1. Hai đường thẳng vuông góc
*Định nghĩa: Hai đường thẳng $xx'$ và $yy'$ cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc vuông được gọi là hai đường thẳng vuông góc và được kí hiệu là $xx' \bot yy'$
Khi $xx'$ và $yy'$ là hai đường thẳng vuông góc (và cắt nhau tại $O$) ta còn nói: đường thẳng $xx'$ vuông góc với đường thẳng $yy'$ (tại $O$) hoặc đường thẳng $yy'$ vuông góc với đường thẳng $xx'$ (tại $O$), hoặc hai đường thẳng $xx'$, $yy'$ vuông góc với nhau tại $O$.
*Tính chất: Có một và chỉ một đường thẳng $a'$ đi qua điểm $O$ và vuông góc với đường thẳng $a$ cho trước.
2. Đường trung trực của đoạn thẳng
*Định nghĩa: Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.
Khi $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ ta cũng nói: Hai điểm $A$ và $B$ đối xứng với nhau qua đường thẳng $d$.
Do Om là phân giác của $ \widehat{xOy} $ nên $ \widehat{mOy}=\dfrac{1}{2}\widehat{xOy} $
Mà $ \widehat{xOy} $ và $ \widehat{y\text{O}z} $ là hai góc kề bù nên $ \widehat{xOy}+\widehat{y\text{O}z}=\widehat{xOz} $
Ta có $ \widehat{mOn}=\dfrac{1}{2}\widehat{xOz} $ hay $ \widehat{mOy}+\widehat{yOn}=\dfrac{1}{2}\widehat{xOz}=\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\widehat{xOy}+\widehat{y\text{On}}=\dfrac{1}{2}\left( \widehat{xOy}+\widehat{y\text{O}z} \right)\Rightarrow \widehat{y\text{On}}=\dfrac{1}{2}\widehat{yOz} $
Nên tia On là tia phân giác $ \widehat{yOz} $ .
Ta có $ \widehat{xOy} $ là góc bẹt $ \Rightarrow $ $ \widehat{xOy}={{180}^{o}} $ và tia $ Ox $ và tia $ Oy $ là hai tia đối nhau.
Vì tia $ Ot $ vuông góc với $ Ox $ nên $ \widehat{xOt}={{90}^{o}} $ .
Do đó: $ \widehat{tOy}=\widehat{xOy}-\widehat{xOt}={{180}^{o}}-{{90}^{o}}={{90}^{o}} $ .
Vì đường thẳng $ d $ là đường trung trực của $ AB $ nên $ M $ là trung điểm của $ AB $ $ \Rightarrow \,\,MA=MB=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}.8=4\,(cm). $
Do $ \widehat{AOB} $ là góc bẹt nên $ \widehat{AOB}={{180}^{o}} $ mà $ \widehat{AOC}={{60}^{o}},\widehat{BOD}={{30}^{o}} $ nên $ \widehat{DOC}=\widehat{AOB}-\widehat{BO\text{D}}-\widehat{AOC}={{180}^{o}}-{{30}^{o}}-{{60}^{o}}={{90}^{o}} $
$ \widehat{BOC}=\widehat{AOB}-\widehat{AOC}={{180}^{o}}-{{60}^{o}}={{120}^{o}} $
$ \widehat{AO\text{D}}=\widehat{AOB}-\widehat{DOB}={{180}^{o}}-{{30}^{o}}={{150}^{o}} $
(1) Hai đường thẳng vuông góc thì cắt nhau.
(2) Hai đường thẳng cắt nhau thì vuông góc.
(3) Mỗi đoạn thẳng có duy nhất một đường trung trực.
(4) Hai đường thẳng vuông góc tạo thành bốn góc vuông.
Số câu đúng là:
- Theo định nghĩa ta có hai đường thẳng vuông góc thì cắt nhau và tạo thành bốn góc vuông.
- Mỗi đoạn thẳng có duy nhất một trung điểm nên có duy nhất một đường trung trực.
- Hai đường thẳng cắt nhau có thể không vuông góc (chẳng hạn hình vẽ)
Vậy trong các câu trên có 3 câu đúng là: (1), (3) và (4).
Ta có $ \widehat{xOm} $ và $ \widehat{y\text{O}n} $ là hai góc đối đỉnh nên $ \widehat{xOm}=\widehat{y\text{O}n}={{30}^{o}} $
Mà xy và zt vuông góc với nhau tại O nên $ \widehat{y\text{O}t}={{90}^{o}} $ hay $ \widehat{y\text{O}n}+\widehat{nOt}={{90}^{o}}\Rightarrow \widehat{nOt}={{60}^{o}} $
Do $ \widehat{xOz}=\widehat{yOz} $ mà $ \widehat{xOz} $ và $ \widehat{yOz} $ là hai góc kề bù nên $ \widehat{xOz}=\widehat{yOz}={{90}^{o}}\Rightarrow xy\bot zt $
Mà $ OM=ON=3cm\Rightarrow zt\bot MN $ nên zt là đường trung trực của đoạn MN
Vì tia $ OC $ vuông góc với tia $ OA $ nên $ \widehat{AOC}={{90}^{o}} $ .
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia $ OA $ có: $ \widehat{AOB}={{65}^{o}}\, < \,\widehat{AOC}={{90}^{o}} $
$ \Rightarrow $ Tia $ OB $ nằm giữa hai tia $ OA $ và $ OC $
$ \Rightarrow \,\,\widehat{AOC}=\widehat{AOB}+\widehat{BOC} $
$ \Rightarrow \,\widehat{BOC}=\widehat{AOC}-\widehat{AOB}={{90}^{o}}-{{65}^{o}}={{25}^{o}}. $
Ta có: $ a\bot CD $ tại $ O $ và $ OC=OD $
$ \Rightarrow $ đường thẳng $ a $ là đường trung trực của đoạn thẳng CD.
$ b\bot AB $ tại $ O $ và $ OA=OB $
$ \Rightarrow $ đường thẳng $ b $ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Trên tia $ Ax $ có $ AB=3cm\, < AD=7cm $
$ \Rightarrow $ Điểm $ B $ nằm giữa $ A $ và $ D $
$ \Rightarrow \,AD=AB+BD\Rightarrow \,\,BD=AD-AB=7cm-3cm=4cm. $
Gọi $ M $ là giao điểm của đường thẳng $ d $ và $ Ax $ .
Vì đường thẳng $ d $ là đường trung trực của đoạn thẳng $ BD $ nên $ M $ là trung điểm của $ BD $
$ \Rightarrow \,\,MB=MD=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{4}{2}=2\,(cm). $
Ta có: $ OA\bot ON\,\,\,\Rightarrow \,\,\widehat{AON}={{90}^{o}} $ .
$ OB\bot OM\Rightarrow \widehat{BOM}={{90}^{o}} $ .
Tia $ OM $ nằm giữa hai tia $ OA $ và $ OB $ $ \Rightarrow \,\widehat{AOB}=\widehat{BOM}+\widehat{AOM}\Rightarrow \,\widehat{AOM}=\widehat{AOB}-\widehat{BOM}={{130}^{o}}-{{90}^{o}}={{40}^{o}}. $
Tia $ ON $ nằm giữa hai tia $ OA $ và $ OB $ $ \Rightarrow \,\widehat{AOB}=\widehat{AON}+\widehat{BON}\Rightarrow \,\,\widehat{BON}=\widehat{AOB}-\widehat{AON}={{130}^{o}}-{{90}^{o}}={{40}^{o}} $ .
Vậy $ \widehat{AOM}=\widehat{BON}={{40}^{o}} $ .
