Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
DẠNG 6: BẤT ĐẲNG THỨC
A.Bài toán
Bài 1. Cho dương và Chứng minh rằng :
Bài 2: Chứng minh rằng: với
Bài 3 : Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 4 : Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 5 :
Bài 6 :
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 9 : Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
Bài 10: Tìm các giá trị của để biểu thức:
có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 11 : Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 12 : Chứng minh rằng:
Bài 13 Cho thỏa mãn Chứng minh
Bài 14: Cho hai số thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 15 : Cho các số thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Bài 16 : Cho ba số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
Bài 17 : Cho tam giác có nửa chu vi với là độ dài ba cạnh
Chứng minh
Bài 18 : Cho các số thực dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Bài 19 : Cho là ba số dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Bài 20 : Cho thỏa mãn Chứng minh rằng :
Bài 21 : Cho hai số thỏa mãn điều kiện Chứng minh :
Bài 22 : Chứng minh rằng với mọi
Bài 23 : Chứng minh rằng:
Bài 24 : Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi. CMR:
Bài 25 : Cho là các số dương. Chứng minh rằng:
Bài 26 : Chứng minh rằng:
Bài 27 : So sánh hai số sau: và
Bài 28 : Cho số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 29 : Cho là ba cạnh của tam giác.
Chứng minh:
Bài 30 : Chứng minh rằng:
Bài 31 : CMR với là các số dương, ta có:
Bài 32: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
Bài 33 : Cho các số thực Chứng minh rằng
Bài 34 : a) Cho và là hai số thực. Chứng minh rằng
b) Cho là ba số dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Bài 35 : Cho là ba số thực dương. Chứng minh rằng:
Chứng minh
Bài 36 : Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 37: Cho Chứng minh rằng:
Bài 38 : Cho CMR:
Bài 39 : Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh:
Bài 40 : Cho Chứng minh rằng:
Bài 41 : Chứng minh rằng : với mọi
Bài 42 : Cho và
Chứng minh rằng
Bài 43 : Cho các số dương thỏa mãn điều kiện
Chứng minh rằng:
Bài 44 : a. Chứng minh (với mọi
b. Chứng minh:
Bài 45: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
Bài 46: CMR với là các số dương, ta có:
Bài 47: Cho dương và Chứng minh rằng :
Bài 48: Chứng minh rằng: với
Bài 49: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 50: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 51: Cho biểu thức
Bài 52: Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
Bài 53: Cho Chứng minh rằng :
Bài 54: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 55: Cho là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 56: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 57: Cho 2 số và b thỏa mãn Chứng minh:
Bài 58: Chứng minh rằng:
Bài 59: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 60: Cho các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 61: Cho Chứng minh rằng :
Bài 62: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 63: Cho 2 số và b thỏa mãn Chứng minh:
Bài 64: Cho là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 65: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 66: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 67: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
Bài 68: Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
Bài 69: Cho là các số dương. Chứng minh rằng:
Bài 70: Chứng minh rằng:
Bài 71: Chứng minh rằng: với
Bài 72: Chứng minh rằng:
Bài 73: a) Cho và là hai số thực. Chứng minh rằng
b) Cho là ba số dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Bài 74: Cho thỏa mãn Chứng minh
Bài 75: Cho Chứng minh rằng
Bài 76: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 77: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 78: Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi.
CMR:
Bài 79: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 80: Cho biểu thức Chứng minh rằng nếu là 3 cạnh của một tam giác thì
Bài 81: Cho bốn số dương . Chứng minh rằng:
Bài 82: a) Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có bất đẳng thức sau:
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
b) Chứng minh rằng với x, y bất kỳ, ta có:
Bài 83: a) Cmr :
b) Cho các số dương và thỏa mãn điều kiện . Cmr :
Bài 84: Chứng minh rằng:
a)
b)
Bài 85: Cmr: a)
b)
Bài 86: Chứng minh rằng:
a) với ;
b) ;
c)
Bài 87: Chứng minh với mọi số thực a, b khác 0 ta luôn có bất đẳng thức sau:
Bài 88: Chứng minh BĐT:
Bài 89: a) Chứng minh:
b) Chứng minh:
c) Chứng minh: với .
d) Chứng minh: với
e) Cho và cùng dấu. Chứng minh:
Bài 90: Cho ba số dương
Bài 91: Cho , chứng minh: .
