Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

4.2/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 11 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Lý thuyết về Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Định lý 1: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

Ví dụ: $\Delta ABC,AC>AB\Rightarrow \widehat{B}>\widehat{C}$

Định lý 2: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Ví dụ: $\Delta ABC,\widehat{B}>\widehat{C}\Rightarrow AC>AB$

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Tam giác ABC có $ AC > AB. $ So sánh hai góc ngoài tại các đỉnh B và C.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: $ AC > AB\Rightarrow {{\widehat{B}}_{2}} > {{\widehat{C}}_{2}} $

$ {{\widehat{B}}_{1}}+{{\widehat{B}}_{2}}={{180}^{o}}\,;\,\,{{\widehat{C}}_{1}}+{{\widehat{C}}_{2}}={{180}^{o}} $

Do đó $ {{\widehat{B}}_{1}} < {{\widehat{C}}_{1}}. $

Vậy góc ngoài đỉnh B nhỏ hơn góc ngoài đỉnh C.

Câu 2: Cho tam giác $ MBC $ với $ MC > MB $ . Trên tia $ MC $ , lấy điểm $ {B}' $ sao cho $ M{B}'=MB $ . Khẳng định nào sau đây đúng?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét tam giác MBB’ có MB = MB’

\[ \Rightarrow MB{B}' \] cân tại M

Nên \[ \widehat{M{B}'B}=\widehat{MBB'} \] ( tính chất tam giác cân)

Ta có \[ \widehat{MBC}=\widehat{MB{B}'}+\widehat{B'BC}=\widehat{MB'B}+\widehat{B'BC} > \widehat{MB'B} \] .

Vậy \[ \widehat{MBC} > \widehat{MB'B} \] .

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Kẻ DH vuông góc với BC $ \left( H\in BC \right). $ Khẳng định nào sau đây là đúng ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ \Delta ABD=\Delta HBD $ (cạnh huyền-góc nhọn) $ \Rightarrow BA=BH. $

$ \Delta DHC $ vuông tại H $ \Rightarrow DC > DH. $

Ta lại có: $ DA=DH $ (do $ \Delta ABD=\Delta HBD $ ) nên $ DA < DC. $

Câu 4: Chọn câu trả lời đúng.

Cho $ \Delta ABC $ có $ \widehat{B}={{90}^{0}} $ vẽ trung tuyến $ AM $ . Trên tia đối của tia $ MA $ lấy điểm $ E $ sao cho $ ME=\,\,AM $

Xét các khẳng định sau:

(I) $ EC < EM $

(II) $ EA\,\,=\,\,2BA $

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét tam giác \[ \Delta BAM\, \]\[ \Delta CEM \]

MA = ME

MB = MC

\[ \widehat{BMA}=\widehat{CME} \]

\[ \Delta BAM=\Delta CEM\,\,\left( c-g-c \right) \]

nên \[ \widehat{ABM}=\,\,\widehat{MCE}\,\,={{90}^{0}} \] .

Xét tam giác \[ CEM \]\[ \widehat{MCE}={{90}^{0}} \] nên \[ EC < EM \]\[ EA\,\,=\,\,2AM \] .

Vậy (I) đúng, (II) sai.

Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ tia Bx nằm giữa hai tia BA và BC. Trên tia Bx lấy điểm D nằm ngoài tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì $ \Delta ABC $ cân tại A nên $ \widehat{ABC}=\widehat{ACB} $ .

Vì tia Bx nằm giữa hai tia BA và BC, điểm $ D\in $ Bx nên $ \widehat{DBC} < \widehat{ABC}=\widehat{ACB} $

$ \Rightarrow \,\,\widehat{DBC} < \widehat{ACB} $ . (1)

Vì điểm D nằm ngoài tam giác ABC nên $ \widehat{BCD} > \widehat{ACB} $ . (2)

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow \,\,\widehat{DBC} < \widehat{BCD} $ .

Xét tam giác BCD có: $ \,\widehat{DBC} < \widehat{BCD} $ $ \Rightarrow \,\,CD < BD $ .

Câu 6: Cho tam giác ABC có $ AB < AC. $ Tia phân giác trong của các góc B và C cắt nhau tại I.

Chọn khẳng định đúng.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Tam giác ABC có $ AB < AC $ $ \Rightarrow \widehat{ACB} < \widehat{ABC} $

Mà $ {{\widehat{B}}_{1}}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABC}\,;\,\,{{\widehat{C}}_{1}}=\dfrac{1}{2}\widehat{ACB} $ (tính chất tia phân giác)

$ \Rightarrow {{\widehat{C}}_{1}} < {{\widehat{B}}_{1}} $ .

Xét $ \Delta IBC $ có $ {{\widehat{C}}_{1}} < {{\widehat{B}}_{1}}\,\,\Rightarrow \,IB < IC $ .

Câu 7: Cho tam giác $ ABC $ có $ AB < BC < CA $ . Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Do $ AB < BC < CA $ nên $ \widehat{C}\,\, < \widehat{A} < \,\,\widehat{B}\,\Rightarrow 3\,\widehat{C} < \,\widehat{C}\,\,+\widehat{A}+\,\,\widehat{B}\,\,={{180}^{0}}\,\Rightarrow \,\widehat{C}\, < \dfrac{{{180}^{0}}}{3}\,=\,{{60}^{0}} $ .

Câu 8: Tam giác ABC có AB là cạnh nhỏ nhất. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì cạnh AB là cạnh nhỏ nhất nên góc C đối diện với cạnh AB là góc nhỏ nhất.

Khi đó: $ \widehat{C}\le \widehat{B};\,\,\widehat{C}\le \widehat{A}. $

Ta có: $ 3\widehat{C}\le \widehat{C}+\widehat{B}+\widehat{A}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{C}\le {{60}^{0}}. $

Câu 9: Cho tam giác đều ABC, điểm D thuộc cạnh AB. So sánh độ dài các cạnh của $ \Delta BDC. $ Chọn khẳng định đúng.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì $ \Delta ABC $ đều nên $ \widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{ACB}={{60}^{o}} $

Ta có: $ {{\widehat{D}}_{1}} > \widehat{A}={{60}^{0}} $ (góc ngoài); $ {{\widehat{C}}_{1}} < \widehat{ACB}={{60}^{0}} $

Do đó trong tam giác $ $ có: $ {{\widehat{D}}_{1}} > \widehat{B} > \widehat{{{C}_{1}}}\,\,\Rightarrow $ $ BC > CD > BD. $

Câu 10: Cho tam giác $ MBC $ với $ MC > MB $ . Trên tia $ MC $ , lấy điểm $ {B}' $ sao cho $ M{B}'=MB $ . Gọi $ H $ là trung điểm của $ B{B}' $ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Tam giác \[ MB{B}' \] cân tại \[ M \] , Gọi \[ H \] là trung điểm của \[ B{B}' \] nên \[ MH\bot B{B}' \] .

Xét tam giác MHB vuông tại H

Có cạnh MH đối diện góc B; cạnh MB đối diện góc \[ \widehat{MHB} \]

Mà góc \[ \widehat{MHB}={{90}^{o}} \]

\[ \Rightarrow MH < MB \] .

Câu 11: Cho tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ có $ AB=6cm,\text{ }BC=10cm $ . So sánh các góc của tam giác $ ABC $

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Tam giác \[ ABC \] vuông tại \[ A \]

Áp dụng định lí Pitago

\[ \begin{array}{l} A{{C}^{2}}+\,\,A{{B}^{2}}=\,\,B{{C}^{2}}\Rightarrow \,\,A{{C}^{2}}\,=\,B{{C}^{2}}\,-\,A{{B}^{2}}\,={{10}^{2\,}}\,-\,{{6}^{2}}\,={{8}^{2}} \\ \Rightarrow AC=8 \end{array} \]

Ta có \[ BC > AC > AB\, \] do \[ \left( 10 > 8 > 6 \right) \] nên \[ \widehat{C} < \widehat{B} < \widehat{A} \] .

