Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
A.Bài toán
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
Tìm các số nguyên thỏa mãn:
Tìm các số nguyên thỏa mãn:
Tìm các giá trị nguyên dương sao cho :
Bài 15: Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn:
b) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn sao cho tích đạt giá trị lớn nhất.
Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình:
Tìm nguyên dương thỏa mãn:
a) Tìm các số nguyên thỏa mãn:
b) Tìm các số nguyên thỏa mãn: với nguyên dương.
.
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn
x3 + 2x2 + 3x + 2 = y3
Tìm giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên
B. HƯỚNG DẪN
Lời giải
Ta có:
Đặt : và Suy ra và là các ước của có tích bằng Nhận thấy là số nguyên tố, từ đó ta có các trường hợp như bảng sau:
10 |
Vậy các cặp số nguyên cần tìm là
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
Lời giải
(vì không là nghiệm của )
Vì nguyên nên là ước của 3 hay
2 | 6 | 4 | 8 | |
0 | 8 | 0 | 8 |
Vậy nghiệm của phương trình
Lời giải
Ta có:
Từ và ta có: mà nguyên suy ra
Thay vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được
Vậy
Lời giải
Ta có:
Ta thấy nên do nguyên nên
Với thay vào ta được: tìm được
Với thay vào ta có: , không tìm được nguyên
Với thay vào ta có không tìm được nguyên
Vậy
Lời giải
Ta có:
Do là số chẵn và nên Do đó và là hai số nguyên dương chẵn
Từ đó suy ra chỉ có một trường hợp : và
và Vậy
Lời giải
3x – y3 = 1 ⇔ 3x = y3 + 1 (1)
- Dễ thấy x = y = 0 là một nghiệm của (1).
- Nếu x < 0 thì 3x = ( n nguyên dương, n = - x)
suy ra 0 < 3x < 1. Mà y3 + 1 là số nguyên, suy ra (1) không có nghiệm nguyên.
- Nếu x > 0 thì 3x 3
(1) ⇔ 3x = (y + 1)3 – 3y(y + 1) ⇒ (y + 1)3 3 nên y + 1 3
Đặt y + 1 = 3k ( k nguyên), suy ra y = 3k – 1. Thay vào (1) ta được: 3x = (3k – 1)3 + 1 = 9k(3k2 – 3k + 1) nên 3k2 – 3k + 1 là ước của 3x mà 3k2 – 3k + 1 3 và 3k2 – 3k + 1=
nên 3k2 – 3k + 1 = 1 ⇔ 3k(3k – 1) = 0 ⇔ k = 0 hoặc k = 1.
Với k = 0 thì y = - 1 suy ra 3x = 0 phương trình vô nghiệm.
Với k = 1 thì y = 2 suy ra 3x = 9 nên x = 2.
Lời giải
a) x2 + y2 + 5x2y2 + 60 = 37xy.
x2 + y2 – 2xy = 35xy - 5x2y2 - 60
(x – y)2 = 5(3 – xy)(xy – 4) (1)
Vì (x – y)2 ≥ 0 nên 5(3 – xy)(xy – 4) ≥ 0 3 ≤ xy ≤ 4 xy {3;4}
Đẳng thức (1) xảy ra .
Vậy (x,y) {(2;2);(-2;-2)}
Lời giải
Vì nên , do đó
Lời giải: Thêm vào hai vế của phương trình ta có:
Ta thấy là hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương nên tồn tại một số bằng 0
TH1:
TH2: ta cónên
Thử lại ba cặp số đều là nghiệm của phương trình đã cho.
Lời giải
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là . Ta có:
Vậy ba số tự nhiên liên tiếp cần tìm là
Lời giải
Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng
Lập luận để có và là các ước dương của 12. Từ đó ta có các trường hợp:
6 | 4 | ||
1 | 2 | 3 | |
4 | |||
Mà nguyên dương nên
Lời giải
Vì nguyên dương nên và
Phương trình có nghiệm dương duy nhất
Lời giải:
ĐKXĐ:
Ta có:
Để A có giá trị nguyên khi x nguyên thì
Lập bảng:
2x +1 | -4 | -2 | -1 | 1 | 2 | 4 |
2x | -5 | -3 | -2 | 0 | 1 | 3 |
x | -1 | 0 |
Vậy, .
Giải:
+) Với dương, ta có:
(theo bất đẳng thức
Mặt khác:
Suy ra và đẳng thức xảy ra
+)Áp dụng với ta có:
Đẳng thức xảy ra
Giải:
Có các giá trị
Tìm các giá trị nguyên dương sao cho
Giải:
Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng
Lập luận để có và là các ước dương của 12 từ đó có các trường hợp
12 | |||
1 | |||
Mà nguyên dương nên
Lời giải
7 | -1 | 5 | 1 | 11 | -5 | 4 | 2 | 19 | -13 | |
1 | -7 | 5 | -11 | -1 | 5 | 13 | -19 | -2 | -4 |
Vậy các cặp số nguyên phải tìm là:
Lời giải
V T (*) là số chính phương, VP (*) là tích hai số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0
Với
Với
Lời giải
Điều kiện
Vì với mọi mọi y
Do đó mà
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Lời giải
Giả sử :
Khử ta có:
Vì nguyên ta có:
b) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn sao cho tích đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải
VT (*) là số chính phương, VP (*) là tích hai số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0
Với
Với
Điều kiện
Vì với mọi mọi y
Do đó mà
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Lời giải
vả
Do
Lời giải
Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình:
Lời giải
Ta có:
Vì nên
(2) viết thành:
Vậy
Lời giải
Ta có:
Vì nguyên dương nên
và
Phương trình có nghiệm dương duy nhất
Lời giải
Ta có:
Từ và ta có: mà nguyên suy ra
Thay vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được
Vậy
Lời giải
Gọi các cạnh của tam giác vuông là trong đó cạnh huyền là
là các số nguyên dương). Ta có
và
Từ (2) suy ra thay (1) vào ta có:
thay vào (1) ta được:
Từ đó tìm được các giá trị của là:
Lời giải Ta có:
Từ (1) và (2) ta có : mà nguyên suy ra
Thay vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được
Từ đó tìm được hai cặp số thỏa mãn Câu toán là:
Lời giải
Ta có:
Lại có:
Suy ra Mà
Lần lượt thử ta được là nghiệm của PT
Lời giải
Ta có:
Vì nguyên nên nên ta có:
Vì nguyên nên ta có nguyên
Xét các trường hợp ta tìm được thỏa mãn và kết luận
Lời giải
+Xét ta có:
+Xét và ta có VT(*) là số chẵn còn vế phải (*) là số lẻ, Vô lý
Vậy
Vì và nên
Lời giải
Lời giải
Ta có:
Vì nguyên nên nên ta có:
Vì nguyên nên ta có nguyên
Xét các trường hợp ta tìm được
Lời giải
Vì:
Mà
Mặt khác với mọi x
Với , ta có:
Vì y Z nên y3 = 1 y = 1
Vậy phương trình có một nghiệm nguyên
Lời giải
Do nên
thỏa mãn nguyên
Vậy
Lời giải
Ta thấy là nghiệm của phương trình đã cho.
Với ta xét:
Nếu thì
Với dễ thấy không phải là nghiệm của phương trình
Với ta đặt thì nên . Ta có:
Phương trình này vô nghiệm vì
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Lời giải: Gọi các cạnh của tam giác vuông là trong đó cạnh huyền là (là các số nguyên dương)
Ta có: và
Từ (2) suy ra thay (1) vào ta có:
Suy ra thay vào ta được:
Từ đó ta tìm được các giá trị của là:
Lời giải
+) Với dương, ta có:
(theo bất đẳng thức
Mặt khác:
Suy ra và đẳng thức xảy ra
+)Áp dụng với ta có:
Đẳng thức xảy ra
Lời giải Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng
Lập luận để có và là các ước dương của 12 từ đó có các trường hợp
12 | |||
1 | |||
Mà nguyên dương nên
Lời giải
Có các giá trị
Lời giải
Lời giải
Gọi các cạnh của tam giác vuông là trong đó cạnh huyền là
là các số nguyên dương). Ta có
và
Từ (2) suy ra thay (1) vào ta có:
thay vào (1) ta được:
Từ đó tìm được các giá trị của là:
Lời giải
Từ suy ra
Vậy phương trình đã cho có các cặp nghiệm nguyên là
Lời giải
Ta có:
Lại có:
Suy ra Mà
Lần lượt thử ta được là nghiệm của phương trình
b) Tìm các số nguyên thỏa mãn: với nguyên dương.
Lời giải
a) Ta có:
Từ và ta có: mà nguyên suy ra
Thay vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được
Vậy
Vì nguyên dương nên
Vậy
Lời giải
Xét
Với thì khi
Mà Ưnên thì
Lời giải
Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y , z ; trong đó cạnh huyền là z
(x, y, z là các số nguyên dương)
Ta có : và
Từ (2) suy ra thay (1) vào ta có :
thay (1) vào ta có:
, thay vào (1) ta được:
Từ đó ta tìm được các giá trị của x, y, z là :
Lời giải
Đặt x2- 4x = t. ĐK t - 4
Khi đó ta có được phương trình: t2 + 2t - 35 = 0 (t + 7)(t – 5) = 0
t = -7 (loại) hoặc t = 5
Với t = 5, khi đó x2 - 4x - 5 = 0 (x +1)(x – 5) = 0 x = 5 hoặc x = -1
Vậy tập nghiệm phương trình là S = {-1; 5}
.
Lời giải
Đặt ta được
Vì x, y là những số nguyên nên và cũng là những số nguyên. Do đó ta có hai trường hợp sau:
* TH1: và . Suy ra và .
Với thì hoặc .
* TH2: và . Suy ra và .
Với thì hoặc .
Vậy PT đã cho có 4 nghiệm nguyên là
Lời giải
Ta có (1)
(2)
Từ (1) và (2) ta có x < y < x + 2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1
Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được x = 1;
Từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là:
(-1 ; 0) và (1; 2)
KL nghiệm
Lời giải
Ta có:
Vì và 64 chỉ được phân tích thành nên ta có:
hoặc hoặc
Vậy pt đã cho có 4 nghiệm nguyên:
Lời giải
Ta có: (*)
VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0
*) Với
*) Với
Vậy có 2 cặp số nguyên hoặc .
Lời giải
Ta có: = 2
> 0
Từ (1) và (2) ta có :
Thay y = x + 1 vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được x = 1 hoặc -1.
Từ đó tìm được hai cặp số (x;y) thỏa mãn bài toán là (-1;0); (1;2)
Lời giải
Ta có:
Lại có:
Suy ra
Lần lượt thử ta được là nghiệm của phương trình.
Lời giảiGọi các cạnh của tam giác vuông là trong đó cạnh huyền là z.
là các số nguyên dương).
Ta có:
Từ (2) suy ra , thay (1) vào ta có:
Suy ra thay vào (1) ta được:
Từ đó tìm được các giá trị của là:
Lời giải
Từ và ta có: mà nguyên suy ra
Thay vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được
Vậy
Lời giải
Để B nhận giá trị nguyên thì
Lời giải
Ta nhận thấy với mọi
Nên
Theo câu a):
Suy ra :
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên
Ta có:
Ta thấy: nên do nguyên nên
Với thay vào ta được tìm được
Với thay vào ta có : không tìm được x nguyên
Với thay vào ta có: không tìm được nguyên.
Vậy nguyên tìm được
Xét 4 trường hợp
VT của (*) là số chính phương ; VP của (*) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên phải có một số bằng 0
Vậy có 2 cặp số nguyên
(vì không là nghiệm của phương trình (2))
Vì nguyên nên là ước của 3
Hay hay
Khi Khi
Khi Khi
Vậy phương trình có nghiệm nguyên là
Từ và ta có: mà nguyên suy ra
Thay vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được
Vậy
7 | -1 | 5 | 1 | 11 | -5 | 4 | 2 | 19 | -13 | |
1 | -7 | 5 | -11 | -1 | -5 | 13 | -19 | -2 | -4 |
Vậy các cặp số nguyên phải tìm là:
Lời giải
Ta có:
Từ và ta có: mà nguyên suy ra
Thay vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được
Vậy
Lời giải
Ta có:
Vì nguyên nên nên ta có:
Vì nguyên nên ta có nguyên
Xét các trường hợp ta tìm được thỏa mãn và kết luận.
Lời giải
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới