Định lý 1: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
Ví dụ: $\Delta ABC,AC>AB\Rightarrow \widehat{B}>\widehat{C}$
Định lý 2: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
Ví dụ: $\Delta ABC,\widehat{B}>\widehat{C}\Rightarrow AC>AB$
Ta có: $ AC > AB\Rightarrow {{\widehat{B}}_{2}} > {{\widehat{C}}_{2}} $
Mà $ {{\widehat{B}}_{1}}+{{\widehat{B}}_{2}}={{180}^{o}}\,;\,\,{{\widehat{C}}_{1}}+{{\widehat{C}}_{2}}={{180}^{o}} $
Do đó $ {{\widehat{B}}_{1}} < {{\widehat{C}}_{1}}. $
Vậy góc ngoài đỉnh B nhỏ hơn góc ngoài đỉnh C.
Xét tam giác MBB’ có MB = MB’
\[ \Rightarrow MB{B}' \] cân tại M
Nên \[ \widehat{M{B}'B}=\widehat{MBB'} \] ( tính chất tam giác cân)
Ta có \[ \widehat{MBC}=\widehat{MB{B}'}+\widehat{B'BC}=\widehat{MB'B}+\widehat{B'BC} > \widehat{MB'B} \] .
Vậy \[ \widehat{MBC} > \widehat{MB'B} \] .
$ \Delta ABD=\Delta HBD $ (cạnh huyền-góc nhọn) $ \Rightarrow BA=BH. $
$ \Delta DHC $ vuông tại H $ \Rightarrow DC > DH. $
Ta lại có: $ DA=DH $ (do $ \Delta ABD=\Delta HBD $ ) nên $ DA < DC. $
Cho $ \Delta ABC $ có $ \widehat{B}={{90}^{0}} $ vẽ trung tuyến $ AM $ . Trên tia đối của tia $ MA $ lấy điểm $ E $ sao cho $ ME=\,\,AM $
Xét các khẳng định sau:
(I) $ EC < EM $
(II) $ EA\,\,=\,\,2BA $
Xét tam giác \[ \Delta BAM\, \] và \[ \Delta CEM \] có
MA = ME
MB = MC
\[ \widehat{BMA}=\widehat{CME} \]
\[ \Delta BAM=\Delta CEM\,\,\left( c-g-c \right) \]
nên \[ \widehat{ABM}=\,\,\widehat{MCE}\,\,={{90}^{0}} \] .
Xét tam giác \[ CEM \] có \[ \widehat{MCE}={{90}^{0}} \] nên \[ EC < EM \] và \[ EA\,\,=\,\,2AM \] .
Vậy (I) đúng, (II) sai.
Vì $ \Delta ABC $ cân tại A nên $ \widehat{ABC}=\widehat{ACB} $ .
Vì tia Bx nằm giữa hai tia BA và BC, điểm $ D\in $ Bx nên $ \widehat{DBC} < \widehat{ABC}=\widehat{ACB} $
$ \Rightarrow \,\,\widehat{DBC} < \widehat{ACB} $ . (1)
Vì điểm D nằm ngoài tam giác ABC nên $ \widehat{BCD} > \widehat{ACB} $ . (2)
Từ (1) và (2) $ \Rightarrow \,\,\widehat{DBC} < \widehat{BCD} $ .
Xét tam giác BCD có: $ \,\widehat{DBC} < \widehat{BCD} $ $ \Rightarrow \,\,CD < BD $ .
Chọn khẳng định đúng.
Tam giác ABC có $ AB < AC $ $ \Rightarrow \widehat{ACB} < \widehat{ABC} $
Mà $ {{\widehat{B}}_{1}}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABC}\,;\,\,{{\widehat{C}}_{1}}=\dfrac{1}{2}\widehat{ACB} $ (tính chất tia phân giác)
$ \Rightarrow {{\widehat{C}}_{1}} < {{\widehat{B}}_{1}} $ .
Xét $ \Delta IBC $ có $ {{\widehat{C}}_{1}} < {{\widehat{B}}_{1}}\,\,\Rightarrow \,IB < IC $ .
Do $ AB < BC < CA $ nên $ \widehat{C}\,\, < \widehat{A} < \,\,\widehat{B}\,\Rightarrow 3\,\widehat{C} < \,\widehat{C}\,\,+\widehat{A}+\,\,\widehat{B}\,\,={{180}^{0}}\,\Rightarrow \,\widehat{C}\, < \dfrac{{{180}^{0}}}{3}\,=\,{{60}^{0}} $ .
Vì cạnh AB là cạnh nhỏ nhất nên góc C đối diện với cạnh AB là góc nhỏ nhất.
Khi đó: $ \widehat{C}\le \widehat{B};\,\,\widehat{C}\le \widehat{A}. $
Ta có: $ 3\widehat{C}\le \widehat{C}+\widehat{B}+\widehat{A}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{C}\le {{60}^{0}}. $
Vì $ \Delta ABC $ đều nên $ \widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{ACB}={{60}^{o}} $
Ta có: $ {{\widehat{D}}_{1}} > \widehat{A}={{60}^{0}} $ (góc ngoài); $ {{\widehat{C}}_{1}} < \widehat{ACB}={{60}^{0}} $
Do đó trong tam giác $ $ có: $ {{\widehat{D}}_{1}} > \widehat{B} > \widehat{{{C}_{1}}}\,\,\Rightarrow $ $ BC > CD > BD. $
Tam giác \[ MB{B}' \] cân tại \[ M \] , Gọi \[ H \] là trung điểm của \[ B{B}' \] nên \[ MH\bot B{B}' \] .
Xét tam giác MHB vuông tại H
Có cạnh MH đối diện góc B; cạnh MB đối diện góc \[ \widehat{MHB} \]
Mà góc \[ \widehat{MHB}={{90}^{o}} \]
\[ \Rightarrow MH < MB \] .
Tam giác \[ ABC \] vuông tại \[ A \]
Áp dụng định lí Pitago
\[ \begin{array}{l} A{{C}^{2}}+\,\,A{{B}^{2}}=\,\,B{{C}^{2}}\Rightarrow \,\,A{{C}^{2}}\,=\,B{{C}^{2}}\,-\,A{{B}^{2}}\,={{10}^{2\,}}\,-\,{{6}^{2}}\,={{8}^{2}} \\ \Rightarrow AC=8 \end{array} \]
Ta có \[ BC > AC > AB\, \] do \[ \left( 10 > 8 > 6 \right) \] nên \[ \widehat{C} < \widehat{B} < \widehat{A} \] .
Góc ở đáy nhỏ hơn $ {{60}^{0}} $ thì góc ở đỉnh lớn hơn $ {{60}^{0}} $ .
Do đó cạnh đáy lớn hơn cạnh bên.
Xét tam giác ABC
Ta có \[ \widehat{C}={{180}^{0}}-\widehat{A}-\widehat{B}={{180}^{0}}-{{50}^{0}}-{{35}^{0}}={{95}^{0}} \] nên \[ \widehat{C} > \widehat{A} > \widehat{B}\,\,\Rightarrow \,AB\,\, > \,BC\,\, > \,AC \]
Vậy cạnh lớn nhất của tam giác \[ ABC \] là \[ AB \] .
Tam giác $ ABC $ vuông tại B nên góc B là góc lớn nhất
$ \Rightarrow \,\,AB < AC\,;\,\,BC < AC $ .
Ta có: $ \widehat{ACD} > \widehat{B} $ (góc ngoài $ \Delta ABC $ ) nên $ \widehat{ACD} > {{90}^{0}}. $
$ \Delta ACD $ có: $ \widehat{ACD} > {{90}^{0}} $ $ \Rightarrow $ $ AD > AC. $
Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Xét tam giác $ ABD $ vuông tại A có $ \widehat{ABD}+\widehat{ADC}={{90}^{o}} $
$ \Rightarrow \,\,\widehat{ADB}={{90}^{o}}-\widehat{ABD}={{90}^{o}}-{{20}^{o}}={{70}^{o}} $ .
Ta có: $ \widehat{ADB}+\widehat{BDC}={{180}^{o}} $ (kề bù) $ \Rightarrow \,\,\widehat{ADC}={{180}^{o}}-\widehat{ADB}={{180}^{o}}-{{70}^{o}}={{110}^{o}} $ .
Khi đó: $ \Delta ABD $ có $ \widehat{ABD} < \widehat{ADB} < \widehat{A}\,\,\Rightarrow $ $ AD < AB < BD $ . (1)
$ \Delta BDC $ có $ \widehat{DCB} < \widehat{DBC} < \widehat{ADC}\,\,\Rightarrow $ $ BD < DC < BC $ . (2)
Từ (1) và (2) $ \Rightarrow AD < AB < BD < DC < BC. $
Trong tam giác vuông, góc vuông là góc lớn nhất.
Nên cạnh huyền (đối diện với góc vuông) là cạnh lớn nhất.
Cho tam giác $ ABC $ với $ \widehat{A}={{110}^{o}};\widehat{B}={{30}^{o}} $ . Xét các khẳng định sau
Cạnh lớn nhất của tam giác $ ABC $ là $ BC $ .
Tam giác $ ABC $ là tam giác tù.
Ta có \[ \widehat{C}={{180}^{0}}-\widehat{A}-\widehat{B}={{180}^{0}}-{{110}^{0}}-{{30}^{0}}={{40}^{0}} \] nên ta có \[ \widehat{A} > \widehat{C} > \widehat{B}\,\,\Rightarrow \,BC\,\, > \,AB\,\, > \,AC \] .
Vậy cạnh \[ BC \] là cạnh lớn nhất, tam giác \[ ABC \] là tam giác tù.