Câu 12: Một tam giác cân có góc ở đáy nhỏ hơn $ {{60}^{0}} $ . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Góc ở đáy nhỏ hơn $ {{60}^{0}} $ thì góc ở đỉnh lớn hơn $ {{60}^{0}} $ .

Do đó cạnh đáy lớn hơn cạnh bên.

Câu 13: Cho tam giác $ ABC $ có $ \widehat{A}={{50}^{0}}\,\,,\,\,\widehat{B}=\,{{35}^{0}} $ . Cạnh lớn nhất của tam giác $ ABC $ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét tam giác ABC

Ta có \[ \widehat{C}={{180}^{0}}-\widehat{A}-\widehat{B}={{180}^{0}}-{{50}^{0}}-{{35}^{0}}={{95}^{0}} \] nên \[ \widehat{C} > \widehat{A} > \widehat{B}\,\,\Rightarrow \,AB\,\, > \,BC\,\, > \,AC \]

Vậy cạnh lớn nhất của tam giác \[ ABC \]\[ AB \] .

Câu 14: Cho tam giác ABC vuông tại B, điểm D thuộc tia đối của tia CB. Chọn khẳng định đúng.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Tam giác $ ABC $ vuông tại B nên góc B là góc lớn nhất

$ \Rightarrow \,\,AB < AC\,;\,\,BC < AC $ .

Ta có: $ \widehat{ACD} > \widehat{B} $ (góc ngoài $ \Delta ABC $ ) nên $ \widehat{ACD} > {{90}^{0}}. $

$ \Delta ACD $ có: $ \widehat{ACD} > {{90}^{0}} $ $ \Rightarrow $ $ AD > AC. $

Câu 15: Tam giác ABC có $ \widehat{A}={{90}^{0}},\widehat{C}={{30}^{0}} $ . Điểm D thuộc cạnh AC sao cho $ \widehat{ABD}={{20}^{0}}. $

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét tam giác $ ABD $ vuông tại A có $ \widehat{ABD}+\widehat{ADC}={{90}^{o}} $

$ \Rightarrow \,\,\widehat{ADB}={{90}^{o}}-\widehat{ABD}={{90}^{o}}-{{20}^{o}}={{70}^{o}} $ .

Ta có: $ \widehat{ADB}+\widehat{BDC}={{180}^{o}} $ (kề bù) $ \Rightarrow \,\,\widehat{ADC}={{180}^{o}}-\widehat{ADB}={{180}^{o}}-{{70}^{o}}={{110}^{o}} $ .

Khi đó: $ \Delta ABD $ có $ \widehat{ABD} < \widehat{ADB} < \widehat{A}\,\,\Rightarrow $ $ AD < AB < BD $ . (1)

$ \Delta BDC $ có $ \widehat{DCB} < \widehat{DBC} < \widehat{ADC}\,\,\Rightarrow $ $ BD < DC < BC $ . (2)

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow AD < AB < BD < DC < BC. $

Câu 16: Chọn khẳng định đúng: Trong tam giác vuông 

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Trong tam giác vuông, góc vuông là góc lớn nhất.

Nên cạnh huyền (đối diện với góc vuông) là cạnh lớn nhất.

Câu 17: Chọn câu trả lời đúng

Cho tam giác $ ABC $ với $ \widehat{A}={{110}^{o}};\widehat{B}={{30}^{o}} $ . Xét các khẳng định sau

Cạnh lớn nhất của tam giác $ ABC $ là $ BC $ .

Tam giác $ ABC $ là tam giác tù.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

360

Ta có \[ \widehat{C}={{180}^{0}}-\widehat{A}-\widehat{B}={{180}^{0}}-{{110}^{0}}-{{30}^{0}}={{40}^{0}} \] nên ta có \[ \widehat{A} > \widehat{C} > \widehat{B}\,\,\Rightarrow \,BC\,\, > \,AB\,\, > \,AC \] .

Vậy cạnh \[ BC \] là cạnh lớn nhất, tam giác \[ ABC \] là tam giác tù.