Giá trị lớn nhất nhỏ nhất ôn thi hsg đại số 8 có lời giải chi tiết
Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
DẠNG 7: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
- Bài toán
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 2: a) Tìm GTLN :
b) Tìm GTLN :
Bài 3: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất (của biểu thức
Bài 4: Cho là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
Bài 5: Cho số thực x thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với là số nguyên.
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a) b)
Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của
Bài 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài 15:
- Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
- Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
Bài 16: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có):
Bài 18: Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài 19: Cho biểu thức
a) Rút gọn
b) Tìm giá trị lớn nhất của
Bài 20: Cho thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 22: Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài 23: Cho biểu thức
- Tìm điều kiện xác định và rút gọn
- Tìm giá trị nhỏ nhất của khi
Bài 24: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 25: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 26: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức :
Bài 27:
- Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
- Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
Bài 28: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Bài 29: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 30. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức biết:
Bài 31. Cho là các số dương thỏa mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 32. Tìm giá trị nhỏ nhất :
Bài 33.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Bài 34. Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện 0 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2.
Bài 35. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Bài 36. Cho . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 37. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 38. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 39. Cho các số thực dương thỏa mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 40: Cho là các số thực dương thỏa mãn:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 41: Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài 42: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 43: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 44: Cho hai số không âm và thỏa mãn: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:
Bài 45: Cho là các số dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 46: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Bài 47: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 48: Cho biểu thức
- Rút gọn
- Tìm giá trị lớn nhất của
Bài 49: Cho thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài 50: Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài 51: Cho và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 52: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
Bài 53: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 54: Tìm các giá trị của để biểu thức:
có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 55: Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài 56: Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài 57: Tìm giá trị nhỏ nhất của M = 4x2 + 4x + 5
Bài 58: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: .
Bài 59: Tìm giá trị của biến x để:
a) đạt giá trị lớn nhất b) đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 60: : a) Tìm GTLN của
b) Tìm GTNN của biểu thức , với
Bài 61: Tìm GTNN của:
a) ; b) ;
c)
Bài 62: Cho hai số x và y thoả mãn điều kiện:
- Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ;
- Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 63: a) Cho x, y là các số dương thoả mãn .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
b) Tìm GTLN của
Bài 64: a) Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
b) Tìm GTNN của
Bài 65: a) Tìm GTNN của biết
b) Tìm GTNN của
c) Tìm GTNN của
d) Tìm GTLN của với
Bài 66: Tìm giá trị nhỏ nhất của và các giá trị của tương ứng.
Bài 67: Cho thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của GTLN
Bài 68: Cho hai số không âm và thỏa mãn: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:
Bài 69: Cho hai số dương thỏa mãn:
Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài 70: Cho là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của:biết
Bài 71: Tìm các giá trị của để biểu thức:có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 72: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 73: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 74: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 75: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Bài 76: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: .
Bài 77: Tìm giá trị của biến x để:
a) đạt giá trị lớn nhất b) đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 78: a) Tìm GTLN của
b) Tìm GTNN của biểu thức , với
Bài 79: Tìm GTNN của:
a) ; b) ; c)
Bài 80: Cho hai số x và y thoả mãn điều kiện:
- Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ;
- Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 81: a) Cho x, y là các số dương thoả mãn .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
b) Tìm GTLN của
Bài 82: a) Tìm GTNN của biết
b) Tìm GTNN của
c) Tìm GTNN của
d) Tìm GTLN của với
Bài 83: : a) Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
b) Tìm GTNN của
Bài 84: Tìm giá trị nhỏ nhất của và các giá trị của tương ứng.
Bài 85: Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài 86: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 87: Cho hai số không âm a và b thỏa mãn: a2 + b2 = a + b. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:
Bài 88: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x + y + z =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Bài 89: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Bài 90: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 91: a. Tìm giá trị lớn nhất của tổng x + y + z biết rằng x + 5y = 21 và 2x + 3z = 51 với x, y, z 0
b. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các phân thức B =
Bài 92: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài 93: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 94: Cho các số a, b,c thỏa mãn a + b + c = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2
Bài 95: Cho hai số dương có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 96: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức , trong đó x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: .
Bài 97:
a) Cho thoả mãn .
Tìm GTNN của biểu thức .
b) Cho thoả mãn .
Tìm GTNN của biểu thức .
