Diện tích hình thang

Ta có: $ IG//FU $ nên khoảng cách giữa hai đường thẳng IG và FU không đổi và bằng h.

Các hình bình hành $ FIGE,IGRE,IGUR $ có cạnh bằng nhau $ FE=ER=RU $ có cùng chiều cao ứng với cạnh đó nên diện tích chúng bằng nhau.

Tức là $ {{S}_{FIGE}}~={{S}_{IGRE}}~={{S}_{IGUR}}=h.FE $

Mặt khác các tam giác IFR, GEU có cạnh đáy FR và EU bằng nhau, bằng hai lần cạnh hình bình hành FIGE và có cùng chiều cao với chiều cao hình bình hành FIGE nên diện tích chúng bằng nhau.

$ {{S}_{IFR}}~={{S}_{GEU}}~={{S}_{FIGE}} $

Vậy $ {{S}_{FIGE}}~={{S}_{IGRE}}~={{S}_{IGUR}}~={{S}_{IFR}}~={{S}_{GEU}} $

Ta có chu vi ABCD bằng:

$ \begin{array}{l} \left( AB+BC \right)2=118\Rightarrow BC=36m \\ \Rightarrow {{S}_{ABED}}=\dfrac{\left( AB+DE \right)BC}{2}=\dfrac{\left( 23+31 \right)36}{2}=972{{m}^{2}} \end{array} $

Dựng $ BE\bot CD $ tại E

Ta có $ EC=6-4=2cm $

Do cạnh bên hợp với đáy lớn 1 góc $ {{45}^{0}} $ nên ta có góc $ \widehat{C}={{45}^{0}} $

Có tam giác $ EBC $ vuông tại E nên tam giác $ EBC $ là tam giác vuông cân tại E

$ \Rightarrow BE=EC=2cm $

Khi đó $ {{S}_{ABCD}}=\dfrac{\left( AB+CD \right)BE}{2}=\dfrac{\left( 4+6 \right)2}{2}=10c{{m}^{2}} $

Vì $ BC//AD\left( gt \right)\Rightarrow $ Chiều cao hạ từ B và C cùng xuống AD bằng nhau.

$ \Rightarrow {{S}_{BAD}}={{S}_{CAD}} $ $ \Rightarrow {{S}_{OAB}}+{{S}_{OAD}}={{S}_{OCD}}+{{S}_{OAD}} $

Vậy $ {{S}_{OAB}}={{S}_{OCD}} $ .

Có $ CM=\dfrac{2}{3}BC $

Hình bình hành $ ABCD $ và $ \Delta DMC $ có chung đường cao kẻ từ đỉnh D đến BC.

Gọi khoảng cách giữa AD và BC là $ h,BC=a $

Ta có diện tích hình bình hành $ ABCD $ là $ S=ah $

$ {{S}_{DMC}}=\dfrac{1}{2}h.\dfrac{2}{3}a=\dfrac{1}{3}ah=\dfrac{1}{3}S $

$ {{S}_{ABMD}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{DMC}}=S-\dfrac{1}{3}S=\dfrac{2}{3}S $

Cách 2: Ta có $ BM=\dfrac{1}{3}a $

$ \Rightarrow {{S}_{ABMD}}=\dfrac{\left( BM+AD \right)h}{2}=\dfrac{\left( \dfrac{1}{3}a+a \right)h}{2}=\dfrac{2}{3}ah=\dfrac{2}{3}S $

Sử dụng công thức tính diện tích hình thang ta được

$ {{S}_{ABCD}}=\dfrac{\left( AB+CD \right)DH}{2}=\dfrac{\left( 8+6 \right)5}{2}=35\left( c{{m}^{2}} \right) $

Ta có: $ {{S}_{ABCD}}=AH.CD=6.9=54\left( c{{m}^{2}} \right) $

$ {{S}_{ABCD}}=AK.BC=8.AK $

Suy ra: $ 8.AK=54\Rightarrow AK=\dfrac{54}{8}=\dfrac{27}{4}\left( cm \right) $

Ta có $ {{S}_{BCHI}}=B{{C}^{2}};{{S}_{ACFG}}=A{{C}^{2}};{{S}_{ABDE}}=A{{B}^{2}} $ Theo định lý Pytago cho tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ ta có: $ B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}\Rightarrow {{S}_{BCHI}}={{S}_{ACFG}}+{{S}_{ABDE}} $ .

Tứ giác $ ABED $ có $ \hat{A}=\hat{D}=\hat{E}={{90}^{\circ }} $ nên là hình chữ nhật.

Suy ra $ DE=AB=10cm $ Do đó: $ \,EC=DC-DE=13-10=3(cm) $

Ta có:

$ \begin{array}{l} {{S}_{BEC}}=\dfrac{1}{2}BE.EC\Rightarrow BE=\dfrac{2{{S}_{BEC}}}{EC}=\dfrac{2.13,5}{3}=9(cm) \\ {{S}_{ABED}}=AB.BE=10.9=90(c{{m}^{2}}) \\ {{S}_{ABCD}}={{S}_{ABED}}+{{S}_{BEC}}=90+13,5=103,5(c{{m}^{2}}). \end{array} $

Vì $ ABCD $ là hình chữ nhật nên $ {{S}_{ABCD}}=BC.DC $

Vì $ BCNM $ là hình bình hành, lại có $ CD\bot AD $ (vì $ ABCD $ là hình chữ nhật) hay $ CD\bot MN $ nên ta có: $ {{S}_{BCNM}}=MN.DC $

Mà $ BC=MN $ (do $ BCNM $ là hình bình hành) nên $ {{S}_{BCNM}}=MN.DC=BC.CD $ , suy ra $ {{S}_{ABCD}}={{S}_{BCNM}} $ .

Gọi khoảng cách giữa AD và BC là $ h,BC=a $

Ta có diện tích hình bình hành $ ABCD $ là $ S=ah $

$ \begin{array}{l} AE=BM=\dfrac{1}{3}BC=\dfrac{1}{3}a \\ BN=\dfrac{2}{3}BC=\dfrac{2a}{3} \\ \Rightarrow {{S}_{ABNE}}=\dfrac{\left( AE+BN \right)h}{2}=\dfrac{ah}{2}=\dfrac{S}{2} \end{array} $