
Nếu $ a\ne 0 $ thì $ M\left( x \right) $ có bậc là 4; nếu $ a=0 $ thì $ M\left( x \right) $ có bậc là 2.
Câu 5: Cho đa thức $ M\left( x \right)=4{{x}^{3}}+2{{x}^{4}}-{{x}^{2}}-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}+1-3{{x}^{3}} $ . Giá trị của $ M\left( x \right) $ Khi $ x=-1 $ là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ M\left( x \right)=4{{x}^{3}}+2{{x}^{4}}-{{x}^{2}}-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}+1-3{{x}^{3}}={{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1~ $
Khi đó $ M\left( -1 \right)=3 $ .
Câu 6: Hệ số tự do của đa thức: $ -0,2+3x-7{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}+7{{x}^{3}} $ là
- A
- B
- C
- D
Hệ số tự do của đa thức: $ -0,2+3x-7{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}+7{{x}^{3}} $ là $ -0,2. $
Câu 7: Hệ số cao nhất của đa thức $ -6{{x}^{3}}+5x-1+2{{x}^{2}}+6{{x}^{3}}-2x+5{{x}^{2}}$ là
- A
- B
- C
- D
$ \begin{array}{l} -6{{x}^{3}}+5x-1+2{{x}^{2}}+6{{x}^{3}}-2x+5{{x}^{2}} \\ =7{{x}^{2}}+3x-1. \end{array} $
Hệ số cao nhất của đa thức là 7.
Câu 8: Bậc của đa thức $ 2-9{{x}^{2}}+4{{x}^{5}}-3{{x}^{3}}+x-4{{x}^{5}}$ là
- A
- B
- C
- D
$ \begin{array}{l} 2-9{{x}^{2}}+4{{x}^{5}}-3{{x}^{3}}+x-4{{x}^{5}} =-3{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+x+2. \end{array} $
Bậc của đa thức là 3.
Câu 9: Xác định hệ số a của đa thức $ P\left( x \right)=ax+2, $ biết rằng $ P\left( -1 \right)=-2. $
- A
- B
- C
- D
$ P\left( -1 \right)=a.\left( -1 \right)+2=-2\Rightarrow -a+2=-2\Rightarrow a=4. $
Câu 10: Cho đa thức $ M\left( x \right)=4{{x}^{3}}+2{{x}^{4}}-{{x}^{2}}-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}+1-3{{x}^{3}} $ . Giá trị của M
- A
- B
- C
- D
Ta có $ M\left( x \right)=4{{x}^{3}}+2{{x}^{4}}-{{x}^{2}}-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}+1-3{{x}^{3}}={{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1~ $ .
Vì $ {{x}^{4}} $ và $ {{x}^{2}} > 0 $ với $ \forall x $ nên $ {{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1 > 0 $ với $ \forall x $ .
Câu 11: Sắp xếp các hạng tử của đa thức sau theo lũy thừa giảm của biến: $ 1-6{{x}^{7}}+5{{x}^{4}}-2+13{{x}^{5}}-8{{x}^{7}}. $
- A
- B
- C
- D
$ \begin{array}{l} 1-6{{x}^{7}}+5{{x}^{4}}-2+13{{x}^{5}}-8{{x}^{7}} \\ =-14{{x}^{7}}+13{{x}^{5}}+5{{x}^{4}}-1. \end{array} $
Câu 12: Cho: (1) $ -3{{x}^{2}}+5{{x}^{6}} $ là đa thức bậc 6;
(2) $ 3{{x}^{2}}-2x+7+2x-3{{x}^{2}}-6 $ là đa thức bậc 1;
(3) $ 2y-3{{y}^{2}}+3{{y}^{2}}-2y $ là đa thức bậc 0.
Chọn đáp án đúng.
(1) $ -3{{x}^{2}}+5{{x}^{6}} $ là đa thức bậc 6;
(2) $ 3{{x}^{2}}-2x+7+2x-3{{x}^{2}}-6 $ là đa thức bậc 1;
(3) $ 2y-3{{y}^{2}}+3{{y}^{2}}-2y $ là đa thức bậc 0.
Chọn đáp án đúng.
- A
- B
- C
- D
$ 3{{x}^{2}}-2x+7+2x-3{{x}^{2}}-6=1 $ . Đa thức này có bậc 0.
$ 2y-3{{y}^{2}}+3{{y}^{2}}-2y=0. $ Đa thức này không có bậc.
Câu 13: Hãy sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa tăng của biến: $ Q\left( y \right)=8y-5{{y}^{4}}+7{{y}^{2}}-6{{y}^{3}}+9{{y}^{4}}-6y-7{{y}^{2}}+5{{y}^{3}}-2. $
- A
- B
- C
- D
$ \begin{array}{l} Q\left( y \right)=8y-5{{y}^{4}}+7{{y}^{2}}-6{{y}^{3}}+9{{y}^{4}}-6y-7{{y}^{2}}+5{{y}^{3}}-2 \\ =\left( 8y-6y \right)+\left( -5{{y}^{4}}9{{y}^{4}} \right)+\left( 7{{y}^{2}}-7{{y}^{2}} \right)+\left( -6{{y}^{3}}+5{{y}^{3}} \right)-2 \\ =2y+4{{y}^{4}}-{{y}^{3}}-2=-2+2y-{{y}^{3}}+4{{y}^{4}}. \end{array} $
Câu 14: Giá trị của a thỏa mãn để đa thức $ a{{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+7-2x+3{{x}^{2}}-4{{x}^{4}}$ có bậc là 3 bằng
- A
- B
- C
- D
$ \begin{array}{l} a{{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+7-2x+3{{x}^{2}}-4{{x}^{4}} \\ =\left( a-4 \right){{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2x+7 \end{array} $
Vì đa thức này có bậc bằng 3 nên $ a-4=0\Rightarrow a=4. $