Phương trình đối với một hàm số lượng giác

Phương trình đối với một hàm số lượng giác

4.2/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 20 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Phương trình đối với một hàm số lượng giác

Lý thuyết về Phương trình đối với một hàm số lượng giác

Phương trình đối với một hàm số lượng giác

Phương pháp: Để giải các phương trình lượng giác này, ta chọn một biểu thức lượng giác thích hợp có mặt trong phương trình làm ẩn phụ và quy về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai đối với ẩn phụ đó (có thể nêu hoặc không nêu ký hiệu ẩn phụ)

Ví dụ: Giải phương trình \[2{\sin ^2}x + 5\sin x - 3 = 0\]

Đặt $\sin x=t$ (với $\left| t \right|\le 1$) ta được phương trình $2{{t}^{2}}+5t-3=0$.

Phương trình này có hai nghiệm là ${{t}_{1}}=-3,{{t}_{2}}=\dfrac{1}{2}$, trong đó $t_1$ bị loại do không thỏa mãn điều kiện $\left| {{t_1}} \right| \le 1$. Suy ra:

\[2{\sin ^2}x + 5\sin x - 3 = 0\]

\[{ \Leftrightarrow {\rm{sinx}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {\rm{sinx}} = \sin \dfrac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \;}\\
{x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \;}
\end{array}} \right.}\]
\[\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: \[\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \;}\\
{x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \;}
\end{array}} \right.\]
\[\left( k\in \mathbb{Z} \right)\]

 

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1:

Cho phương trình: ${{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x=\cos 4x$. Khẳng định nào sau đây là đúng:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình tương đương $1-\dfrac{3}{4}{{\sin }^{2}}2x=1-2{{\sin }^{2}}2x$$\Leftrightarrow \sin 2x=0$ $\Leftrightarrow x=\dfrac{k\pi }{2}\left( k\in \mathbb{Z} \right)$
Các nghiệm được biểu diễn bởi 4 điểm trên vòng tròn lượng giác

Câu 2: Nghiệm phương trình $\cos 2x-3\cos x-4=0$ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
\(\begin{array}{l} PT \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 - 3\cos x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 3\cos x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = - 1\\ \cos x = \dfrac{5}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = - \pi + k2\pi \end{array}\)

Câu 3: Nghiệm phương trình \(\dfrac{{\tan x}}{{\sin x}} - \dfrac{{\sin x}}{{\cot x}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
ĐK: $\operatorname{s} {inx}\ne {0,cosx}\ne {0}$, Ta có $\dfrac{{\tan x}}{{\sin x}} - \dfrac{{\sin x}}{{\cot x}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\cos x}} - \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$
$\Leftrightarrow \cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\cos \dfrac{\pi }{4}\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi }{4}+k2\pi $

Câu 4: Số họ nghiệm của phương trình: $\cos (4x+2)+3\sin (2x+1)=2$là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
$\begin{align}
& PT\Leftrightarrow 1-2{{\sin }^{2}}(2x+1)+3\sin (2x+1)=2 \\
& \Leftrightarrow 2{{\sin }^{2}}(2x+1)-3\sin (2x+1)+1=0 \\
\end{align}$

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin \left( {2{\rm{x}} + 1} \right) = 1\\ \sin \left( {2{\rm{x}} + 1} \right) = \dfrac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2{\rm{x}} + 1 = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\ 2{\rm{x}} + 1 = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\ 2{\rm{x}} + 1 = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)

Câu 5:

Cho phương trình $2({{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x)-\cos \left( \dfrac{\pi }{2}-2x \right)=0$. Tổng các nghiệm của phương trình nằm trong đoạn $\left[ 0;3\pi \right]$ là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$2({{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x)-\cos \left( \dfrac{\pi }{2}-2x \right)=0$
$\Leftrightarrow 2(1-2{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x)-\sin 2x=0$
$\Leftrightarrow 2-{{\sin }^{2}}2x-\sin 2x=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \sin 2x=1 \\ \sin 2x=2 \\ \end{matrix} \right.$
$\Rightarrow x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)$
Các nghiệm nằm trong đoạn $\left[ 0;3\pi \right]$là $\dfrac{\pi }{4},\dfrac{5\pi }{4},\dfrac{9\pi }{4}$
Vậy tổng các nghiệm là $\dfrac{15\pi }{4}$

Câu 6: Nghiệm phương trình phương trình \(1-5sinx+2co{{s}^{2}}x=0\) là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
\(\begin{array}{l} 1 - 5sinx + 2\left( {1 - si{n^2}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3 - 5sinx - 2si{n^2}x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = - 3\\ {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = \dfrac{1}{2} = \sin \dfrac{\pi }{6} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\ x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \end{array}\)

Câu 7: Với \({x}\in \left[ \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2} \right]\) thì tổng các nghiệm phương trình $5{{\sin }^{2}}x-4\sin x-1=0$ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có 
\[\begin{array}{l}
x \in \left[ {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \le \sin x \le 1\\
PT \Leftrightarrow \left( {5\sin x + 1} \right)\left( {\sin x - 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x =  - \dfrac{1}{5}\left( L \right)\\
\sin x = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi 
\end{array}\]
$\Rightarrow x=\dfrac{\pi }{2}$ là nghiệm phương trình.

Câu 8: Số điểm biểu diễn nghiệm phương trình $ \sin x-\cos 2x\text{ }=0 $ trên đường tròn lượng giác bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Do $\sin x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)$ nên phương trình $ \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & 2x=\dfrac{\pi }{2}-x+k2\pi \\ & 2x=-\dfrac{\pi }{2}+x+k2\pi \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=\dfrac{\pi }{6}+k\dfrac{2\pi }{3} \\ & x=-\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \end{array} \right. $ , $ k\in \mathbb{Z} $ .

Vậy có 3 điểm biểu diễn nghiệm.

Câu 9: Tổng các nghiệm của phương trình \[\cos 3x - \sin 3x = 1\] trong khoảng $\left( 0;\pi \right)$

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

${PT \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos 3x - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 3x = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{4} - 3x} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}}$.

$\begin{gathered}   \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{4} - 3x} \right) = \sin \frac{\pi }{4} \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  \frac{\pi }{4} - 3x = \frac{\pi }{4} + k2\pi  \hfill \\  \frac{\pi }{4} - 3x = \pi  - \frac{\pi }{4} + k2\pi  \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  x =  - \frac{{k2\pi }}{3} \hfill \\  x =  - \frac{\pi }{6} - \frac{{k2\pi }}{3} \hfill \\ \end{gathered}  \right. \hfill \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered}   \Rightarrow 0 <  - \frac{{2k}}{3} < 1 \Leftrightarrow  - \frac{3}{2} < k < 0 \Rightarrow k =  - 1 \Rightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} \hfill \\   \Rightarrow 0 <  - \frac{1}{6} - \frac{{2k}}{3} < 1 \Rightarrow k =  - 1 \Rightarrow x =  - \frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi }}{3} \hfill \\ \end{gathered} $

Câu 10: Nghiệm phương trình \(3-4co{{s}^{2}}x=sinx\left( 1+2sinx \right)\)

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
\(\begin{array}{l} PT \Leftrightarrow 3 - 4\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) = sinx + 2si{n^2}x\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - sinx - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = 1\\ {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = - \dfrac{1}{2} = \sin \left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\rm{x}} = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\ {\rm{x}} = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\ x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \end{array}\)

Câu 11: Phương trình $\cos3x.\tan 5x=\sin 7x $ nhận những giá trị sau của x làm nghiệm

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Điều kiện: $ cos5x\ne 0. $ Khi đó, phương trình đã cho $ \Leftrightarrow cos3x.\dfrac{\sin 5x}{cos5x}=\sin 7x $ $ \Leftrightarrow cos3x.\sin 5x=cos5x.\sin 7x $ $ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( \sin 8x+\sin 2x \right)=\dfrac{1}{2}\left( \sin 12x+\sin 2x \right) $ $ \Leftrightarrow \sin 8x=\sin 12x $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & 12x=8x+k2\pi \\ & 12x=\pi -8x+k2\pi \end{array} \right.. $

Câu 12: Tổng các nghiệm của phương trình ${{\tan }^{2}}x-\left( \sqrt{3}+1 \right)\tan x+\sqrt{3}=0$ trong khoảng \[\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\]

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Đk $\cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \dfrac{\pi }{2}+k\pi $
\(PT \Leftrightarrow \left( {\tan x - \sqrt 3 } \right)\left( {\tan x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = \sqrt 3 = \tan \dfrac{\pi }{3}\\ \tan x = 1 = \tan \dfrac{\pi }{4} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \\ x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\)
$\Rightarrow \dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{4}\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\Rightarrow $ tổng các nghiệm cần tìm là $\dfrac{7\pi }{12}$

Câu 13: Tổng các nghiệm của phương trình $\dfrac{\mathrm{si}{{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}}\mathrm{2x+4co}{{\mathrm{s}}^{\mathrm{4}}}\mathrm{2x-1}}{\sqrt{\mathrm{2sinxcosx}}}\mathrm{=0}$ trong khoảng \[\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\]

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
ĐK: $\sin 2x\ne 0\Rightarrow x\ne \dfrac{k\pi }{2}$
$\Rightarrow {{\sin }^{2}}2x+4{{\cos }^{4}}2x-1=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{1-\cos 4x}{2}+4{{\left( \dfrac{\cos 4x+1}{2} \right)}^{2}}-1=0$
$\begin{align}
& \Leftrightarrow \dfrac{1-\cos 4x}{2}+{{\cos }^{2}}4x+2\cos 4x+1-1=0 \\
& \Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}4x+3\cos 4x+1=0 \\
\end{align}$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 4x = - 1\\ \cos 4x = - \dfrac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 4x = - 1\\ \cos 4x = - \dfrac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\ x = \pm \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{2} \end{array} \right.\left( {TM} \right)$
Vậy có 3 nghiệm thuộc $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right):x=\dfrac{\pi }{4},x=\dfrac{\pi }{6},x=\dfrac{\pi }{3}$

Câu 14: Số nghiệm thuộc khoảng $ \left( 0;3\pi \right) $ của phương trình $ co{{s}^{2}}x+\dfrac{5}{2}\cos x+1=0 $

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

PT $ \Leftrightarrow \left( 2\cos +1 \right)\left( \cos x+2 \right)=0\Leftrightarrow \cos x=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{2\pi }{3}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right). $

$ x\in \left( 0;3\pi \right)\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} & 0 < \dfrac{2\pi }{3}+k2\pi < 3\pi \\ & 0 < -\dfrac{2\pi }{3}+k2\pi < 3\pi \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & -\dfrac{1}{3} < k < \dfrac{7}{6}\Rightarrow k\in \left\{ 0;1 \right\} \\ & \dfrac{1}{3} < k < \dfrac{11}{6}\Rightarrow k=1 \end{array} \right.. $

Câu 15: Với \({x}\in \left[ \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2} \right]\) thì tổng các nghiệm phương trình $5{{\sin }^{2}}x-4\sin x-1=0$ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$PT\Leftrightarrow \left( 5\operatorname{s}{inx}+1 \right)\left( \operatorname{s}{inx}-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \operatorname{s}{inx}=-\dfrac{1}{5}\left( L \right) \\ & \operatorname{s}{inx}=1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{2}+2k\pi $
$\Rightarrow x=\dfrac{\pi }{2}$

Câu 16: Nghiệm phương trình $3-4\cos^{2}x=\sin{x} \left( 1+2\sin{x} \right)$ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\begin{array}{*{20}{l}} {PT \Leftrightarrow 3 - 4\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) = \sin x + 2{{\sin }^2}x} \\ { \Leftrightarrow 2{{\sin }^2}x - \sin x - 1 = 0} \\ { \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin x = 1} \\ {\sin x = - \frac{1}{2} = \sin \left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right)} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi } \\ {x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi } \\ {x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi } \end{array}} \right.} \end{array}$

Câu 17: Nghiệm của phương trình $4\sin x+6\cos x=\dfrac{1}{\cos x}$ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
Điều kiện:$x\ne \dfrac{\pi }{2}+k\pi $

\(\begin{array}{l} 4\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} + 6 = 1 + {\tan ^2}x\\ \Leftrightarrow {\tan ^2}x - 4\tan x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = - 1\\ \tan x = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \arctan 5 + k\pi \end{array} \right. \end{array}\)

Câu 18: Tổng các nghiệm của phương trình ${{\cos }^{4}}2x+6{{\cos }^{2}}2x=\dfrac{25}{16}$ trong khoảng $\left( 0;\pi \right)$

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $PT\Leftrightarrow \left( {{\cos }^{2}}2x-\dfrac{1}{4} \right)\left( {{\cos }^{2}}2x+\dfrac{25}{4} \right)=0 $

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 2x = \dfrac{1}{2}\\ \cos2 x = - \dfrac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k\pi \\ x = \pm \dfrac{{\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.$
Vậy các nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;\pi \right) $ là: $x=\dfrac{\pi }{6},x=\dfrac{\pi }{3} $.