Do OC là tia phân giác của góc AOB nên $ \widehat{AOC}=\widehat{COB}=\dfrac{1}{2}\widehat{AOB}={{40}^{o}} $
Lại có $ \widehat{BOC} $ và $ \widehat{EO\text{D}} $ là hai góc đối đỉnh nên $ \widehat{BOC}=\widehat{EO\text{D}}={{40}^{o}} $
Ta có $ \widehat{DOM}=\widehat{EO\text{D}}+\widehat{MOE}\Rightarrow \widehat{MOE}=\widehat{DOM}-\widehat{EO\text{D}}={{90}^{o}}-{{40}^{o}}={{50}^{o}} $
Vì tia $ OC $ nằm giữa hai tia $ OA $ và $ OB $ nên $ \widehat{AOB}=\widehat{AOC}+\widehat{BOC} $
$ \Rightarrow \,\,\widehat{BOC}=\widehat{AOB}-\widehat{AOC}={{130}^{o}}-{{40}^{o}}={{90}^{o}} $
$ \Rightarrow $ $ OB $ vuông góc với OC.
Vì $ xy\bot x'y' $ tại O nên $ \widehat{xOx'}={{90}^{0}} $ .
Vì tia $ Om $ là tia phân giác của góc $ \widehat{xOx} $ nên $ \widehat{xOm}=\dfrac{1}{2}\widehat{xOx'}=\dfrac{1}{2}{{.90}^{0}}={{45}^{0}} $ .
Do $ \left\{ \begin{array}{l} OP\bot OM \\ OQ\bot ON \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \widehat{MOP}={{90}^{o}} \\ \widehat{NOQ}={{90}^{o}} \end{array} \right. $ mà $ \widehat{MON}={{120}^{o}} $ nên $ \left\{ \begin{array}{l} \widehat{MOQ}={{30}^{o}} \\ \widehat{PON}={{30}^{o}} \end{array} \right.\Rightarrow \widehat{POQ}={{60}^{o}} $
Ta có $ \widehat{BOC}=\widehat{AOB}-\widehat{AOC}={{130}^{o}}-{{90}^{o}}={{40}^{o}} $
Để vẽ được hình trên, bạn An vẽ theo từng bước nhưng thứ tự các bước cho dưới đây đã bị xáo trộn. Em hãy sắp xếp lại tuần tự các bước vẽ cho đúng.
(1) Qua $ M $ vẽ tia $ Mt $ vuông góc với tia $ Ox $ tại $ B $ .
(2) Vẽ góc $ \widehat{xOy} $ có số đo bằng $ {{60}^{o}} $ .
(3) Qua $ M $ vẽ tia $ Mz $ vuông góc với tia $ Oy $ tại $ A $ .
(4) Lấy điểm $ M $ bất kì trong góc $ \widehat{xOy} $ .
Thứ tự đúng là:
Để được hình vẽ đã cho ta vẽ tuần tự theo các bước:
Bước 1: Vẽ góc $ \widehat{xOy} $ có số đo bằng $ {{60}^{o}} $ . (2)
Bước 2: Lấy điểm $ M $ bất kì trong góc $ \widehat{xOy} $ . (4)
Bước 3: Qua $ M $ vẽ tia $ Mt $ vuông góc với tia $ Ox $ tại $ B $ . (1)
Bước 4: Qua $ M $ vẽ tia $ Mz $ vuông góc với tia $ Oy $ tại $ A $ . (3)
(chú ý có thể vẽ bước 4 trước rồi vẽ bước 3)
Vậy thứ tự đúng là: (2), (4), (1), (3) hoặc (2), (4), (3), (1) .
Do $ Om\bot xy $ nên $ \widehat{xOm}=\widehat{mOy}={{90}^{o}} $ mà $ \widehat{xOa}=\widehat{yOb} $ nên $ \widehat{aOm}=\widehat{mOb}\Rightarrow $ Om là tia phân giác $ \widehat{aOb} $ .