1. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và

Xét tam giác MNP có $\widehat{M} < \widehat{P}\Rightarrow NP < MN$

Ta có $NK\bot MP$ gt

Mà PK là hình chiếu của PN; KM là hình chiếu của NM nên $KP\text{ } < \text{ }KM$ .

Xét tam giác $DMN$

Theo đề bài $DI\bot MN$ nên I là hình chiếu của điểm D lên MN

$\Rightarrow IM;IN$ là hình chiếu của $DM;DN$

Mà $IM < IN\Rightarrow DM < DN$ ( quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên).

Vì OH và OH’ tương ứng là hình chiếu của OA trên đường thẳng d và đường thẳng d’ nên

$AH\bot d\,$ tại H, $AH'\bot d'$ tại $H'$ .

Xét tam giác $AOH$ và tam giác $AOH'$ có:

$\widehat{AHO}=\widehat{AH'O}={{90}^{o}}$ ; $OH=OH'$ ; cạnh $OA$ chung

$\Rightarrow \,\Delta AOH=\Delta AOH'$ (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \,AH=AH'$ .

- So sánh $MB$ và $MC$ .

Ta có: $AB < AC$ nên $HB < HC$ $\Rightarrow \,\,MB < MC$ (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).

- So sánh $MD$ và $HD$ .

Vì $\Delta MHB$ vuông tại H $\Rightarrow \widehat{HMB}$ là góc nhọn.

$\Rightarrow \widehat{DMH}$ là góc tù (hai góc kề bù).

Xét $\Delta MHD$ có: $\widehat{DMH}$ là góc tù

$\Rightarrow HD$ là cạnh lớn nhất (quan hệ góc-cạnh đối diện) hay $MD < HD.$

Vậy khẳng định đúng là: $MD < HD.$

Xét tam giác $\Delta ABM=\Delta DCM$ có

$\left. \begin{array}{l} AM=MD \\ BM=MC \\ \widehat{AMB}=\widehat{CMD\left( dd \right)} \end{array} \right\}\Rightarrow \Delta ABM=\Delta DCM\,\,\left( c-g-c \right)$

$\Rightarrow AB=DC$ ( 2 cạnh tương ứng )

Tam giác $\Delta ABC$ có $AH$ là đường cao nên $H$ là hình chiều của $A$ lên $BC$

$\Rightarrow HB;HC$ là hình chiếu của $AB;AC$ .

Mà $HB < HC$ nên $AB < AC$ ( quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên ).

Lại có $AB=DC$ nên $AC > DC$

Vậy cả (I) và (II) đúng.

Xét tam giác $AMC$ có $AM+AC > MC$ (theo bất đẳng thức tam giác)

$\Rightarrow \,\,2AM > MC$ (Vì $AM=AC$ ).

Gọi N là giao điểm của CM và AB $\Rightarrow N$ nằm giữa A và B $\Rightarrow AN < AB$ (1)

Gọi H là hình chiếu của A trên MC.

Vì $AM=AC$ nên $HM=HC,$ mà $HM < HN$ nên $HC < HN\Rightarrow AC < AN.$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow AC < AB.$

Đường xiên $DC > DB$ nên hình chiếu $HC > HB.$

Hình chiếu $HC > HB$ nên đường xiên $AC > AB.$

Đường xiên $AB=AC$ nên hình chiếu $HB=HC.$

Ta lại có: $DB=CE\Rightarrow HD=HE.$

Hình chiếu $HD=HE$ nên đường xiên $AD=AE.$

$\Delta AHC$ có $AC$ là cạnh huyền nên $AC > AH.$

$\Delta ABC$ có $\widehat{C} > \widehat{B}\Rightarrow AB > AC.$

Đường xiên $AB > AC$ nên hình chiếu $HB > HC.$

Xét tam giác $AHC$ có $AC$ là cạnh huyền nên $AH < AC.$

Ta có: $AB < AC\Rightarrow HB < HC$ (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).

Xét tam giác $\Delta ABC$ có

$A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}}$ ( do ${{6}^{2}}+{{8}^{2}}={{10}^{2}}$ )

$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $A$

Nên $A$ là hình chiếu của $C$ lên $AB$

$\Rightarrow AE;AD;AF$ là hình chiếu của nên $CE;CD;CF$ .

Mà $AD=4cm,\text{ }AE=2cm,\text{ }AF=5cm$ nên $AE < AD < AF$

Vậy $CE < CD < CF$ ( quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên ).

Xét tam giác $DEF$

Ta có $\widehat{F}={{180}^{0}}-\widehat{D}-\widehat{E}={{180}^{0}}-{{80}^{0}}-{{50}^{0}}={{50}^{0}}$

Vì $\widehat{D} > \widehat{E}=\widehat{F}\,\,\Rightarrow EF > DF=DE$

Theo đề bài $DM\bot EF$ nên M là hình chiếu của điểm D lên EF

$\Rightarrow ME;MF$ là hình chiếu của $DE;DF$

Mà $DE=DF$ nên $DE=DF$ ( quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên) .

Xét tam giác $ABC$

Ta có $\widehat{C}={{180}^{0}}-\widehat{A}-\widehat{B}={{180}^{0}}-{{70}^{0}}-{{50}^{0}}={{60}^{0}}$

Vì $\widehat{A} > \widehat{C} > \widehat{B}\,\,\Rightarrow BC > AB > AC$

Theo đề bài $AH\bot BC$ nên H là hình chiếu của điểm A lên BC

$\Rightarrow BH;HC$ là hình chiếu của $BA;AC$

Mà $AB > AC$ nên $BH > HC$ ( quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên) .

Xét tam giác ABC có $AD\bot BC$

Mà $AB\text{ } < \text{ }AC\,\,\Rightarrow \widehat{ACB}\,\, < \,\,\widehat{ABC}$ và $DB\text{ } < \text{ }DC$ .

Xét $\Delta AIH$ và $\Delta BIK$ có:

$\widehat{AHI}=\widehat{BKI}={{90}^{o}}$ ;

$IA=IB$ (Vì I là trung điểm của AB);

$\widehat{AIH}=\widehat{BIK}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow$ $\Delta AHI=\Delta BKI$ (cạnh huyền-góc nhọn).

$\Rightarrow IH=IK$ (hai cạnh tương ứng).

Xét tam giác ABC vuông tại A có

$AD < AE < AB$ $\left( 3 < 5 < 8 \right)$ ( giả thiết)

Mà $AD;AE;AB$ lần lượt là hình chiếu của $CD;CE;CB$

Nên $CB > CE > CD$ ( quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên).

- Khẳng định 1 là đúng:

Từ một điểm ở ngoài một đường thẳng ta chỉ kẻ được duy nhất một đường vuông góc với đường thẳng đó.

- Khẳng định 2 là đúng (theo định lí 2 về quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).

- Khẳng định 3 là sai. Chẳng hạn hình vẽ sau:

Hình chiếu của điểm A trên d là H, hình chiếu của B trên d là H nhưng A và B không trùng nhau.

Kẻ $AH\bot BC.$

Đường xiên $AB=AC$ suy ra hình chiếu $HB=HC.$

Ta lại có: $HD > HC\Rightarrow HD > HB.$

Hình chiếu $HD > HB$ nên đường xiên $AD > AB.$

Xét tam giác $ABC$ vuông ở $A$ nên $AB\bot AC$

Nên $A$ là hình chiếu của $B$ lên $AC$

$\Rightarrow AE;AD;AF$ là hình chiếu của nên $BE;BD;BF$ .

Mà $AD=13cm,\text{ }AE=10cm,\,\text{ }AF=18cm$ nên $AE < AD < AF$

Vậy $BF > BD > BE$ ( quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên ).