Dạng toán bất đẳng thức ôn thi hsg đại số 8 có lời giải chi tiết

Dạng toán bất đẳng thức ôn thi hsg đại số 8 có lời giải chi tiết

4.9/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 22 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Dạng toán bất đẳng thức ôn thi hsg đại số 8 có lời giải chi tiết

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

DẠNG 6: BẤT ĐẲNG THỨC

A.Bài toán

Bài 1. Cho dương và Chứng minh rằng :

Bài 2: Chứng minh rằng: với

Bài 3 : Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 4 : Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 5 :

  1. Chứng minh (với mọi
  2. Chứng minh:
  3. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức :

Bài 6 :

  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 9 : Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

Bài 10: Tìm các giá trị của để biểu thức:

có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Bài 11 : Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 12 : Chứng minh rằng:

Bài 13 Cho thỏa mãn Chứng minh

Bài 14: Cho hai số thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 15 : Cho các số thỏa mãn

Chứng minh rằng:

Bài 16 : Cho ba số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

Bài 17 : Cho tam giác có nửa chu vi với là độ dài ba cạnh

Chứng minh

Bài 18 : Cho các số thực dương thỏa mãn

Chứng minh rằng:

Bài 19 : Cho là ba số dương thỏa mãn

Chứng minh rằng:

Bài 20 : Cho thỏa mãn Chứng minh rằng :

Bài 21 : Cho hai số thỏa mãn điều kiện Chứng minh :

Bài 22 : Chứng minh rằng với mọi

Bài 23 : Chứng minh rằng:

Bài 24 : Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi. CMR:

Bài 25 : Cho là các số dương. Chứng minh rằng:

Bài 26 : Chứng minh rằng:

Bài 27 : So sánh hai số sau: và

Bài 28 : Cho số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 29 : Cho là ba cạnh của tam giác.

Chứng minh:

Bài 30 : Chứng minh rằng:

Bài 31 : CMR với là các số dương, ta có:

Bài 32: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:

Bài 33 : Cho các số thực Chứng minh rằng

Bài 34 : a) Cho và là hai số thực. Chứng minh rằng

b) Cho là ba số dương thỏa mãn

Chứng minh rằng:

Bài 35 : Cho là ba số thực dương. Chứng minh rằng:

Chứng minh

Bài 36 : Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 37: Cho Chứng minh rằng:

Bài 38 : Cho CMR:

Bài 39 : Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh:

Bài 40 : Cho Chứng minh rằng:

Bài 41 : Chứng minh rằng : với mọi

Bài 42 : Cho và

Chứng minh rằng

Bài 43 : Cho các số dương thỏa mãn điều kiện

Chứng minh rằng:

Bài 44 : a. Chứng minh (với mọi

b. Chứng minh:

Bài 45: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:

Bài 46: CMR với là các số dương, ta có:

Bài 47: Cho dương và Chứng minh rằng :

Bài 48: Chứng minh rằng: với

Bài 49: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 50: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 51: Cho biểu thức

  1. Phân tích biểu thức thành nhân tử
  2. Chứng minh rằng: Nếu là độ dài các cạnh của một tam giác thì

Bài 52: Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

Bài 53: Cho Chứng minh rằng :

Bài 54: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 55: Cho là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 56: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 57: Cho 2 số và b thỏa mãn Chứng minh:

Bài 58: Chứng minh rằng:

Bài 59: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 60: Cho các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 61: Cho Chứng minh rằng :

Bài 62: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 63: Cho 2 số và b thỏa mãn Chứng minh:

Bài 64: Cho là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 65: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 66: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 67: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:

Bài 68: Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

Bài 69: Cho là các số dương. Chứng minh rằng:

Bài 70: Chứng minh rằng:

Bài 71: Chứng minh rằng: với

Bài 72: Chứng minh rằng:

Bài 73: a) Cho và là hai số thực. Chứng minh rằng

b) Cho là ba số dương thỏa mãn

Chứng minh rằng:

Bài 74: Cho thỏa mãn Chứng minh

Bài 75: Cho Chứng minh rằng

Bài 76: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 77: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 78: Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi.

CMR:

Bài 79: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 80: Cho biểu thức Chứng minh rằng nếu là 3 cạnh của một tam giác thì

Bài 81: Cho bốn số dương . Chứng minh rằng:

Bài 82: a) Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có bất đẳng thức sau:

. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

b) Chứng minh rằng với x, y bất kỳ, ta có:

Bài 83: a) Cmr :

b) Cho các số dương và thỏa mãn điều kiện . Cmr :

Bài 84: Chứng minh rằng:

a)

b)

Bài 85: Cmr: a)

b)

Bài 86: Chứng minh rằng:

a) với ;

b) ;

c)

Bài 87: Chứng minh với mọi số thực a, b khác 0 ta luôn có bất đẳng thức sau:

Bài 88: Chứng minh BĐT:

Bài 89: a) Chứng minh:

b) Chứng minh:

c) Chứng minh: với .

d) Chứng minh: với

e) Cho và cùng dấu. Chứng minh:

Bài 90: Cho ba số dương

  1. Chứng minh rằng:;
  2. Chứng minh rằng:

Bài 91: Cho , chứng minh: .

Bài 92: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) ; b) khi .

Bài 93: Cho là ba cạnh của một tam giác

a) Chứng minh rằng:

b) Chứng minh rằng: thì tam giác đó là tam giác đều.

Bài 94: Cho . Chứng minh rằng: .

Bài 95: a) Chứng minh: với

b) Chứng minh: với

Bài 96: Cho ba số x, y, z.

a) Chứng minh ;

b) Khi . Chứng minh .

Bài 97: Cho thỏa mãn Chứng minh

Bài 98: Với . Hãy chứng minh các BĐT:

a) ; b) ;

c) .

Bài 99:

a) Cho . Chứng minh rằng: .

b) Cho a, b là các số tùy ý. Chứng minh:

c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Chứng minh:

Bài 100: Cho thỏa mãn Chứng minh

Bài 101: Cho các số thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 102: Cho Chứng minh rằng

Bài 103: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 104: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 105: Cho thỏa mãn Chứng minh

Bài 106: CMR với là các số dương, ta có:

Bài 107: Cho biểu thức Chứng minh rằng nếu là 3 cạnh của một tam giác thì

Bài 108: CMR với là các số dương, ta có:

Bài 109: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác

Chứng minh rằng

Bài 110: Chứng minh rằng , trong đó a, b, c là các số thực không nhỏ hơn 1.

Bài 111: Chứng minh với mọi số thực a, b, c.

Bài 112: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 113: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng

Bài 114: Cho a và b là hai số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng . Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 115: Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác. Chứng minh:

Bài 116: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức:

+ +

Bài 117: Cho x > y > 0. Chứng minh:

Bài 118: Chứng minh biểu thức: A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2 0 với mọi a, b, c.

Bài 119: Cho 3 số dương có tổng bằng Chứng minh rằng

Bài 120: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3.

Chứng minh rằng: .

Bài 121: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 122: Cho các số thực dương thỏa mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng:

Bài 123: Cho ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng

Bài 124: Cho Chứng minh rằng

Bài 125: Cho là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:

Bài 126: Cho là các số không âm và không lớn hơn 2 thỏa mãn

Chứng minh rằng

Bài 127: Chứng minh rằng: , trong đó là các số thực không nhỏ hơn 1

Bài 128: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 129: Chứng minh rằng:

Bài 130: Chứng minh với mọi số dương

Bài 131: Cho là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :

Bài 132: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 133: Cho Chứng minh rằng :

Bài 134: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 135: Cho là các số dương.

Chứng minh:

Bài 136: Chứng minh bất đẳng thức:

với

Bài 137: Cho . Chứng minh

Bài 138: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 139: Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

Bài 140: Cho thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 141: Chứng minh bất đẳng thức sau:

với mọi

Bài 142: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 143: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:

Bài 144: a) Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi.

CMR:

b)Cho là các số dương. Chứng minh rằng:

B. HƯỚNG DẪN

Bài 1 : Cho dương và Chứng minh rằng :

Lời giải

Đặt

Chứng minh:

hay

Bài 2 : Chứng minh rằng: với

Lời giải

Theo bài ra ta có:

Mặt khác :

Từ (1) và (2) suy ra:

Bài 3 : Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Lời giải

Đặt

Tương tự:

BĐT chứng minh tương đương với:

do

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài 4 : Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Lời giải

Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi và ta có:

Dấu xảy ra

Thật vậy, với và ta có:

(luôn đúng)

Dấu xảy ra

Áp dụng bất đẳng thức ta có:

Dấu xảy ra

Ta có:

Áp dụng BĐT (*) ta có :

(Vì

Hay

Mà nên

Vậy (đpcm)

Bài 5

  1. Chứng minh (với mọi
  2. Chứng minh:
  3. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức :

Lời giải

  1. (với mọi x)
  2. Từ kết quả câu a, nhân 2 vế của BĐT với số dương được:

(luôn đúng)

Suy ra:

Vậy

Bài 6 : a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

Lời giải

  1. Ta có:

Do

Nên

Dấu “=” xảy ra

Vậy

b)

Do . Đẳng thức xảy ra

Vậy

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Lời giải

Ta có :

Vậy

Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải

Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi

Bài 9 : Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

Lời giải

Từ

Dấu “=” xảy ra

Bài 10 : Tìm các giá trị của để biểu thức:

có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Lời giải

Ta thấy nên

Do dó

Bài 11 : Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Lời giải

Đặt

từ đó suy ra

Thay vào ta được

Từ đó suy ra hay

Bài 12 : Chứng minh rằng:

Lời giải

Bài 13 : Cho thỏa mãn Chứng minh

Lời giải

Ta có:

mà nên

Bài 14 :Cho hai số thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

Ta có:

Vậy

. Vậy

Bài 15 : Cho các số thỏa mãn

Chứng minh rằng:

Lời giải

Vì nên suy ra

Do đó :

Lại có:

Vì nên

Do đó từ

Từ (1) và (3) suy ra

Bài 16 : Cho ba số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

Lời giải

Từ

Dấu bằng xảy ra

Bài 17 : Cho tam giác có nửa chu vi với là độ dài ba cạnh

Chứng minh

Lời giải

Ta có :

Tương tự:

Cộng vế với vế các BĐT cùng chiều:

Bài 18 : Cho các số thực dương thỏa mãn

Chứng minh rằng:

Lời giải

Đặt

Áp dụng BĐT và với dương, dấu bằng xảy ra

Ta có:

Bởi vậy

Bài 19 : Cho là ba số dương thỏa mãn

Chứng minh rằng:

Lời giải

Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với mọi và ta có:

Dấu xảy ra

Thật vậy, với và ta có:

(luôn đúng)

Dấu xảy ra

Áp dụng bất đẳng thức ta có:

Dấu xảy ra

Ta có:

Áp dụng BĐT (*) ta có :

(Vì

Hay

Mà nên

Vậy (đpcm)

Bài 20 : Cho thỏa mãn Chứng minh rằng :

Lời giải

Bài toán phụ : Chứng minh rằng

Chứng minh

Áp dụng bài toán phụ (1) ta có:

(2)

Mà (vì

Với ta có: (vì

Từ (2) và (3) suy ra :

Bài 21 : Cho hai số thỏa mãn điều kiện Chứng minh :

Lời giải

Ta có:

(vì

(Vì

(2) đúng nên (1) đúng ta có đpcm.

Bài 22 : Chứng minh rằng với mọi

Lời giải

Đặt Khi đó ta có:

Bài 23 : Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có:

Ta cộng vế theo vế ta được:

Bài 24 : Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi.

CMR:

Lời giải

Ta có:

Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh

Bài 25 : Cho là các số dương. Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có:

Xét

đpcm

Dấu xảy ra khi

Bài 26 : Chứng minh rằng:

Lời giải

Vậy

Bài 27 : So sánh hai số sau: và

Lời giải

Vì nên

Bài 28 : Cho số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải

Ta có:

Đặt

Dấu xảy ra khi suy ra

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 6 khi

Bài 29 : Cho là ba cạnh của tam giác.

Chứng minh:

Lời giải

Vì là 3 cạnh của tam giác nên

Đặt

Ta có:

Mà nên suy ra điều phải chứng minh.

Bài 30 : Chứng minh rằng:

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức . Dấu bằng xảy ra khi

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:

Dấu xảy ra khi

Bài 31 : CMR với là các số dương, ta có:

Lời giải

Mà (BĐT Cô si)

Do đó: . Vậy

Bài 32 : Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:

Lời giải

BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng. Dấu xảy ra khi

Bài 33 : Cho các số thực Chứng minh rằng

Lời giải

Ta có:

Nên

Ta lại có:

Tương tự:

Suy ra:

Do vậy,

Dấu xảy ra khi và chỉ khi

Bài 34 :

  1. Cho và là hai số thực. Chứng minh rằng
  2. Cho là ba số dương thỏa mãn

Chứng minh rằng:

Lời giải

a) Với và ta có:

luôn đúng

b) Áp dụng bất đẳng thức ta có:

Ta có:

Áp dụng bất đẳng thức (2) ta có:

Hay

Mà nên

Do đó:

Bài 35. Cho là ba số thực dương. Chứng minh rằng:

Chứng minh

Lời giải

Ta có:

Đặt : Suy ra và ta có:

(Vì )

Vậy . Dấu xảy ra

Chứng minh :

Thật vậy, do vai trò của như nhau nên không mất tính tổng quát , ta có thể giả sử :

Xét hiệu :

Vì giá trị của các biểu thức trong ngoặc đều không âm

Vậy

Từ (1) và (2) suy ra đpcm . Dấu xảy ra khi

Bài 36. Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Lời giải

Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi và ta có:

Dấu xảy ra

Thật vậy, với và ta có:

(luôn đúng)

Dấu xảy ra

Áp dụng bất đẳng thức ta có:

Dấu xảy ra

Ta có:

Áp dụng BĐT (*) ta có :

(Vì

Hay

Mà nên

Vậy (đpcm)

Bài 37. Cho Chứng minh rằng:

Lời giải

Do và với mọi b nên:

Tương tự ta có:

Mà nên

Cũng từ

Mà nên

Suy ra

Từ suy ra

Đẳng thức xảy ra

Bài 38. Cho CMR:

Lời giải

Ta có:

Cộng lại ta có điều phải chứng minh

Bài 39. Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh:

Lời giải

Áp dụng hệ quả bất đẳng thức Bu-nhi-a Cốp-xki, ta có:

==≥

Ta chứng minh ≥ 3(ab + bc + ca)

a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ≥ 3ab + 3bc + 3ca

a2 + b2 + c2 - ab - bc – ca ≥ 0

[(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2] ≥ 0 (luôn đúng)

Vậy

Dấu “=” xảy ra .

Bài 40. Cho Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có:

Tương tự cũng có:

Cộng ta được:

Bài 41. Chứng minh rằng : với mọi

Lời giải

Ta có:

Vì với mọi

Do đó : với mọi (bài toán được chứng minh).

Bài 42. Cho và

Chứng minh rằng

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

Mặt khác:

Bài 43. Cho các số dương thỏa mãn điều kiện

Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có:

Lại có :

Nên ta có:

Dấu bằng xảy ra khi

Bài 44: a. Chứng minh (với mọi

b. Chứng minh:

Lời giải

  1. (với mọi x)
  2. Từ kết quả câu a, nhân 2 vế của BĐT với số dương được:

(luôn đúng)

Suy ra:

Bài 45: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:

Lời giải

  1. Ta có:

Suy ra BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng, dấu xảy ra

Bài 46: CMR với là các số dương, ta có:

Lời giải

Ta có:

Mà (BĐT Cô si). Do đó: . Vậy

Bài 47: Cho dương và Chứng minh rằng :

Lời giải

  1. C/m:

+)Từ giả thiết suy ra :

Biến đổi được kết quả:

Tam giác đó là đều (đpcm)

  1. Đặt

Chứng minh:

hay

Bài 48: Chứng minh rằng: với

Lời giải

Ta có:

Mặt khác :

Từ (1) và (2) suy ra:

Bài 49: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Lời giải

  1. Đặt

Tương tự:

BĐT chứng minh tương đương với:

do

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài 50: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Lời giải

Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi và ta có:

Dấu xảy ra

Thật vậy, với và ta có:

(luôn đúng)

Dấu xảy ra

Áp dụng bất đẳng thức ta có:

Dấu xảy ra

Ta có:

Áp dụng BĐT (*) ta có :

(Vì

Hay

Mà nên

Vậy (đpcm)

Bài 51: Cho biểu thức

  1. Phân tích biểu thức thành nhân tử
  2. Chứng minh rằng: Nếu là độ dài các cạnh của một tam giác thì
  3. Lời giải
  4. Ta có:

  1. Ta có: (BĐT tam giác)

(BĐT tam giác)

(BĐT tam giác)

(BĐT tam giác)

Vậy

Bài 52: Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có:

Dấu “=” xảy ra

Bài 53: Cho Chứng minh rằng :

Lời giải

Học sinh chứng minh với mọi

Dấu xảy ra

Bài 54: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Lời giải

Tổng hai cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba nên cả 4 thừa số đều dương, suy ra điều phải chứng minh.

Bài 55: Cho là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Lời giải

Đặt

Từ đó suy ra

Thay vào biểu thức A ta được:

Bài 56: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Lời giải

Trước tiên ta chứng minh BĐT: ta có:

. Dấu xảy ra

Thật vậy, với và ta có: (**)

Dấu xảy ra

Áp dụng BĐT (**) ta có:

Dấu xảy ra

Ta có:

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có:

Hay

Mà nên

Vậy

Bài 57: Cho 2 số và b thỏa mãn Chứng minh:

Lời giải

Do nên

Bài 58: Chứng minh rằng:

Lời giải

Xét hiệu:

(Dấu xảy ra

Vậy (dấu xảy ra

Bài 59: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Lời giải

Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi và ta có:

Dấu xảy ra

Thật vậy, với và ta có:

(luôn đúng)

Dấu xảy ra

Áp dụng bất đẳng thức ta có:

Dấu xảy ra

Ta có:

Áp dụng BĐT (*) ta có :

(Vì

Hay

Mà nên

Vậy (đpcm)

Bài 60: Cho các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Lời giải

Đặt

Áp dụng BĐT và với dương , dấu bằng xảy ra

Ta có:

Bởi vậy

Bài 61: Cho Chứng minh rằng :

Lời giải

Học sinh chứng minh với mọi

Dấu xảy ra

Bài 62: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Lời giải

Tổng hai cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba nên cả 4 thừa số đều dương, suy ra điều phải chứng minh.

Bài 63: Cho 2 số và b thỏa mãn Chứng minh:

Lời giải

Do nên

Bài 64: Cho là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Lời giải

Đặt

Từ đó suy ra

Thay vào biểu thức A ta được:

Bài 65: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Lời giải

Trước tiên ta chứng minh BĐT: ta có:

. Dấu xảy ra

Thật vậy, với và ta có: (**)

Dấu xảy ra

Áp dụng BĐT (**) ta có:

Dấu xảy ra

Ta có:

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có:

Hay

Mà nên

Vậy

Bài 66: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Lời giải

  • Nhận xét : có

Tương tự:

Do đó:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

Vậy . Dấu “=” xảy ra

Bài 67: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:

Lời giải

BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng. Dấu “=” xảy ra khi

Bài 68: Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

Lời giải

Từ

Dấu “=” xảy ra

Bài 69: Cho là các số dương. Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có:

Xét

đpcm

Dấu xảy ra khi

Bài 70: Chứng minh rằng:

Lời giải

Bài 71: Chứng minh rằng: với

Lời giải

Theo bài ra ta có:

Mặt khác :

Từ (1) và (2) suy ra:

Bài 72: Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có :

Ta cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được :

Bài 73: a) Cho và là hai số thực. Chứng minh rằng

b) Cho là ba số dương thỏa mãn

Chứng minh rằng:

Lời giải

a) Với và ta có:

luôn đúng

b) Áp dụng bất đẳng thức ta có:

Ta có:

Áp dụng bất đẳng thức (2) ta có:

Hay

Mà nên

Do đó:

Bài 74: Cho thỏa mãn Chứng minh

Lời giải

  1. Có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi

Áp dụng có:

Suy ra:

Với dương , chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi

Ta được:

. Dấu đẳng thức xảy ra

Bài 75: Cho Chứng minh rằng

Lời giải

Giả sử

Vậy

Bài 76: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Lời giải

Đặt Ta có:

Từ đó suy ra :

Thay vào ta được:

Từ đó suy ra . Dấu “= “ xảy ra

Bài 77: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Lời giải

Đặt

Từ đó suy ra

Thay vào ta được:

Từ đó suy ra hay

Bài 78: Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi.

CMR:

Lời giải

Ta có:

Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh

Bài 79: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Lời giải

Tổng hai cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba nên cả 4 thừa số đều dương, suy ra điều phải chứng minh.

Bài 80 : Cho biểu thức Chứng minh rằng nếu là 3 cạnh của một tam giác thì

Lời giải

Do là 3 cạnh của một tam giác nên

Bài 81: Cho bốn số dương . Chứng minh rằng:

Lời giải:

Cho bốn số dương . Chứng minh rằng:

Vì ta có: ;

;

Lấy (1), (2), (3) và (4) cộng vế theo vế, thu gọn ta được điều phải chứng minh.

( Chú ý : Dạng tương tự : Cho bốn số dương .

Chứng minh rằng: có giá trị không nguyên )

Bài 82: a) Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có bất đẳng thức sau:

. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

b) Chứng minh rằng với x, y bất kỳ, ta có:

Lời giải:

a) Ta có:

( đúng )

Dấu “=” .

b) Ta có:

(đúng)

Dấu “=” .

Bài 83: a) Cmr :

b) Cho các số dương và thỏa mãn điều kiện . Cmr :

Lời giải:

a) Xét hiệu : =...

Đặt . Khi đó, .

Vậy, .

Dấu « = » ( giải tiếp tìm )

b) Ta có:

( Vì các số dương và thỏa mãn điều kiện )

Vây, . Dấu « = »

Bài 84: Chứng minh rằng:

a)

b)

Lời giải:

a)

Áp dụng BĐT . Dấu “=” .

Ta có:

Tương tự, và

Lấy (1), (2) và (3) cộng vế theo vế ta được đpcm.

Dấu “=” .

b) Đặt

+ Nếu thì , do đó , còn nên

+ Nếu thì , do đó , còn nên

Vậy, với mọi .

Bài 85: Cmr: a)

b)

Lời giải:

a)

( Đúng )

Dấu “=”

b)

Dấu “=” hoặc

Bài 86: Chứng minh rằng:

a) với ;

b) ;

c)

Lời giải:

Chứng minh rằng:

a) với

với ( Đúng )

b) Xét

Đặt . Khi đó, ta có:

Vậy, (đpcm)

c)

( Đúng )

Bài 87: Chứng minh với mọi số thực a, b khác 0 ta luôn có bất đẳng thức sau:

Lời giải:

Ta có:

( Đúng )

Dấu “ =” .

Vậy, với . Dấu “ =” .

Bài 88: Chứng minh BĐT:

Lời giải:

Chứng minh BĐT:

Ta có:

( đúng )

Vậy, . Dấu “=” .

Bài 89: a) Chứng minh:

b) Chứng minh:

c) Chứng minh: với .

d) Chứng minh: với

e) Cho và cùng dấu. Chứng minh:

Lời giải:

a) Chứng minh:

Ta có:

( Đúng )

Vậy, . Dấu “=”.

b) Chứng minh:

* Cách 1: Dùng biến đổi tương đương.

Ta có:

( Đúng )

Vậy, . Dấu “=”.

* Cách 2: Dùng BĐT phụ: . Dấu “=”.

Ta có:

Vậy, . Dấu “=”.

c) Chứng minh: với .

Với ta có:

Do đó,

Vậy, với

d) Chứng minh: với

Với ta có:

Ta có:

Vậy, với .

e) Cho và cùng dấu. Chứng minh:

Ta có:

( Vì c/m được với a, b cùng dấu)

Dấu “=”

Vậy, với và cùng dấu. Dấu “=”

Bài 90: Cho ba số dương

a) Chứng minh rằng:;

b) Chứng minh rằng:

Lời giải:

Cho ba số dương

a) Chứng minh rằng: ( HS tự giải )

b) Chứng minh rằng:

* Cách 1: Ta có:

( Đúng) ( theo câu a)

Dấu “ =” .

KL: . Dấu “ =” .

* Cách 2: Đặt với .

Suy ra

Do đó,

Dấu “=” .

Bài 91: Cho , chứng minh: .

Lời giải:

Cho , chứng minh: .

Ta có:

Vì và nên .

Dấu “=”

Vậy, với . Dấu “=” .

Bài 92: Chứng minh các bất đẳng thức sau :

a) ; b) khi .

Lời giải:

a)

Áp dụng BĐT . Dấu “=”

Ta có:

Dấu “=”

b) khi .

Ta có :

Dấu “=”

Bài 93: Cho là ba cạnh của một tam giác

a) Chứng minh rằng:

b) Chứng minh rằng: thì tam giác đó là tam giác đều.

Lời giải:

Cho là ba cạnh của một tam giác

a) Chứng minh rằng:

+Ta có:

( Đúng )

Dấu “=” tam giác đó là tam giác đều.

+ Theo BĐT tam giác ta có:

Vậy, với là ba cạnh của một tam giác.

b) Chứng minh rằng: thì tam giác đó là tam giác đều.

Xét hiệu

Suy ra

Vậy, thì tam giác đó là tam giác đều.

Bài 94: Cho . Chứng minh rằng: .

Lời giải:

Cho . Chứng minh rằng: .

Xét hiệu:

( vì nên)

Do đó

Giả sử và , do đó (đpcm)

Tương tự, và , do đó (đpcm)

Dấu

Bài 95: a) Chứng minh: với

b) Chứng minh: với

Lời giải:

a) Chứng minh: với

Ta có: với .

Do đó, .

Vậy, với

b) Chứng minh: với

Ta có:

Do đó,

Vậy, với .

Bài 96: Cho ba số x, y, z.

a) Chứng minh ;

b) Khi . Chứng minh .

Lời giải:

Hay . Cho ba số x, y, z.

a) Chứng minh

Ta có

.

Các bước biến đổi tương đương mà bất dẳng thức cuối đúng nên bất đẳng thức đầu đúng.

b) Khi . Chứng minh .

Ta có

Kết hợp ta có :

Bài 97: Cho thỏa mãn Chứng minh

Lời giải:

Có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi

Áp dụng có:

Suy ra:

Với dương , chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi

Ta được:

. Dấu đẳng thức xảy ra

Bài 98: Với . Hãy chứng minh các BĐT:

a) ; b) ;

c) .

Lời giải

Với . Hãy chứng minh các BĐT:

a)

Với nên

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương và ta được

Dấu “=”

Vậy, với . Dấu “=” .

b)

Áp dụng kết quả câu a, ta có:

Dấu “=” .

Vậy, . Dấu “=” .

c) .

Ta có

Áp dụng kết quả câu a, ta có:

Dấu “=” .

Vậy, . Dấu “=” .

Bài 99:

a) Cho . Chứng minh rằng: .

b) Cho a, b là các số tùy ý. Chứng minh:

c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Chứng minh:

Lời giải

a) Cho . Chứng minh rằng: .

Ta có mà

Do đó .

Vậy, nếu thì .

b) Cho a, b là các số tùy ý. Chứng minh:

Đặt

Đặt , ta có:

Vậy, . Dấu “=” .

c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Chứng minh: .

Đặt thì và

C/m BĐT phụ: với .

Thật vậy, ta có

Suy ra

( cả hai vế đều không âm)

Do đó, với . Dấu “=”

Áp dụng BĐT trên, ta có

Vậy, . Dấu “=” tam giác đã cho đều.

Bài 100:

Cho thỏa mãn Chứng minh

Lời giải

Có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi

Áp dụng có:

Suy ra:

Với dương , chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi

Ta được:

. Dấu đẳng thức xảy ra

Bài 101:

Cho các số thỏa mãn Chứng minh rằng:

Lời giải

Vì nên suy ra

Do đó :

Lại có:

Vì nên

Do đó từ

Từ (1) và (3) suy ra

Bài 102:

Cho Chứng minh rằng

Lời giải

Giả sử

Vậy

Bài 103:

Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Lời giải

Đặt Ta có:

Từ đó suy ra :

Thay vào ta được:

Từ đó suy ra . Dấu “= “ xảy ra

Bài 104:

Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Lời giải

  • Nhận xét : có

Tương tự:

Do đó:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

Vậy . Dấu “=” xảy ra

Bài 105: Cho thỏa mãn Chứng minh

Lời giải

Ta có:

mà nên

Bài 106: CMR với là các số dương, ta có:

Lời giải

Mà (BĐT Cô si)

Do đó: . Vậy

Bài 107: Cho biểu thức Chứng minh rằng nếu là 3 cạnh của một tam giác thì

Lời giải

Do là 3 cạnh của một tam giác nên

Bài 108: CMR với là các số dương, ta có:

Lời giải

Ta có:

Mà (BĐT Cô si)

Do đó: . Vậy

Bài 109: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác

Chứng minh rằng

Lời giải

Đặt

Từ đó suy ra

Thay vào ta được

Từ đó suy ra hay

Bài 110: Chứng minh rằng , trong đó a, b, c là các số thực không nhỏ hơn 1.

Lời giải

(đúng với mọi )

Bài 111: Chứng minh với mọi số thực a, b, c.

Lời giải

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có:

;

Do đó, suy ra:

Bài 112: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: .

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Lời giải

Áp dụng bđt côsi ta có:

. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Bài 113: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng

Lời giải

Bài 114: Cho a và b là hai số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng .

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Lời giải

(*)

Mà = (Theo BĐT Cauchy) nên BĐT (*) đúng do đó bđt được CM.

Đẳng thức xảy ra khi .

Bài 115: Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác. Chứng minh:

Lời giải

Ta có: ( x, y >0)

Áp dụng kết quả này ta được:

Tương tự ta có:

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên, thu gọn ta được:

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c hay tam giác đã cho là đều.

Bài 116: Cho a, b, c là các số dương . Chứng minh bất đẳng thức:

+ +

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số , không âm ta có :

+ 2 = 2 . = a

Suy ra a -

Tương tự b -

c -

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:

+ + ( a + b + c ) - =

Vậy + + (đpcm)

Bài 117: Cho x > y > 0. Chứng minh:

Lời giải

Với x > 0; y > 0. Ta có x + y 0

Áp dụng tính chất cơ bản của phân thức ta có:

(1)

Mặt khác : x > 0 ; y > 0 nên x2 + 2xy + y2 > x2 + y2

(2)

Từ (1) và (2) ta có: (đpcm).

Bài 118: Chứng minh biểu thức: A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2 0 với mọi a, b, c.

Lời giải

A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2

= 4 (a + b) (a + c) a (a + b + c) + b2c2

= 4(a2 + ab + ac + bc)(a2 + ab + ac) + b2c2

Đặt a2 + ab + ac = m, ta có:

A = 4(m + bc)m + b2c2 = 4m2 + 4mbc + b2c2 =( 2m + bc)2

= (2 a2 + 2 ab + 2ac + bc)2 0 với mọi a,b,c (đpcm)

Bài 119: Cho 3 số dương có tổng bằng Chứng minh rằng

Lời giải

Từ

Dấu xảy ra

Bài 120: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3.

Chứng minh rằng: .

Lời giải

Do a, b > 0 và 1 + b2 ≥ 2b với mọi b nên .

Tương tự ta có : ;

mà a + b + c = 3 nên (1)

Cũng từ a + b + c = 3 ⇒ (a + b + c)2 = 9

⇔ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 9

mà a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ac nên a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca suy ra 3(ab + bc + ca) ≤ 9 ⇔ ab + bc + ca ≤ 3 (2).

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Bài 121: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Lời giải

Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với mọi ta có:

Dấu “=”xảy ra

Thật vậy, với và ta có:

( luôn đúng)

Dấu “=” xảy ra

Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có:

Dấu “=” xảy ra

Ta có:

Áp dụng BĐT (*) ta có :

(Vì abc = 1)

Hay

Mà nên :

Vậy

Bài 122: Cho các số thực dương thỏa mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng:

Lời giải

Đặt

Áp dụng BĐT :

và với a,b,c dương; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Ta có:

Bởi vậy

(đpcm)

Bài 123: Cho ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng

Lời giải

Ta có: (1)

(vì )

(vì x, y dương nên x + y dương) (2)

Từ (1) và (2), ta có:

(đpcm)

Bài 124: Cho . Chứng minh rằng

Lời giải

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM với ta có

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz

Ta có:

Suy ra :

Tương tự:

Cộng vế với vế các BĐT trên ta có:

Bài 125: Cho là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:

Lời giải

Ký hiệu vế trái là vế phải là xét hiệu

Do bình đẳng nên giả sử khi đó ,

Mà nên đpcm

Bài 126: Cho là các số không âm và không lớn hơn 2 thỏa mãn

Chứng minh rằng

Lời giải

Từ giả thiết ta có:

Cộng hai vế với sau đó thu gọn ta được:

Mà nên

Dấu bằng xảy ra khi trong ba số có một số bằng một số bằng một số bằng 1.

Bài 127: Chứng minh rằng: , trong đó là các số thực không nhỏ hơn 1

Lời giải

(đúng với mọi

Bài 128: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Lời giải

Đặt

từ đó suy ra

Thay vào ta được:

Từ đó suy ra hay

Bài 129: Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có:

Bài 130: Chứng minh với mọi số dương

Lời giải

Với mọi số dương ta có:

BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh.

Bài 131: Cho là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :

Lời giải

Đặt

Từ đó suy ra

Thay vào ta được:

Từ đó suy ra hay

Bài 132: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Lời giải

Nhận xét có:

Tương tự có:

Do đó

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

Vậy

Đẳng thức xảy ra khi

Bài 133: Cho Chứng minh rằng :

Lời giải

Học sinh chứng minh với mọi

Dấu xảy ra

Bài 134: Biết là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Lời giải

Tổng hai cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba nên cả 4 thừa số đều dương, suy ra điều phải chứng minh.

Bài 135: Cho là các số dương.

Chứng minh:

Lời giải

Áp dụng BĐT Cô si cho ba số dương ta được:

Cũng theo BĐT Cô si :

Nhân tương ứng hai vế các BĐT (1) và (2) được:

Hay

Từ và suy ra

Dấu xảy ra khi và chỉ khi

Bài 136: Chứng minh bất đẳng thức:

với

Lời giải

Gọi vế trái là ta có:

Vậy

Bài 137: Cho . Chứng minh

Lời giải

Từ thay vào đẳng thức cần chứng minh ta có:

BĐT này luôn đúng . Vậy

Dấu xảy ra

Bài 138: Cho là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Lời giải

Đặt

Từ đó suy ra

Thay vào ta được:

Từ đó suy ra hay

Bài 139: Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

Lời giải

Từ

Dấu “=” xảy ra

Bài 140: Cho thỏa mãn Chứng minh rằng:

Lời giải

Vì ĐT (2) luôn đúng nên BĐT (1) đúng.

Dấu xảy ra

Bài 141: Chứng minh bất đẳng thức sau:

với mọi

Lời giải

Có với mọi

Bài 142: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Lời giải

Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi và ta có:

Dấu xảy ra

Thật vậy, với và ta có:

(luôn đúng)

Dấu xảy ra

Áp dụng bất đẳng thức ta có:

Dấu xảy ra

Ta có:

Áp dụng BĐT (*) ta có :

(Vì

Hay

Mà nên

Vậy (đpcm)

Bài 143: Cho là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:

Lời giải

BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng. Dấu “=” xảy ra khi

Bài 144: a) Cho là 3 cạnh của tam giác, là nửa chu vi.

CMR:

  1. Cho là các số dương. Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có:

Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh

b)Ta có:

Xét

đpcm

Dấu xảy ra khi