Câu 19: Nghiệm phương trình $\cos 2x-3\cos x-4=0$ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\begin{array}{l} PT \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 - 3\cos x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 3\cos x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = - 1\\ \cos x = \dfrac{5}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \end{array}$

Câu 20: Nghiệm phương trình phương trình \(1-5sinx+2co{{s}^{2}}x=0\) là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
\(\begin{array}{l} 1 - 5sinx + 2\left( {1 - si{n^2}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3 - 5sinx - 2si{n^2}x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = - 3\\ {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = \dfrac{1}{2} = \sin \dfrac{\pi }{6} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\ x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \end{array}\)

Câu 21: Nghiệm của phương trình $8{\cos ^2}x = \dfrac{{\sin x\sqrt 3 }}{{\cos x}} - 1$ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Điều kiện:$x\ne \dfrac{\pi }{2}+k\pi ,x\ne k\pi $
$\begin{align}
8{{\cos }^{2}}x=\dfrac{\sin x\sqrt{3}}{\cos x}-1 \\
& \Leftrightarrow \dfrac{8}{1+{{\tan }^{2}}x}=\sqrt{3}\tan x-1 \\
& \Leftrightarrow \sqrt{3}\tan x\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)-1-{{\tan }^{2}}x-8=0 \\
& \Leftrightarrow \sqrt{3}{{\tan }^{3}}x-{{\tan }^{2}}x+\sqrt{3}\tan x-9=0 \\
& \Leftrightarrow \tan x=\sqrt{3} \\
& \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{3}+k\pi \\
\end{align}$

Câu 22: Tổng các nghiệm của phương trình \({{\tan }^{2}}x-\left( \sqrt{3}+1 \right)\tan x+\sqrt{3}=0\) trong khoảng $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
Đk $\cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \dfrac{\pi }{2}+k\pi $
\(PT \Leftrightarrow \left( {\tan x - \sqrt 3 } \right)\left( {\tan x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = \sqrt 3 = \tan \dfrac{\pi }{3}\\ \tan x = 1 = \tan \dfrac{\pi }{4} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \\ x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\)
$\Rightarrow \dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{4}\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\Rightarrow $ tổng các nghiệm cần tìm là $\dfrac{7\pi }{12}$

Câu 23: Phương trình $\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}=\sqrt{3}$ tương đương với phương trình .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
Điều kiện $\operatorname{s}{inx}-c{osx}\ne {0}$ Ta có $PT\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2}\sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)}{-\sqrt{2}\cos \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \tan \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)=-\sqrt{3}$

Câu 24: Nghiệm phương trình $2{{\cos }^{2}}x-3\cos x+1=0$ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
Phương trình (1)
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 1\\ \cos x = \dfrac{1}{2} = \cos \dfrac{\pi }{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k2\pi \\ x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in $

Câu 25: Phương trình $\cot x-\tan x+4\sin 2x=\dfrac{2}{\sin 2x}$ có bao nhiêu họ nghiệm

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Điều kiện \[\sin 2x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \dfrac{k\pi }{2}\,\,\,\,\,\,,\,k\in \mathbb{Z}\] Ta có:\[\begin{array}{l} PT \Leftrightarrow \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}} - \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} + 4\sin 2x = \dfrac{2}{{\sin 2x}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{\sin x.\cos x}} + 4\sin 2x = \dfrac{2}{{\sin 2x}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2\cos 2x}}{{\sin 2x}} + 4\sin 2x = \dfrac{2}{{\sin 2x}} \Leftrightarrow \cos 2x + 2{\sin ^2}2x = 1\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x - \cos 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 2x = 1\\ \cos 2x = - \dfrac{1}{2} \end{array} \right.\left( * \right) \end{array}\]

Ta thấy \[\cos 2x=1\] không thoả mãn điều kiện.
Do đó (*)\[\Leftrightarrow \]\[\cos 2x=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\dfrac{2\pi }{3}+k2\pi \Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi }{3}+k\pi \,\,\,\,\,\,\,\,k\in \mathbb{Z}\]
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.

Câu 26: Tổng các nghiệm phương trình $\dfrac{\tan x}{\sin x}-\dfrac{\sin x}{\cot x}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ trong khoảng $\left( 0;2\pi \right)$ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
ĐK: $\operatorname{s}{inx}\ne 0,c{osx}\ne {0}$
Ta có $\dfrac{\tan x}{\sin x}-\dfrac{\sin x}{\cot x}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \dfrac{1}{\cos x}-\dfrac{{{\sin }^{2}}x}{\cos x}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\cos \dfrac{\pi }{4}\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi }{4}+k2\pi $
Khi đó chỉ có 2 nghiệm $\in \left( 0;2\pi \right),x=\dfrac{\pi }{4},x=\dfrac{7\pi }{4}$

Câu 27: Nghiệm phương trình $2{{\cos }^{2}}x-3\cos x+1=0$ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
Phương trình (1)
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 1\\ \cos x = \dfrac{1}{2} = \cos \dfrac{\pi }{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k2\pi \\ x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in Z$