Bài 92: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) ; b) khi .
Bài 93: Cho là ba cạnh của một tam giác
a) Chứng minh rằng:
b) Chứng minh rằng: thì tam giác đó là tam giác đều.
Bài 94: Cho . Chứng minh rằng: .
Bài 95: a) Chứng minh: với
b) Chứng minh: với
Bài 96: Cho ba số x, y, z.
a) Chứng minh ;
b) Khi . Chứng minh .
Bài 97: Cho thỏa mãn Chứng minh
Bài 98: Với . Hãy chứng minh các BĐT:
a) ; b) ;
c) .
Bài 99:
a) Cho . Chứng minh rằng: .
b) Cho a, b là các số tùy ý. Chứng minh:
c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh:
Bài 100: Cho thỏa mãn Chứng minh
Bài 101: Cho các số thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 102: Cho Chứng minh rằng
Bài 103: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 104: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 105: Cho thỏa mãn Chứng minh
Bài 106: CMR với là các số dương, ta có:
Bài 107: Cho biểu thức Chứng minh rằng nếu là 3 cạnh của một tam giác thì
Bài 108: CMR với là các số dương, ta có:
Bài 109: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng
Bài 110: Chứng minh rằng , trong đó a, b, c là các số thực không nhỏ hơn 1.
Bài 111: Chứng minh với mọi số thực a, b, c.
Bài 112: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 113: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
Bài 114: Cho a và b là hai số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng . Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 115: Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác. Chứng minh:
Bài 116: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức:
+ +
Bài 117: Cho x > y > 0. Chứng minh:
Bài 118: Chứng minh biểu thức: A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2 0 với mọi a, b, c.
Bài 119: Cho 3 số dương có tổng bằng Chứng minh rằng
Bài 120: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3.
Chứng minh rằng: .
Bài 121: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 122: Cho các số thực dương thỏa mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng:
Bài 123: Cho ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
Bài 124: Cho Chứng minh rằng
Bài 125: Cho là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:
Bài 126: Cho là các số không âm và không lớn hơn 2 thỏa mãn
Chứng minh rằng
Bài 127: Chứng minh rằng: , trong đó là các số thực không nhỏ hơn 1
Bài 128: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 129: Chứng minh rằng:
Bài 130: Chứng minh với mọi số dương
Bài 131: Cho là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
Bài 132: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 133: Cho Chứng minh rằng :
Bài 134: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 135: Cho là các số dương.
Chứng minh:
Bài 136: Chứng minh bất đẳng thức:
với
Bài 137: Cho . Chứng minh
Bài 138: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 139: Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
Bài 140: Cho thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 141: Chứng minh bất đẳng thức sau:
với mọi
Bài 142: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 143: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
Bài 144: a) Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi.
CMR:
b)Cho là các số dương. Chứng minh rằng:
B. HƯỚNG DẪN
Bài 1 : Cho dương và Chứng minh rằng :
Lời giải
Đặt
và
Chứng minh:
hay
Bài 2 : Chứng minh rằng: với
Lời giải
Theo bài ra ta có:
Mặt khác :
Từ (1) và (2) suy ra:
Bài 3 : Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt
Tương tự:
BĐT chứng minh tương đương với:
do
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Bài 4 : Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi và ta có:
Dấu xảy ra
Thật vậy, với và ta có:
(luôn đúng)
Dấu xảy ra
Áp dụng bất đẳng thức ta có:
Dấu xảy ra
Ta có:
Áp dụng BĐT (*) ta có :
(Vì
Hay
Mà nên
Vậy (đpcm)
Bài 5
Lời giải
(luôn đúng)
Suy ra:
Vậy
Bài 6 : a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
Lời giải
Do
Nên
Dấu “=” xảy ra
Vậy
b)
Do . Đẳng thức xảy ra
Vậy
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Lời giải
Ta có :
Vậy
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi
Bài 9 : Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
Từ
Dấu “=” xảy ra
Bài 10 : Tìm các giá trị của để biểu thức:
có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Lời giải
Ta thấy nên
Do dó
Bài 11 : Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt
từ đó suy ra
Thay vào ta được
Từ đó suy ra hay
Bài 12 : Chứng minh rằng:
Lời giải
Bài 13 : Cho thỏa mãn Chứng minh
Lời giải
Ta có:
mà nên
Bài 14 :Cho hai số thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Ta có:
Vậy
. Vậy
Bài 15 : Cho các số thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Lời giải
Vì nên suy ra
Do đó :
Lại có:
Vì nên
Do đó từ
Từ (1) và (3) suy ra
Bài 16 : Cho ba số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
Từ
Dấu bằng xảy ra
Bài 17 : Cho tam giác có nửa chu vi với là độ dài ba cạnh
Chứng minh
Lời giải
Ta có :
Tương tự:
Cộng vế với vế các BĐT cùng chiều:
Bài 18 : Cho các số thực dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt
Áp dụng BĐT và với dương, dấu bằng xảy ra
Ta có:
Bởi vậy
Bài 19 : Cho là ba số dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Lời giải
Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với mọi và ta có:
Dấu xảy ra
Thật vậy, với và ta có:
(luôn đúng)
Dấu xảy ra
Áp dụng bất đẳng thức ta có:
Dấu xảy ra
Ta có:
Áp dụng BĐT (*) ta có :
(Vì
Hay
Mà nên
Vậy (đpcm)
Bài 20 : Cho thỏa mãn Chứng minh rằng :
Lời giải
Bài toán phụ : Chứng minh rằng
Chứng minh
Áp dụng bài toán phụ (1) ta có:
(2)
Mà (vì
Với ta có: (vì
Từ (2) và (3) suy ra :
Bài 21 : Cho hai số thỏa mãn điều kiện Chứng minh :
Lời giải
Ta có:
(vì
(Vì
(2) đúng nên (1) đúng ta có đpcm.
Bài 22 : Chứng minh rằng với mọi
Lời giải
Đặt Khi đó ta có:
Bài 23 : Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có:
Ta cộng vế theo vế ta được:
Bài 24 : Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi.
CMR:
Lời giải
Ta có:
Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh
Bài 25 : Cho là các số dương. Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có:
Xét
đpcm
Dấu xảy ra khi
Bài 26 : Chứng minh rằng:
Lời giải
Vậy
Bài 27 : So sánh hai số sau: và
Lời giải
Vì nên
Bài 28 : Cho số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
Ta có:
Đặt
Dấu xảy ra khi suy ra
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 6 khi
Bài 29 : Cho là ba cạnh của tam giác.
Chứng minh:
Lời giải
Vì là 3 cạnh của tam giác nên
Đặt
Ta có:
Mà nên suy ra điều phải chứng minh.
Bài 30 : Chứng minh rằng:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức . Dấu bằng xảy ra khi
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
Dấu xảy ra khi
Bài 31 : CMR với là các số dương, ta có:
Lời giải
Mà (BĐT Cô si)
Do đó: . Vậy
Bài 32 : Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
Vì
BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng. Dấu xảy ra khi
Bài 33 : Cho các số thực Chứng minh rằng
Lời giải
Ta có:
Nên
Ta lại có:
Tương tự:
Suy ra:
Do vậy,
Dấu xảy ra khi và chỉ khi
Bài 34 :
Chứng minh rằng:
Lời giải
a) Với và ta có:
luôn đúng
b) Áp dụng bất đẳng thức ta có:
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức (2) ta có:
Hay
Mà nên
Do đó:
Bài 35. Cho là ba số thực dương. Chứng minh rằng:
Chứng minh
Lời giải
Ta có:
Đặt : Suy ra và ta có:
(Vì )
Vậy . Dấu xảy ra
Chứng minh :
Thật vậy, do vai trò của như nhau nên không mất tính tổng quát , ta có thể giả sử :
Xét hiệu :
Vì giá trị của các biểu thức trong ngoặc đều không âm
Vậy
Từ (1) và (2) suy ra đpcm . Dấu xảy ra khi
Bài 36. Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi và ta có:
Dấu xảy ra
Thật vậy, với và ta có:
(luôn đúng)
Dấu xảy ra
Áp dụng bất đẳng thức ta có:
Dấu xảy ra
Ta có:
Áp dụng BĐT (*) ta có :
(Vì
Hay
Mà nên
Vậy (đpcm)
Bài 37. Cho Chứng minh rằng:
Lời giải
Do và với mọi b nên:
Tương tự ta có:
Mà nên
Cũng từ
Mà nên
Suy ra
Từ suy ra
Đẳng thức xảy ra
Bài 38. Cho CMR:
Lời giải
Ta có:
Cộng lại ta có điều phải chứng minh
Bài 39. Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh:
Lời giải
Áp dụng hệ quả bất đẳng thức Bu-nhi-a Cốp-xki, ta có:
==≥
Ta chứng minh ≥ 3(ab + bc + ca)
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ≥ 3ab + 3bc + 3ca
a2 + b2 + c2 - ab - bc – ca ≥ 0
[(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2] ≥ 0 (luôn đúng)
Vậy
Dấu “=” xảy ra .
Bài 40. Cho Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có:
Tương tự cũng có:
Cộng ta được:
Bài 41. Chứng minh rằng : với mọi
Lời giải
Ta có:
Vì với mọi
Do đó : với mọi (bài toán được chứng minh).
Bài 42. Cho và
Chứng minh rằng
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
Mặt khác:
Bài 43. Cho các số dương thỏa mãn điều kiện
Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có:
Lại có :
Nên ta có:
Dấu bằng xảy ra khi
Bài 44: a. Chứng minh (với mọi
b. Chứng minh:
Lời giải
(luôn đúng)
Suy ra:
Bài 45: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
Vì
Suy ra BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng, dấu xảy ra
Bài 46: CMR với là các số dương, ta có:
Lời giải
Ta có:
Mà (BĐT Cô si). Do đó: . Vậy
Bài 47: Cho dương và Chứng minh rằng :
Lời giải
+)Từ giả thiết suy ra :
Biến đổi được kết quả:
Tam giác đó là đều (đpcm)
và
Chứng minh:
hay
Bài 48: Chứng minh rằng: với
Lời giải
Ta có:
Mặt khác :
Từ (1) và (2) suy ra:
Bài 49: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Tương tự:
BĐT chứng minh tương đương với:
do
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Bài 50: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi và ta có:
Dấu xảy ra
Thật vậy, với và ta có:
(luôn đúng)
Dấu xảy ra
Áp dụng bất đẳng thức ta có:
Dấu xảy ra
Ta có:
Áp dụng BĐT (*) ta có :
(Vì
Hay
Mà nên
Vậy (đpcm)
Bài 51: Cho biểu thức
(BĐT tam giác)
(BĐT tam giác)
(BĐT tam giác)
Vậy
Bài 52: Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có:
Dấu “=” xảy ra
Bài 53: Cho Chứng minh rằng :
Lời giải
Học sinh chứng minh với mọi
Dấu xảy ra
Bài 54: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Tổng hai cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba nên cả 4 thừa số đều dương, suy ra điều phải chứng minh.
Bài 55: Cho là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt
Từ đó suy ra
Thay vào biểu thức A ta được:
Bài 56: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
Trước tiên ta chứng minh BĐT: ta có:
. Dấu xảy ra
Thật vậy, với và ta có: (**)
Dấu xảy ra
Áp dụng BĐT (**) ta có:
Dấu xảy ra
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có:
Hay
Mà nên
Vậy
Bài 57: Cho 2 số và b thỏa mãn Chứng minh:
Lời giải
Do nên
Bài 58: Chứng minh rằng:
Lời giải
Xét hiệu:
(Dấu xảy ra
Vậy (dấu xảy ra
Bài 59: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi và ta có:
Dấu xảy ra
Thật vậy, với và ta có:
(luôn đúng)
Dấu xảy ra
Áp dụng bất đẳng thức ta có:
Dấu xảy ra
Ta có:
Áp dụng BĐT (*) ta có :
(Vì
Hay
Mà nên
Vậy (đpcm)
Bài 60: Cho các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt
Áp dụng BĐT và với dương , dấu bằng xảy ra
Ta có:
Bởi vậy
Bài 61: Cho Chứng minh rằng :
Lời giải
Học sinh chứng minh với mọi
Dấu xảy ra
Bài 62: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Tổng hai cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba nên cả 4 thừa số đều dương, suy ra điều phải chứng minh.
Bài 63: Cho 2 số và b thỏa mãn Chứng minh:
Lời giải
Do nên
Bài 64: Cho là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt
Từ đó suy ra
Thay vào biểu thức A ta được:
Bài 65: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
Trước tiên ta chứng minh BĐT: ta có:
. Dấu xảy ra
Thật vậy, với và ta có: (**)
Dấu xảy ra
Áp dụng BĐT (**) ta có:
Dấu xảy ra
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có:
Hay
Mà nên
Vậy
Bài 66: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
Tương tự:
Do đó:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
Vậy . Dấu “=” xảy ra
Bài 67: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
Vì
BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng. Dấu “=” xảy ra khi
Bài 68: Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
Từ
Dấu “=” xảy ra
Bài 69: Cho là các số dương. Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có:
Xét
đpcm
Dấu xảy ra khi
Bài 70: Chứng minh rằng:
Lời giải
Bài 71: Chứng minh rằng: với
Lời giải
Theo bài ra ta có:
Mặt khác :
Từ (1) và (2) suy ra:
Bài 72: Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có :
Ta cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được :
Bài 73: a) Cho và là hai số thực. Chứng minh rằng
b) Cho là ba số dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Lời giải
a) Với và ta có:
luôn đúng
b) Áp dụng bất đẳng thức ta có:
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức (2) ta có:
Hay
Mà nên
Do đó:
Bài 74: Cho thỏa mãn Chứng minh
Lời giải
Dấu đẳng thức xảy ra khi
Áp dụng có:
Suy ra:
Với dương , chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi
Ta được:
. Dấu đẳng thức xảy ra
Bài 75: Cho Chứng minh rằng
Lời giải
Giả sử
Vậy
Bài 76: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt Ta có:
Từ đó suy ra :
Thay vào ta được:
Từ đó suy ra . Dấu “= “ xảy ra
Bài 77: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt
Từ đó suy ra
Thay vào ta được:
Từ đó suy ra hay
Bài 78: Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi.
CMR:
Lời giải
Ta có:
Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh
Bài 79: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Tổng hai cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba nên cả 4 thừa số đều dương, suy ra điều phải chứng minh.
Bài 80 : Cho biểu thức Chứng minh rằng nếu là 3 cạnh của một tam giác thì
Lời giải
Do là 3 cạnh của một tam giác nên
Bài 81: Cho bốn số dương . Chứng minh rằng:
Lời giải:
Cho bốn số dương . Chứng minh rằng:
Vì ta có: ;
;
Lấy (1), (2), (3) và (4) cộng vế theo vế, thu gọn ta được điều phải chứng minh.
( Chú ý : Dạng tương tự : Cho bốn số dương .
Chứng minh rằng: có giá trị không nguyên )
Bài 82: a) Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có bất đẳng thức sau:
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
b) Chứng minh rằng với x, y bất kỳ, ta có:
Lời giải:
a) Ta có:
( đúng )
Dấu “=” .
b) Ta có:
(đúng)
Dấu “=” .
Bài 83: a) Cmr :
b) Cho các số dương và thỏa mãn điều kiện . Cmr :
Lời giải:
a) Xét hiệu : =...
Đặt . Khi đó, .
Vậy, .
Dấu « = » ( giải tiếp tìm )
b) Ta có:
( Vì các số dương và thỏa mãn điều kiện )
Vây, . Dấu « = »
Bài 84: Chứng minh rằng:
a)
b)
Lời giải:
a)
Áp dụng BĐT . Dấu “=” .
Ta có:
Tương tự, và
Lấy (1), (2) và (3) cộng vế theo vế ta được đpcm.
Dấu “=” .
b) Đặt
+ Nếu thì , do đó , còn nên
+ Nếu thì , do đó , còn nên
Vậy, với mọi .
Bài 85: Cmr: a)
b)
Lời giải:
a)
( Đúng )
Dấu “=”
b)
Dấu “=” hoặc
Bài 86: Chứng minh rằng:
a) với ;
b) ;
c)
Lời giải:
Chứng minh rằng:
a) với
với ( Đúng )
b) Xét
Đặt . Khi đó, ta có:
Vậy, (đpcm)
c)
( Đúng )
Bài 87: Chứng minh với mọi số thực a, b khác 0 ta luôn có bất đẳng thức sau:
Lời giải:
Ta có:
( Đúng )
Dấu “ =” .
Vậy, với . Dấu “ =” .
Bài 88: Chứng minh BĐT:
Lời giải:
Chứng minh BĐT:
Ta có:
( đúng )
Vậy, . Dấu “=” .
Bài 89: a) Chứng minh:
b) Chứng minh:
c) Chứng minh: với .
d) Chứng minh: với
e) Cho và cùng dấu. Chứng minh:
Lời giải:
a) Chứng minh:
Ta có:
( Đúng )
Vậy, . Dấu “=”.
b) Chứng minh:
* Cách 1: Dùng biến đổi tương đương.
Ta có:
( Đúng )
Vậy, . Dấu “=”.
* Cách 2: Dùng BĐT phụ: . Dấu “=”.
Ta có:
Vậy, . Dấu “=”.
c) Chứng minh: với .
Với ta có:
Do đó,
Vậy, với
d) Chứng minh: với
Với ta có:
Ta có:
Vậy, với .
e) Cho và cùng dấu. Chứng minh:
Ta có:
( Vì c/m được với a, b cùng dấu)
Dấu “=”
Vậy, với và cùng dấu. Dấu “=”
Bài 90: Cho ba số dương
a) Chứng minh rằng:;
b) Chứng minh rằng:
Lời giải:
Cho ba số dương
a) Chứng minh rằng: ( HS tự giải )
b) Chứng minh rằng:
* Cách 1: Ta có:
( Đúng) ( theo câu a)
Dấu “ =” .
KL: . Dấu “ =” .
* Cách 2: Đặt với .
Suy ra
Do đó,
Dấu “=” .
Bài 91: Cho , chứng minh: .
Lời giải:
Cho , chứng minh: .
Ta có:
Vì và nên .
Dấu “=”
Vậy, với . Dấu “=” .
Bài 92: Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a) ; b) khi .
Lời giải:
a)
Áp dụng BĐT . Dấu “=”
Ta có:
Dấu “=”
b) khi .
Ta có :
Dấu “=”
Bài 93: Cho là ba cạnh của một tam giác
a) Chứng minh rằng:
b) Chứng minh rằng: thì tam giác đó là tam giác đều.
Lời giải:
Cho là ba cạnh của một tam giác
a) Chứng minh rằng:
+Ta có:
( Đúng )
Dấu “=” tam giác đó là tam giác đều.
+ Theo BĐT tam giác ta có:
Vậy, với là ba cạnh của một tam giác.
b) Chứng minh rằng: thì tam giác đó là tam giác đều.
Xét hiệu
Suy ra
Vậy, thì tam giác đó là tam giác đều.
Bài 94: Cho . Chứng minh rằng: .
Lời giải:
Cho . Chứng minh rằng: .
Xét hiệu:
( vì nên)
Do đó
Giả sử và , do đó (đpcm)
Tương tự, và , do đó (đpcm)
Dấu
Bài 95: a) Chứng minh: với
b) Chứng minh: với
Lời giải:
a) Chứng minh: với
Ta có: với .
Do đó, .
Vậy, với
b) Chứng minh: với
Ta có:
Do đó,
Vậy, với .
Bài 96: Cho ba số x, y, z.
a) Chứng minh ;
b) Khi . Chứng minh .
Lời giải:
Hay . Cho ba số x, y, z.
a) Chứng minh
Ta có
.
Các bước biến đổi tương đương mà bất dẳng thức cuối đúng nên bất đẳng thức đầu đúng.
b) Khi . Chứng minh .
Ta có
Kết hợp và ta có :
Bài 97: Cho thỏa mãn Chứng minh
Lời giải:
Có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi
Áp dụng có:
Suy ra:
Với dương , chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi
Ta được:
. Dấu đẳng thức xảy ra
Bài 98: Với . Hãy chứng minh các BĐT:
a) ; b) ;
c) .
Lời giải
Với . Hãy chứng minh các BĐT:
a)
Với nên
Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương và ta được
Dấu “=”
Vậy, với . Dấu “=” .
b)
Áp dụng kết quả câu a, ta có:
Dấu “=” .
Vậy, . Dấu “=” .
c) .
Ta có
Áp dụng kết quả câu a, ta có:
Dấu “=” .
Vậy, . Dấu “=” .
Bài 99:
a) Cho . Chứng minh rằng: .
b) Cho a, b là các số tùy ý. Chứng minh:
c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh:
Lời giải
a) Cho . Chứng minh rằng: .
Ta có mà
Do đó .
Vậy, nếu thì .
b) Cho a, b là các số tùy ý. Chứng minh:
Đặt
Đặt , ta có:
Vậy, . Dấu “=” .
c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh: .
Đặt thì và
C/m BĐT phụ: với .
Thật vậy, ta có
Suy ra
( cả hai vế đều không âm)
Do đó, với . Dấu “=”
Áp dụng BĐT trên, ta có
Vậy, . Dấu “=” tam giác đã cho đều.
Bài 100:
Cho thỏa mãn Chứng minh
Lời giải
Có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi
Áp dụng có:
Suy ra:
Với dương , chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi
Ta được:
. Dấu đẳng thức xảy ra
Bài 101:
Cho các số thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
Vì nên suy ra
Do đó :
Lại có:
Vì nên
Do đó từ
Từ (1) và (3) suy ra
Bài 102:
Cho Chứng minh rằng
Lời giải
Giả sử
Vậy
Bài 103:
Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt Ta có:
Từ đó suy ra :
Thay vào ta được:
Từ đó suy ra . Dấu “= “ xảy ra
Bài 104:
Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
Tương tự:
Do đó:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
Vậy . Dấu “=” xảy ra
Bài 105: Cho thỏa mãn Chứng minh
Lời giải
Ta có:
mà nên
Bài 106: CMR với là các số dương, ta có:
Lời giải
Mà (BĐT Cô si)
Do đó: . Vậy
Bài 107: Cho biểu thức Chứng minh rằng nếu là 3 cạnh của một tam giác thì
Lời giải
Do là 3 cạnh của một tam giác nên
Bài 108: CMR với là các số dương, ta có:
Lời giải
Ta có:
Mà (BĐT Cô si)
Do đó: . Vậy
Bài 109: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng
Lời giải
Đặt
Từ đó suy ra
Thay vào ta được
Từ đó suy ra hay
Bài 110: Chứng minh rằng , trong đó a, b, c là các số thực không nhỏ hơn 1.
Lời giải
(đúng với mọi )
Bài 111: Chứng minh với mọi số thực a, b, c.
Lời giải
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có:
;
Do đó, suy ra:
Bài 112: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: .
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Lời giải
Áp dụng bđt côsi ta có:
. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Bài 113: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
Lời giải
Bài 114: Cho a và b là hai số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng .
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Lời giải
(*)
Vì
Mà = (Theo BĐT Cauchy) nên BĐT (*) đúng do đó bđt được CM.
Đẳng thức xảy ra khi .
Bài 115: Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác. Chứng minh:
Lời giải
Ta có: ( x, y >0)
Áp dụng kết quả này ta được:
Tương tự ta có:
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên, thu gọn ta được:
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c hay tam giác đã cho là đều.
Bài 116: Cho a, b, c là các số dương . Chứng minh bất đẳng thức:
+ +
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số , không âm ta có :
+ 2 = 2 . = a
Suy ra a -
Tương tự b -
c -
Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:
+ + ( a + b + c ) - =
Vậy + + (đpcm)
Bài 117: Cho x > y > 0. Chứng minh:
Lời giải
Với x > 0; y > 0. Ta có x + y 0
Áp dụng tính chất cơ bản của phân thức ta có:
(1)
Mặt khác : x > 0 ; y > 0 nên x2 + 2xy + y2 > x2 + y2
(2)
Từ (1) và (2) ta có: (đpcm).
Bài 118: Chứng minh biểu thức: A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2 0 với mọi a, b, c.
Lời giải
A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2
= 4 (a + b) (a + c) a (a + b + c) + b2c2
= 4(a2 + ab + ac + bc)(a2 + ab + ac) + b2c2
Đặt a2 + ab + ac = m, ta có:
A = 4(m + bc)m + b2c2 = 4m2 + 4mbc + b2c2 =( 2m + bc)2
= (2 a2 + 2 ab + 2ac + bc)2 0 với mọi a,b,c (đpcm)
Bài 119: Cho 3 số dương có tổng bằng Chứng minh rằng
Lời giải
Từ
Dấu xảy ra
Bài 120: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3.
Chứng minh rằng: .
Lời giải
Do a, b > 0 và 1 + b2 ≥ 2b với mọi b nên .
Tương tự ta có : ;
mà a + b + c = 3 nên (1)
Cũng từ a + b + c = 3 ⇒ (a + b + c)2 = 9
⇔ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 9
mà a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ac nên a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca suy ra 3(ab + bc + ca) ≤ 9 ⇔ ab + bc + ca ≤ 3 (2).
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Bài 121: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với mọi ta có:
Dấu “=”xảy ra
Thật vậy, với và ta có:
( luôn đúng)
Dấu “=” xảy ra
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có:
Dấu “=” xảy ra
Ta có:
Áp dụng BĐT (*) ta có :
(Vì abc = 1)
Hay
Mà nên :
Vậy
Bài 122: Cho các số thực dương thỏa mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt
Áp dụng BĐT :
và với a,b,c dương; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Ta có:
Bởi vậy
(đpcm)
Bài 123: Cho ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
Lời giải
Ta có: (1)
(vì )
(vì x, y dương nên x + y dương) (2)
Từ (1) và (2), ta có:
(đpcm)
Bài 124: Cho . Chứng minh rằng
Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM với ta có
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz
Ta có:
Suy ra :
Tương tự:
Cộng vế với vế các BĐT trên ta có:
Bài 125: Cho là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:
Lời giải
Ký hiệu vế trái là vế phải là xét hiệu
Do bình đẳng nên giả sử khi đó ,
Mà nên đpcm
Bài 126: Cho là các số không âm và không lớn hơn 2 thỏa mãn
Chứng minh rằng
Lời giải
Từ giả thiết ta có:
Cộng hai vế với sau đó thu gọn ta được:
Mà nên
Dấu bằng xảy ra khi trong ba số có một số bằng một số bằng một số bằng 1.
Bài 127: Chứng minh rằng: , trong đó là các số thực không nhỏ hơn 1
Lời giải
(đúng với mọi
Bài 128: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt
từ đó suy ra
Thay vào ta được:
Từ đó suy ra hay
Bài 129: Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có:
Bài 130: Chứng minh với mọi số dương
Lời giải
Với mọi số dương ta có:
BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh.
Bài 131: Cho là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
Lời giải
Đặt
Từ đó suy ra
Thay vào ta được:
Từ đó suy ra hay
Bài 132: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
Nhận xét có:
Tương tự có:
Do đó
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:
Vậy
Đẳng thức xảy ra khi
Bài 133: Cho Chứng minh rằng :
Lời giải
Học sinh chứng minh với mọi
Dấu xảy ra
Bài 134: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Tổng hai cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba nên cả 4 thừa số đều dương, suy ra điều phải chứng minh.
Bài 135: Cho là các số dương.
Chứng minh:
Lời giải
Áp dụng BĐT Cô si cho ba số dương ta được:
Cũng theo BĐT Cô si :
và
Nhân tương ứng hai vế các BĐT (1) và (2) được:
Hay
Từ và suy ra
Dấu xảy ra khi và chỉ khi
Bài 136: Chứng minh bất đẳng thức:
với
Lời giải
Gọi vế trái là ta có:
Vậy
Bài 137: Cho . Chứng minh
Lời giải
Từ thay vào đẳng thức cần chứng minh ta có:
BĐT này luôn đúng . Vậy
Dấu xảy ra
Bài 138: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt
Từ đó suy ra
Thay vào ta được:
Từ đó suy ra hay
Bài 139: Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
Từ
Dấu “=” xảy ra
Bài 140: Cho thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
Vì ĐT (2) luôn đúng nên BĐT (1) đúng.
Dấu xảy ra
Bài 141: Chứng minh bất đẳng thức sau:
với mọi
Lời giải
Có với mọi
Bài 142: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Lời giải
Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi và ta có:
Dấu xảy ra
Thật vậy, với và ta có:
(luôn đúng)
Dấu xảy ra
Áp dụng bất đẳng thức ta có:
Dấu xảy ra
Ta có:
Áp dụng BĐT (*) ta có :
(Vì
Hay
Mà nên
Vậy (đpcm)
Bài 143: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
Vì
BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng. Dấu “=” xảy ra khi
Bài 144: a) Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi.
CMR:
Lời giải
Ta có:
Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh
b)Ta có:
Xét
đpcm
Dấu xảy ra khi
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới