Phương trình đối xứng với sin và cos

Phương trình đối xứng với $sin$ và $cos.$

Dạng: $a{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{k}}+b{{\left( \sin x\cos x \right)}^{m}}+c=0$ (1)

hoặc: $a{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{k}}+b{{\left( \sin x\cos x \right)}^{m}}+c=0$ (2)

Với \[a,b \ne 0\].

Phương pháp:

Đặt $\sin x+\cos x=t\text{ }\left( -\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2} \right)\Rightarrow \sin x\cos x=\dfrac{{{t}^{2}}-1}{2}$ (đối với phương trình (1))

hoặc $\sin x-\cos x=t\text{ }\left( -\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2} \right)\Rightarrow \sin x\cos x=\dfrac{1-{{t}^{2}}}{2}$ (đối với phương trình (2))

Ví dụ: Giải phương trình:

$1+{{\sin }^{3}}x+{{\cos }^{3}}x=\dfrac{3}{2}\sin 2x\text{ }\left( 1 \right)$

Giải:

\[\begin{align} & \left( 1 \right)\Leftrightarrow 1+\left( \sin x+\cos x \right)\left( {{\sin }^{2}}x-\sin x\cos x+{{\cos }^{2}}x \right)=3\sin x\cos x \\ & \Leftrightarrow 1+\left( \sin x+\cos x \right)\left( 1-\sin x\cos x \right)-3\sin x\cos x=0\text{ }\left( 2 \right) \\ \end{align}\]

Đặt: $\sin x+\cos x=t\text{ }\left( -\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2} \right)\Rightarrow \sin x\cos x=\dfrac{{{t}^{2}}-1}{2}$

$\begin{array}{l}
\left( 2 \right) \Leftrightarrow 1 + t\left( {1 - \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}} \right) - 3\dfrac{{{t^2} - 1}}{2} = 0 \Leftrightarrow {t^3} + 3{t^2} - 3t - 5 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t =  - 1\\
t =  - 1 - \sqrt 6  <  - \sqrt 2 {\rm{ }}\left( L \right)\\
t =  - 1 + \sqrt 6  > \sqrt 2 {\rm{ }}\left( L \right)
\end{array} \right.
\end{array}$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \sin x + \cos x =  - 1 \Leftrightarrow \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \cos \dfrac{{3\pi }}{4}\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \pi  + k2\pi \\
x =  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi 
\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {k \in Z} \right)
\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $\left[ \begin{align} & x=\pi +k2\pi \\ & x=-\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \\ \end{align} \right.\text{ }\left( k\in Z \right)$