Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Gọi $ OC $ cắt $ AB $ tại $ I $ . Vì $ OA=OB $ $ \Rightarrow \Delta AOB $ cân ở O. Mà $ OI\bot AB $ $ \Rightarrow $ $ OI $ là phân giác góc $ \widehat{AOB} $ .

$ \Rightarrow \Delta AOC=\Delta BOC\left( c.g.c \right) $ $ \Rightarrow \widehat{OBC}=\widehat{OAC}={{90}^{o}} $ . Suy ra $ BC $ là tiếp tuyến của $ \left( O \right) $

Dễ có AMON là hình bình hành (vì $ \text{ON//AM;OM//AN} $ ).

Ta chứng minh $ OM=ON $ .

Xét tam giác $ OBM $ và tam giác $ OCN $ có :

$ \widehat{OBM}=\widehat{OCN}={{90}^{o}}; $ $ OB=OC=R, $ và $ \widehat{OMB}=\widehat{ONC}=\widehat{A} $

$ \Rightarrow \Delta OBM=\Delta ON\Rightarrow AMON $ là hình thoi.

Khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến tiếp tuyến bằng bán kính của đường tròn đó.

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $ OCM $ , ta có $ O{{M}^{2}}=O{{C}^{2}}+M{{C}^{2}} $

$ \Rightarrow M{{C}^{2}}=O{{M}^{2}}-O{{C}^{2}}=3{{R}^{2}}\Rightarrow MC=\sqrt{3}R $

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Xét tam giác $ ABC $ có:

$ \begin{array}{l} B{{C}^{2}}={{5}^{2}}=25;A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{4}^{2}}+{{3}^{2}}=25; \\ \Rightarrow B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}} \end{array} $

$ \Rightarrow \Delta ABC $ vuông tại $ A $ (định lý Pytago đảo)

$ \Rightarrow AB\bot AC $ mà $ A\in \left( C;CA \right) $ nên $ AB $ là tiếp tuyến của $ \left( C;CA \right) $