Bài 98:
Cho m, n là các số thực thay đổi sao cho . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:.
Bài 99: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 100: Cho là các số thực dương thỏa mãn:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 101: Cho các số thực dương thỏa mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 102: Cho hai số thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 103: Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài 104: Cho là các số dương thỏa mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Bài 105: Cho là 3 số dương thỏa mãn: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 106: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài 107: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 108: Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 109:
- Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
- Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
- Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 110: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
B. HƯỚNG DẪN
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Dấu xảy ra
Vậy
Bài 2: a) Tìm GTLN :
b) Tìm GTLN :
Lời giải
a) P=
Suy ra
b)
Q đạt GTLN đạt GTNN mà
của C là
Bài 3: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất (của biểu thức
Lời giải
Do: với
Ta có:
Bài 4: Cho là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
Lời giải
Vậy
Bài 5: Cho số thực thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Đặt Biểu thức đã cho trở thành:
*) Vì
Đẳng thức xảy ra khi
Vậy
*) nên và là hai số không âm
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
Đẳng thức xảy ra khi hay
Vậy
Bài 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Lời giải
Ta có:
Vậy
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với là số nguyên.
Lời giải
- Xét
- Xét thì do nên
+ Khi
+ Khi
+ Khi
Vậy
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a) b)
Lời giải
a) Áp dụng tính chất dấu xảy ra ta có:
Dấu “=” xảy ra và và
Vậy
b) Ta có
Với mọi ta có:
Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
Ta có:
. Dấu bằng xảy ra
Vậy
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của :
Lời giải
Đặt
Khi đó:
Vậy
Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Chứng tỏ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy
Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của
Lời giải
Ta có:
Ta có:
Bài 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Biến đổi để có:
Vì và nên
Do đó:
Dấu xảy ra khi và chỉ khi
Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của
Lời giải
Vậy giá trị nhỏ nhất của
Bài 15: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
Lời giải
a) Ta có:
Do Nên
Dấu xảy ra
Vậy GTNN của là
b)
Do nên Dấu xảy ra
Vậy của là
Bài 16: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
Ta có:
Vậy
Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có):
Lời giải
Ta có
Vì
Vậy
Bài 18: Tìm giá trị nhỏ nhất của
Lời giải
Đẳng thức xảy ra
Giá trị nhỏ nhất của B là
Bài 19: Cho biểu thức
a) Rút gọn b) Tìm giá trị lớn nhất của
Lời giải
a)
Vậy với mọi
b) Ta có : với mọi
- Nếu ta có
- Nếu , chia cả tử và mẫu của cho ta có:
Ta có:
Nên ta có: . Dấu xảy ra khi
Vậy lớn nhất là khi
Bài 20: Cho thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của
Lời giải
Ta có:
Dấu xảy ra và
và Vậy nhỏ nhất là
Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
với mọi
với mọi
Từ
Bài 22: Tìm giá trị nhỏ nhất của
Lời giải
Vậy
Bài 23: Cho biểu thức
- Tìm điều kiện xác định và rút gọn
- Tìm giá trị nhỏ nhất của khi
Lời giải
a) ĐKXĐ:
b)
Vì nên Áp dụng BĐT Cosi ta có:
Dấu “=” xảy ra
Vậy của P là
Bài 24: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
Ta có:
Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi
Bài 25: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
Dấu xảy ra
Vậy
Bài 26: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức :
Lời giải
Vậy
Bài 27: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
Lời giải
- Ta có:
Do Nên
Dấu “=” xảy ra
Vậy
b)
Do . Đẳng thức xảy ra
Vậy
Bài 28: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Lời giải
Ta có :
Vậy
Bài 29: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi
Bài 30. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức biết:
Lời giải
Đặt ta có:
Dấu xảy ra và
Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng 8 tại
Bài 31.
Cho là các số dương thỏa mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
Theo BĐT Cô si ta có: Dấu xảy ra
Tương tự: , dấu “=” xảy ra
, dấu xảy ra
Dấu xảy ra
Vậy khi với
Bài 32. Tìm giá trị nhỏ nhất :
Lời giải
Giá trị nhỏ nhất khi
Bài 33. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Lời giải
Ta có:
Mà
Vậy giá trị lớn nhất của là
Bài 34. Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện 0 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2.
Lời giải
Từ giả thiết 0 ≤ a, b, c ≤ 2 suy ra (2 – a)(2 – b)(2 – c) + abc ≥ 0
⇔ 8 – 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) ≥ 0
⇔ 8 – 12 + 2ab + 2bc + 2ac ≥ 0 (vì a + b + c = 3)
⇔ 2ab + 2bc + 2ac ≥ 4
⇔ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac ≥ 4 + a2 + b2 + c2
⇔ ( a + b + c)2 ≥ 4 + a2 + b2 + c2
⇔ a2 + b2 + c2 ≤ 5 (vì a + b + c = 3)
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ (a; b; c) = (0; 1; 2) và các hoán vị của bộ số này.
Vậy P có GTLN nhất là 5 ⇔ (a; b; c) = (0; 1; 2) và các hoán vị của bộ số này.
Bài 35. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Lời giải
== ≥ 2
Vậy min C = 2 x = 1
== ≤ 4
Vậy max C = 4 x = -1
Bài 36. Cho . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
(với mọi
Vậy giá trị nhỏ nhất của
Bài 37. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
Bài 38. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Lời giải
Vậy
Bài 39. Cho các số thực dương thỏa mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Áp dụng BĐT và với dương, dấu bằng xảy ra
Ta có:
Bởi vậy :
Vậy
Bài 40: Cho là các số thực dương thỏa mãn:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
Vì nên:
Ta có:
Tương tự:
Từ đó . Dấu xảy ra
Vậy GTNN của là
Bài 41: Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất của
Lời giải
Vậy
Bài 42: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Đặt ta có biểu thức:
Dấu xảy ra
Với thì đạt giá trị nhỏ nhất bằng
Bài 43: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Vì
Dấu xảy ra
Bài 44: Cho hai số không âm và thỏa mãn: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:
Lời giải
Ta có:
Chứng minh được với hai số dương thì
Do đó:
Vậy của S là 1, dạt được khi
Bài 45: Cho là các số dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Ta có:
Theo BĐT cô si ta có: Dấu “=” xảy ra
Tương tự: dấu “=” xảy ra
, dấu “=” xảy ra
Dấu “=” xảy ra khi
Vậy
Bài 46: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Lời giải
Vậy
Bài 47: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
với mọi
với mọi
Từ
Bài 48: Cho biểu thức
- Rút gọn
- Tìm giá trị lớn nhất của
Lời giải
Vậy với mọi
b) Ta có : với mọi
- Nếu ta có
- Nếu , chia cả tử và mẫu của cho ta có:
Ta có:
Nên ta có: . Dấu xảy ra khi
Vậy lớn nhất là khi
Bài 49: Cho thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của
Lời giải
Ta có:
Dấu xảy ra và
và Vậy nhỏ nhất là
Bài 50: Tìm giá trị nhỏ nhất của
Lời giải
Vậy
Bài 51: Cho và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Lời giải
Vì
Ta có:
Lại có:
Vậy là hoán vị của
Bài 52: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
Lời giải
a) Ta có:
Do
Nên
Dấu xảy ra
Vậy GTNN của là
B)
Do nên Dấu xảy ra
Vậy của là
Bài 53: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi
Bài 54: Tìm các giá trị của để biểu thức:
có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Lời giải
Ta thấy nên
Do dó
Bài 55: Tìm giá trị nhỏ nhất của
Lời giải
Vậy
Bài 56: Tìm giá trị nhỏ nhất của
Lời giải
Vậy giá trị nhỏ nhất của khi
Bài 57: Tìm giá trị nhỏ nhất của
Lời giải
Ta có :
Vì
Vậy GTNN của
Bài 58: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: .
Lời giải:
HD: + Tìm GTLN:
Ta có:
Dấu “ =”
Suy ra GTLN(A) = 2 .
+ Tìm GTNN:
Ta có:
Dấu “ =”
Suy ra GTNN(A) =
Bài 59: Tìm giá trị của biến x để:
a) đạt giá trị lớn nhất b) đạt giá trị nhỏ nhất
Lời giải:
a) đạt giá trị lớn nhất.
HD: Ta có: ( Vì 1 > 0 và )
Dấu « = »
Suy ra GTLN(P) = .
b) đạt giá trị nhỏ nhất
HD: ĐKXĐ:
Ta có:
Đặt . Ta có:
Dấu « = »
Suy ra GTNN(Q) =
Bài 60 : a) Tìm GTLN của
b) Tìm GTNN của biểu thức , với
Lời giải:
a) Tìm GTLN của
Ta có:
Đặt , khi đó:
Dấu “=”
Suy ra
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức , với .
Ta có:
Dấu “ =”
Vậy, GTNN(B) =.
Chú ý: BĐT AM-GM cho 2 số không âm, ta có: . Dấu “=”
* Cách biến đổi B : Ta viết .
Biến đổi và đồng nhất thức hai vế, suy ra .
Bài 61: Tìm GTNN của:
a) ; b) ; c)
Lời giải:
Tìm GTNN của:
a) Ta có:
( Vì nên , dùng BĐT Cô-si cho hai số dương và )
Dấu « = »
Suy ra .
b)
Dấu “=” ( thỏa )
Suy ra
c)
Dấu “=” ( thỏa )
Suy ra .
Bài 62: Cho hai số x và y thoả mãn điều kiện:
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ;
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Lời giải:
- Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Từ ,
Khi đó,
Dấu “=”
Suy ra
- Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Từ ,
Khi đó,
Dấu « = »
Suy ra
Bài 63: a) Cho x, y là các số dương thoả mãn .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
b) Tìm GTLN của
Lời giải:
a) Ta có :
Dấu “=”
Suy ra GTNN(Q) = 7.
b) Ta có:
Dấu “=”
Suy ra GTLN(A) = 1
Bài 64: a) Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
b) Tìm GTNN của
Lời giải:
a) Ta có: ( Vì )
( Vì )
Dấu “=”
Suy ra .
b) Tìm GTNN của
Ta có:
Dấu “=”
Suy ra và .
Bài 65: a) Tìm GTNN của biết
b) Tìm GTNN của
c) Tìm GTNN của
d) Tìm GTLN của với
Lời giải:
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của: biết
* Cách 1 : Ta có: + = 4 + 2+ = 16 (1)
Ta lại có: - 2+ 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2+ 2 16 + 8
Vậy giá trị nhỏ nhất của
* Cách 2: Ta có :
Suy ra
Dấu “=”
Vậy, .
b) Ta có :
Dấu “=”
Suy ra GTNN (B ) = 5
c) Ta có:
Đặt ( chú ý : )
Khi đó,
Dấu “=”
d) Tìm giá trị của để biểu thức sau đạt GTLN: với
*Cách 1: Đặt
Khi đó
( Vì ).
Dấu “=”.
Suy ra .
*Cách 2: Đặt
Ta có: ( Vì nên )
Suy ra ( Vì )
Dấu “=”.
Suy ra .
Bài 66: Tìm giá trị nhỏ nhất của và các giá trị của tương ứng.
Lời giải:
Tìm giá trị nhỏ nhất của và các giá trị của tương ứng.
Ta biết: .
Đặt: .
Khi đó biểu thức (*) viết thành: .
Dấu “=” xảy ra
.
*) .
*) .
Vậy
Bài 67: Cho thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của GTLN
Lời giải
Ta có:
Dấu xảy ra và
và Vậy nhỏ nhất là
Bài 68: Cho hai số không âm và thỏa mãn: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:
Lời giải
Ta có:
Chứng minh được với hai số dương thì
Do đó:
Vậy của S là 1, dạt được khi
Bài 69: Cho hai số dương thỏa mãn:
Tìm giá trị nhỏ nhất của
Lời giải
. Dấu xảy ra
Vậy GTNN của
Bài 70: Cho là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của :biết
Lời giải
Áp dụng công thức Bunhiacopski ta có:
Vậy GTNN của là
Bài 71: Tìm các giá trị của để biểu thức:có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Lời giải
Ta thấy nên
Do dó
Bài 72: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Do
Đẳng thức xảy ra Vậy với thì L có giá trị nhỏ nhất.
Giá trị nhỏ nhất của L là 8
Bài 73: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải
Vậy GTNN của là khi
Bài 74: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
với mọi
với mọi
Từ
Bài 75: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Lời giải
Đặt
Bài 76: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: .
Lời giải
+ Tìm GTLN:
Ta có:
Dấu “ =”
Suy ra GTLN(A) = 2 .
