Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Tính chất ba đường phân giác của tam giác

4.1/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 11 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Lý thuyết về Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Định lí 1: Trong một tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó.

$\Delta ABC:\left. {\begin{array}{*{20}{l}}
{AB = AC}\\
{\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}}
\end{array}} \right\} \Rightarrow BD = DC$

Định lí 2: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.

Tam giác $ABC$(hình vẽ) có ba đường phân giác giao nhau tại $I.$ Khi đó

$\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}},\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}},\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\\
ID = IE = IF
\end{array} \right.$

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho tam giác ABC có $ \widehat{C}={{30}^{0}} $ . Tia phân giác của góc B và tia phân giác của góc ngoài đỉnh A cắt nhau ở E. Số đo góc BCE là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ \Delta ABC $ có BE là đường phân giác của góc B, AE là đường phân giác ngoài tại A nên CE là đường phân giác góc ngoài tại C.

Do đó: $ {{\widehat{C}}_{1}}={{\widehat{C}}_{2}}=\dfrac{{{150}^{0}}}{2}={{75}^{0}}. $

Vậy $ \widehat{BCE}={{30}^{0}}+{{75}^{0}}={{105}^{0}}. $

Câu 2: Cho tam giác ABC có các đường phân giác trong của tam giác cắt nhau tại O. Kẻ $ OD\bot BC $ $ (D\in BC\,) $ . Kết quả so sánh nào sau đây là đúng?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Kẻ $ \,OE\bot AB $ $ (E\in AB) $ .

Vì O là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác ABC nên $ OE=OD $ . (1)

Xét tam giác AEO vuông tại E có OA là cạnh huyền

$ \Rightarrow \,\,OE < OA $ . (2)

Từ (1) và (2) suy ra $ OD < OA. $

Câu 3: Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Qua I, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC và BC lần lượt tại D và E.

Chọn khẳng định sai.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I nên AI là tia phân giác của góc A

$ \Rightarrow {{\widehat{A}}_{1}}={{\widehat{A}}_{2}}. $

$ DE//AB\Rightarrow {{\widehat{A}}_{1}}={{\widehat{D}}_{1}}\Rightarrow {{\widehat{A}}_{2}}={{\widehat{D}}_{1}}. $

$ \Rightarrow \Delta ADI $ cân tại D $ \Rightarrow AD=DI $ (1)

Chứng minh tương tự: $ BE=EI. $ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $ AD+BE=DI+EI=DE. $

Vậy khẳng định sai cần chọn là: " $ AD=EI $ ".

Câu 4: Cho $ \Delta ABC $ có $ AD $ là đường phân giác, biết $ BD=9cm~,\text{ }DC=8cm,\text{ }AC=10cm $ . Độ dài cạnh $ AB $ bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Áp dụng tính chất của tia phân giác trong tam giác ta có

$ \dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow AB=\dfrac{BD.AC}{CD}=\dfrac{9.10}{8}=\dfrac{45}{4} $ cm.

Câu 5: Cho tam giác ABC có các đường phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại O. Nếu $ \widehat{BOC}={{135}^{o}} $ thì khẳng định nào sau đây là đúng ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét tam giác BOC có $ \widehat{BOC}={{135}^{o}} $ $ \Rightarrow \,\,{{\widehat{B}}_{1}}+{{\widehat{C}}_{1}}={{180}^{o}}-{{135}^{o}}={{45}^{o}} $

Vì BO là tia phân giác của góc B, CO là tia phân giác của góc C nên ta có:

$ \widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2{{\widehat{B}}_{1}}+2{{\widehat{C}}_{1}}=2\left( {{\widehat{B}}_{1}}+{{\widehat{C}}_{1}} \right)={{2.45}^{o}}={{90}^{o}} $ .

$ \Rightarrow \,\Delta ABC $ vuông tại A.

Câu 6: Cho tam giác ABC có $ \widehat{A}={{120}^{o}} $ có các đường phân giác AD, BE, CF (hình vẽ):

Cho biết $ DE=8\,cm\,;\,DF=6\,cm. $ Khi đó độ dài EF là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì $ \widehat{BAC}={{120}^{o}} $ , AD là tia phân giác của $ \widehat{BAC} $ nên: $ {{\widehat{A}}_{1}}={{\widehat{A}}_{2}}={{\widehat{A}}_{3}}={{\widehat{A}}_{4}}={{60}^{o}} $ .

- Xét tam giác ABD có AC là tia phân giác ngoài tại đỉnh A, tia BE là tia phân giác trọng của góc B, hai tia phân giác này cắt nhau tại E nên DE là tia phân giác ngoài tại đỉnh D.

- Xét tam giác ADC, chứng minh tương tự ta có DF là tia phân giác ngoài tại đỉnh D.

Từ đó suy ra $ DE\bot DF $ tại D $ \Rightarrow \,\,\Delta DEF $ vuông tại D.

Theo định lí Py-ta-go ta có: $ EF=\sqrt{D{{F}^{2}}+D{{E}^{2}}}=\sqrt{{{8}^{2}}+{{6}^{2}}}=10\,(cm). $

Câu 7: Cho $ \Delta ABC $ đường phân giác $ AD $ , biết $ AB=6cm;\text{ }AC=9cm;\text{ }BD=4cm $ . Độ dài cạnh $ DC $ bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Áp dụng tính chất của tia phân giác trong tam giác ta có:

$ \dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow CD=\dfrac{BD.AC}{AB}=\dfrac{4.9}{6}=6 $ cm.

Câu 8: Cho tam giác cân ABC có các đường phân giác BD và CE $ (D\in AC,\,E\in AB) $ . Khi đó :

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét $ \Delta ABD $ và $ \Delta ACE $ có:

$ AB=AC,\,\,{{\widehat{B}}_{1}}={{\widehat{C}}_{1}} $ (Vì $ \widehat{ABC}=\widehat{ACB} $ ), $ \widehat{A} $ chung.

$ \Rightarrow $ $ \Delta ABD=\Delta ACE\left( g.c.g \right) $

$ \Rightarrow BD=CE\,;\,\,\widehat{AEC}=\widehat{ADB} $ .

Câu 9: Cho hình vẽ sau, trong đó KO là tia phân giác của $ \widehat{IKL} $ , LO là tia phân giác của $ \widehat{ILK} $ .

Số đo góc $ \widehat{KOL} $ là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ \widehat{IKL}+\widehat{ILK}={{180}^{0}}-\widehat{I}={{180}^{0}}-{{62}^{0}}={{118}^{0}}. $

Vì KO, LO lần lượt là tia phân giác của $ \widehat{IKL} $ và $ \widehat{ILK} $ nên

$ \begin{array}{l} {{\widehat{K}}_{1}}+{{\widehat{L}}_{1}}=\dfrac{\widehat{K}+\widehat{L}}{2}={{59}^{0}}. \\ \Rightarrow \widehat{KOL}={{180}^{0}}-\left( {{\widehat{K}}_{1}}+{{\widehat{L}}_{1}} \right)={{180}^{0}}-{{59}^{0}}={{121}^{0}}. \end{array} $

Câu 10: Cho $ \Delta ABC $ cân tại $ A $ . Gọi $ G $ là trọng tâm tam giác, $ I $ là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Do $ I $ nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác nên $ I $ thuộc trung tuyến kẻ từ $ A $ .

$ \Delta ABC $ cân tại $ A $ mà $ G $ là trọng tâm nên $ G $ thuộc trung tuyến kẻ từ $ A $ .

$ \Rightarrow $ $ A,\text{ }G,\text{ }I $ thẳng hàng.

Câu 11: Cho tam giác ABC có I là giao điểm của các tia phân giác của các góc B và góc C. Gọi D là giao điểm của AI và BC. Kẻ IH vuông góc với BC $ \left( H\in BC \right) $ . Khi đó:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì các đường phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I nên AI là tia phân giác của $ \widehat{BAC} $ .

Ta có: $ \widehat{BIH}={{90}^{0}}-{{\widehat{B}}_{1}}={{90}^{0}}-\dfrac{\widehat{ABC}}{2} $ (1)

$ \widehat{CID}={{\widehat{A}}_{2}}+{{\widehat{C}}_{2}}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}+\dfrac{\widehat{ACB}}{2}={{90}^{0}}-\dfrac{\widehat{ABC}}{2}. $ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $ \widehat{BIH}=\widehat{CID}. $

Câu 12: Cho $ \Delta ABC $ cân tại $ A $ , đường trung tuyến $ AM $ và đường phân giác $ BD $ cắt nhau tại $ K $ . Gọi $ E $ là giao điểm của $ CK $ và $ AB $ . Khẳng định nào dưới đây là sai?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Do $ \Delta ABC $ cân tại $ A $ nên $ AM $ vừa là đường trung tuyến, vừa là phân giác kẻ từ đỉnh $ A $ của $ \Delta ABC\Rightarrow K $ cách đều các cạnh của $ \Delta ABC $ .

K là giao của 3 đường phân giác của tam giác $ \Delta ABC $

$ CE $ là đường phân giác của $ \widehat{ACB} $ .

Câu 13: Cho tam giác ABC có $ \widehat{A}={{100}^{0}},\widehat{B}={{50}^{0}}. $ Tia phân giác trong tại đỉnh B cắt tia phân giác ngoài tại đỉnh C của tam giác ABC tại O. Số đo $ \widehat{BCO} $ là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong của $ \Delta ABC. $

Xét $ \Delta ABC $ có $ \widehat{A}={{100}^{0}},\widehat{B}={{50}^{0}}\Rightarrow \widehat{C}={{30}^{0}}\Rightarrow {{\widehat{C}}_{1}}={{15}^{0}}. $

Ta có: $ CO\bot CI $ (hai tia phân giác của hai góc kề bù).

$ \Rightarrow \widehat{OCI}={{90}^{0}}. $

Khi đó: $ \widehat{BCO}={{\widehat{C}}_{1}}+\widehat{OCI}={{15}^{0}}+{{90}^{0}}={{105}^{0}} $ .

Câu 14: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC $ \left( H\in BC \right) $ . Các tia phân giác của $ \widehat{HAC} $ và $ \widehat{AHC} $ cắt nhau ở I. Tia phân giác của $ \widehat{HAB} $ cắt BC ở D.

Chọn khẳng định sai.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ \widehat{CAD} $ phụ với góc $ {{\widehat{A}}_{1}},\widehat{ADC} $ phụ với góc $ {{\widehat{A}}_{2}} $ mà $ {{\widehat{A}}_{1}}={{\widehat{A}}_{2}} $ nên $ \widehat{CAD}=\widehat{ADC}. $

Suy ra $ \Delta ACD $ cân tại C. (1)

Tam giác AHC có các đường phân giác AI và HI cắt nhau ở I nên CI là đường phân giác của góc C. (2)

Từ (1) và (2) suy ra CI đi qua trung điểm của cạnh đáy AD.