Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$.

Tiếp điểm có tọa độ \(\left( 1;-2 \right)\)
\(y'=\dfrac{\left( 2x+1 \right)\left( x-2 \right)-\left( {{x}^{2}}+x \right)}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}-4x-2}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\)
\(\Rightarrow y'\left( 1 \right)=-5\)
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(y=-5x+3\)

Ta có  ${f}'(-2)=-11$

Tập xác định:$D=\mathbb{R}.$

Ta có ${{x}_{0}}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow {{y}_{0}}=1$.

Đạo hàm của hàm số ${y}'=6{{x}^{2}}-6x$.

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại ${{M}_{0}}\left( \dfrac{3}{2};{{y}_{0}} \right)$ là  $k=\dfrac{9}{2}$.

Phương trình của tiếp tuyến là $y=\dfrac{9}{2}x-\dfrac{23}{4}$

Tập xác định:$D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \dfrac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}.$

Đạo hàm: ${f}'\left( x \right)=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}\Rightarrow {f}'\left( \dfrac{\pi }{4} \right)=2$.

Gọi tọa độ tiếp điểm là $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$
Ta có: ${{y}_{0}}=-2\Leftrightarrow \dfrac{3{{x}_{0}}+2}{1-{{x}_{0}}}=-2$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{x}_{0}}\ne 1 \\
& {{x}_{0}}=-4 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow {{x}_{0}}=-4$
$y'=\dfrac{5}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}\Rightarrow y'\left( -4 \right)=\dfrac{1}{5}$
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: $y=\dfrac{1}{5}x-\dfrac{6}{5}$

$f'(x)=3{{x}^{2}}+4x-15\Rightarrow f'\left( 2 \right)=5$
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A có dạng:$y=5(x-2)-2\Leftrightarrow y=5x-12$

Ta có $ y=5\Leftrightarrow {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+1=5\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=2 \\ & x=-2 \end{array} \right.. $

Có $ y'=4{{x}^{3}}-6x\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} & y'\left( 2 \right)=20 \\ & y'\left( -2 \right)=-20 \end{array} \right.. $

Suy ra PTTT thỏa mãn đề bài là $ \left[ \begin{array}{l} & y=20\left( x-2 \right)+5 \\ & y=-20\left( x+2 \right)+5 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & y=20x-35 \\ & y=-20x-35 \end{array} \right.. $

Qua một điểm bất kì nằm ngoài đồ thị, kẻ được vô số tiếp tuyến tới đồ thị đó là khẳng định sai.

Tập xác định:$D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}.$

Đạo hàm: ${y}'=\dfrac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}.$

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có ${{x}_{o}}=0\Rightarrow {{{y}'}_{o}}=2$.

Ta có: $y'=3-12{{x}^{2}}$. Tại điểm $A\in (C)$có hoành độ: ${{x}_{0}}=0\Rightarrow {{y}_{0}}=0$

Hệ số góc của tiếp tuyến tại $A$ là : $k=y'\left( 0 \right)=3$ .

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A$là : $y=k\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\Leftrightarrow y=3x$.

Ta có phương trrình tiếp tuyến tại $M\left( 0;1 \right)$ là $y=f'\left( 0 \right)\left( x-0 \right)+1=x+1$

Ta có: \[\,{{x}_{0}}=4\Rightarrow {{y}_{0}}=\sqrt{2}\]\[\,y'=\dfrac{2x-5}{2\sqrt{{{x}^{2}}-5x+6}}\Rightarrow y'\left( 4 \right)=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}\]

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \[y=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}x-2\sqrt{2}\]

${y}'=\cos x$ , $k={y}'\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=\cos \left( \dfrac{\pi }{3} \right)=\dfrac{1}{2}$.

Ta có: $y'=-\dfrac{1}{2x\sqrt{2x}}$. Hệ số góc của tiếp tuyến tại $A$ là : $k=y'\left( \dfrac{1}{2} \right)=-1$ .

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A$ là : $y=k\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\Leftrightarrow 2x+2y=3$. 

$f'(x)=3{{x}^{2}}+4x-15\Rightarrow f'\left( 2 \right)=5$
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A có dạng:$y=5(x-2)-2\Leftrightarrow y=5x-12$

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\dfrac{d}{c} \right\}$
Ta có $y'=\dfrac{a{d}-bc}{{{\left( c{x}+d \right)}^{2}}}$
Để tiếp tuyến song song với trục hoành thì $y'=0\left( VL \right)$.
Vậy không tồn tại tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với trục hoành

Ta có $ y'=-\dfrac{4}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\Rightarrow y'\left( -1 \right)=-1,y\left( -1 \right)=-2. $

Suy ra PTTT tại điểm có hoành độ

$ x=-1 $ là $ y=-\left( x+1 \right)-2\Leftrightarrow y=-x-3. $

Ta có: $f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-4x$. Tại điểm $A$có hoành độ ${{x}_{0}}=-2\Rightarrow {{y}_{0}}=f\left( {{x}_{0}} \right)=-18$

Hệ số góc của tiếp tuyến tại $A$ là : $k=f'\left( -2 \right)=20$ .

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A$ là : $y=k\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\Leftrightarrow y=20x+22$.

Ta có: \(\,{{x}_{0}}=4\Rightarrow {{y}_{0}}=\sqrt{2}\)
\(\,y'=\dfrac{2x-5}{2\sqrt{{{x}^{2}}-5x+6}}\Rightarrow y'\left( 4 \right)=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}\)
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(y=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}x-2\sqrt{2}\)

Tiếp tuyến tại điểm $M\left( a;b \right)$ của đồ thị có dạng $y=f'\left( a \right).\left( x-a \right)+b=x-a+b$.

Ta có  \[y' = {x^3} + x \Rightarrow y'\left( { - 1} \right) =  - 2.\]

Ta có: $y'=\dfrac{{{x}^{2}}-2x}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$. Tại điểm $A\in (C)$có hoành độ: ${{x}_{0}}=3\Rightarrow {{y}_{0}}=\dfrac{7}{2}$

Hệ số góc của tiếp tuyến tại $A$ là : $k=y'\left( 3 \right)=\dfrac{3}{4}$ .

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A$ là : $y=k\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\Leftrightarrow y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{4}$ 

${f}'\left( x \right)=-\dfrac{1}{6}\cos \dfrac{x}{3}$ $\Rightarrow {f}'\left( \pi  \right)=-\dfrac{1}{6}\cos \dfrac{\pi }{3}=-\dfrac{1}{12}$

${f}'\left( x \right)=\dfrac{2}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$

Ta có ${{x}_{0}}=-1;\ {{y}_{0}}=-1;$ ${f}'\left( {{x}_{0}} \right)=2$

Phương trình tiếp tuyến $y=2x+1$.