+ Tìm GTNN:
Ta có:
Dấu “ =”
Suy ra GTNN(A) =
Bài 77: Tìm giá trị của biến x để:
a) đạt giá trị lớn nhất b) đạt giá trị nhỏ nhất
Lời giải
a)
Ta có: ( Vì 1 > 0 và )
Dấu « = »
Suy ra GTLN(P) = .
b) ĐKXĐ:
Ta có:
Đặt . Ta có:
Dấu « = »
Suy ra GTNN(Q) =
Bài 78: a) Tìm GTLN của
b) Tìm GTNN của biểu thức , với
Lời giải
a) Tìm GTLN của
Ta có:
Đặt , khi đó:
Dấu “=”
Suy ra
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức , với .
Ta có:
Dấu “ =”
Vậy, GTNN(B) =.
Bài 79: Tìm GTNN của:
a) ; b) ; c)
Lời giải
a) Ta có:
( Vì nên , dùng BĐT Cô-si cho hai số dương và )
Dấu « = »
Suy ra .
b)Ta có
Dấu “=” ( thỏa )
Suy ra
c)
Dấu “=” ( thỏa )
Suy ra .
Bài 80: Cho hai số x và y thoả mãn điều kiện:
- Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ;
- Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Lời giải
- Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Từ ,
Khi đó,
Dấu “=”
Suy ra
- Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Từ ,
Khi đó,
Dấu « = »
Suy ra
Bài 81: a) Cho x, y là các số dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
- Tìm GTLN của
Lời giải
a) Ta có :
Dấu “=”
Suy ra GTNN(Q) = 7.
b) Ta có:
Dấu “=”
Suy ra GTLN(A) = 1
Bài 82: a) Tìm GTNN của biết
b) Tìm GTNN của
c) Tìm GTNN của
d) Tìm GTLN của với
Lời giải
a) * Cách 1 : Ta có: + = 4 + 2+ = 16 (1)
Ta lại có: - 2+ 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2+ 2 16 + 8
Vậy giá trị nhỏ nhất của
* Cách 2: Ta có :
Suy ra
Dấu “=”
Vậy, .
b) Ta có :
Dấu “=”
Suy ra GTNN (B ) = 5
c) Ta có:
Đặt ( chú ý : )
Khi đó,
Dấu “=”
d) Tìm giá trị của để biểu thức sau đạt GTLN: với
*Cách 1: Đặt
Khi đó
( Vì ).
Dấu “=”.
Suy ra .
*Cách 2: Đặt
Ta có: ( Vì nên )
Suy ra ( Vì )
Dấu “=”.
Suy ra .
Bài 83: : a) Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
b) Tìm GTNN của
Lời giải
a) Ta có: ( Vì )
( Vì )
Dấu “=”
Suy ra .
b) Tìm GTNN của
Ta có:
Dấu “=”
Suy ra và .
Bài 84: Tìm giá trị nhỏ nhất của và các giá trị của tương ứng.
Lời giải
Ta biết: .
Đặt: .
Khi đó biểu thức (*) viết thành: .
Dấu “=” xảy ra
.
*) .
*) .
Vậy
Bài 85: Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất của
Lời giải
Ta có:
Vậy
Bài 86: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Ta có:
Vì x2 + x + 1 =
Suy ra :
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Bài 87: Cho hai số không âm a và b thỏa mãn: a2 + b2 = a + b. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:
Lời giải
Ta có:
Chứng minh được với hai số dương x,y thì
Do đó:
Vậy GTLN của S là 1, dạt được khi a = b = 1
Bài 88: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x + y + z =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Lời giải
Ta có:
Theo BĐT cô si ta có : . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi y = 2x
Tương tự : . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi z = 4x
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi z = 2y
Suy ra: . Dấu “=” xảy ra khi
Vậy: Min P =
Bài 89: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Lời giải
Ta có:
Vậy Min P = 8100312,5
Bài 90: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là khi
Bài 91: a. Tìm giá trị lớn nhất của tổng x + y + z biết rằng x + 5y = 21 và 2x + 3z = 51 với x, y, z 0
b. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các phân thức B =
Lời giải
a) Cộng vế với vế của các đẳng thức x + 5y = 21 và 2x + 3z =51 ta được
3(x + y + z) + 2y = 72
Như vậy 3(x + y + z) lớn nhất khi và chỉ khi 2y nhỏ nhất . Mặt khác y 0 nên 2y nhỏ nhất khi y = 0 x = 21 và z = 3
Do đó 3(x + y + z) lớn nhất bằng 72 x + y + z lớn nhất bằng 24 khi x = 21; y = 0 và z = 3
b) Ta có = minB = -1 với x = -2
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là B = -1 khi x = -2
Mặt khác ta lại có =
maxB = 4 với x =
Vậy giá trị lớn nhất của B là B = 4 khi x =
Bài 92: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải
Ta có =
Đẳng thức xảy ra khi
Vậy Min P =
Bài 93: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Lời giải
Ta có với mọi x, y.
P = khi x = 10 và y = 10
Vậy Max P = khi x = 10 và y = 10.
Bài 94: Cho các số a, b,c thỏa mãn a + b + c = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2
Lời giải
Ta có: với mọi a
với mọi a
với mọi a (1)
Tương tự: với mọi b (2)
với mọi c (3)
Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta được :
.
Vì nên: P =
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c =.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là đạt được khi và chỉ khi a = b = c =.
Bài 95: Cho hai số dương có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
=
=
Áp dụng BĐT AM-GM ta có (*)
Áp dụng BĐT AM-GM và kết hợp (*) ta có:
Đẳng thức xảy ra . Vậy khi .
Bài 96:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức , trong đó x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: .
Lời giải
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức , trong đó x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: .
Ta có: (2)
Mặt khác: (3)
Từ (2) và (3) suy ra:
Hay : .Do đó .
Đẳng thức xảy ra khi: (4).
Từ (1) và (4) ta có: .
Vậy Min (P) = 0 khi x = y =1.
Bài 97:
a) Cho thoả mãn .
Tìm GTNN của biểu thức .
b) Cho thoả mãn .
Tìm GTNN của biểu thức .
Lời giải
a) Ta có:
Dấu “=” .
Vậy, . Dấu “=” .
b) Ta có:
Dấu “=” .
Vậy, . Dấu “=” .
Bài 98: Cho m, n là các số thực thay đổi sao cho . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:.
Lời giải
Cho m, n là các số thực thay đổi sao cho (1). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: (2).
Từ (2) ta có:
Do đó:
Suy ra: (do (1)) .
Dấu “=” xảy ra .
Vậy Min Q = -2 khi m =-2, n =1 hoặc m =1, n = -2.
Bài 99:
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức
Lời giải
Ta có:
Dấu “=”
Suy ra
Ta có:
Dấu “=”
Suy ra
Bài 100:
Cho là các số thực dương thỏa mãn:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
Vì nên:
Ta có:
Tương tự:
Từ đó . Dấu xảy ra
Vậy GTNN của là
Bài 101: Cho các số thực dương thỏa mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Áp dụng BĐT và với dương, dấu bằng xảy ra
Ta có:
Bởi vậy :
Vậy
Bài 102: Cho hai số thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Ta có:
Vậy
. Vậy
Bài 103: Tìm giá trị nhỏ nhất của
Lời gải
Vậy
Bài 104: Cho là các số dương thỏa mãn
Lời gải
Theo BĐT cô si ta có:
Tương tự
. Dấu bằng xảy ra khi
Bài 105: Cho là 3 số dương thỏa mãn: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Lời gải
Ta có:
Tương tự:
Dấu xảy ra
Bài 106: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của
Lời gải
Đặt . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
hay Dấu bằng xảy ra
Bài 107: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Giá trị nhỏ nhất của là
Nên giá trị nhỏ nhất của là
Bài 108: Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
Dấu xảy ra
Vậy
Bài 109:
- Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
- Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
- Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
- Ta có:
Do
Nên
Dấu xảy ra
Vậy GTNN của là
Do nên Dấu xảy ra
Vậy của là
- Ta có:
Nhận thấy với mọi ta có:
Dấu xảy ra khi
Vậy Giá trị nhỏ nhất của là đạt được khi
Bài 110: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Đặt ta có biểu thức:
Dấu xảy ra
Với thì đạt giá trị nhỏ nhất bằng
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới
- Dạng toán bất đẳng thức ôn thi hsg đại số 8 có lời giải chi tiết
- Phân tích đa thức thành nhân tử ôn thi hsg đại số 8 có lời giải chi tiết
- Dạng toán phương trình nghiệm nguyên ôn thi hsg đại số 8 có lời giải chi tiết
- Dạng toán số chính phương ôn thi hsg đại số 8 có lời giải chi tiết
- Dạng toán số nguyên tố ôn thi hsg đại số 8 có lời giải chi tiết