Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
DẠNG 3: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
A.Bài toán
b)Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng nếu cộng ba tích, mỗi tích của hai trong ba số đó thì được 26.
c) Tìm bốn số nguyên dương liên tiếp, biết rằng tích của chúng bằng 120
Chứng minh là số chính phương.
là số chính phương
Chứng minh rằng là bình phương của một số tự nhiên
Chứng minh là số chính phương.
là số chính phương.
Chứng minh rằng: và là các số chính phương.
Chứng minh rằng là bình phương của một số tự nhiên
B. HƯỚNG DẪN
Lời giải:
Vì là số chính phương và d là một số nguyên tố có 1 chữ số nên .
Đặt . Khi đó có chữ số tận cùng là 5 (1)
Mặt khác, suy ra ( 2)
Từ (1) và (2) suy ra
Suy ra
Ta lại có: .
Do đó, chọn .
Lời giải:
Ta có :
Vậy, là một số chính phương
Lời giải:
Đặt
Ta có:
Mà nên và nên suy ra và
Do đó, . Vậy, .
Lời giải:
và
Nhưng 59 là số nguyên tố, nên:
Từ
Thay vào ta được
Vậy với thì và là hai số chính phương
b)Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng nếu cộng ba tích, mỗi tích của hai trong ba số đó thì được 26.
c) Tìm bốn số nguyên dương liên tiếp, biết rằng tích của chúng bằng 120
Lời giải:
a) Số cần tìm có dạng , với
Theo đề bài ta có:
Hệ thức (1) chứng tỏ phải là một số lập phương và phải là một số chính phương.
Do hoặc
+Nếu ( chính phương )
+Nếu ( không chính phương nên loại )
Vậy, số cần tìm là .
b) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là ( ĐK : )
Ta có : ( Vì ) Vậy, ba số tự nhiên liên tiếp phải tìm là 2, 3, 4.
c) Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp là
( ĐK : )
Ta có :
Vì nên ( Vì )
Vậy, bốn số nguyên dương liên tiếp phải tìm là 2, 3, 4, 5
Chứng minh là số chính phương.
Lời giải:
Vậy là số chính phương
Lời giải:
Ta có:
là một số chính phương.
là số chính phương
Lời giải:
Ta có:
Đặt thì
Vì nên
Vậy A là số chính phương
Lời giải
Gọi hai số lần lượt là và
Theo đề bài ra ta có:
=là một số chính phương lẻ vì là số chẵn
là số lẻ
Lời giải
Mà (tích 5 số tự nhiên liên tiếp)
Và . Vậy chia 5 dư 2
Do đó có tận cùng là 2 hoặc 7 nên D không phải là số chính phương.
Vậy không có giá trị nào của để D là số chính phương
Lời giải
Gọi là số phải tìm ,
Ta có:
Do đó:
hoặc
Kết luận đúng:
Lời giải
Gọi hai số chính phương liên tiếp đó là k2 và (k+1)2.
Ta có: k2 + (k+1)2 + k2.(k+1)2 = k4 +2k3+ 3k2 + 2k +1 = (k2 + k +1)2 = [k(k + 1) +1]2 là số chính phương. (1)
Vì k(k + 1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên k(k + 1) chẵn k(k + 1) +1 lẻ [k(k + 1) +1]2 lẻ (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
Lời giải
Giả sử
Ta có:
Thay
Thử trực tiếp thỏa mãn
Vậy số nguyên n cần tìm là
Chứng minh: số có dạng với và không phải là số chính phương.
Lời giải
) Chứng minh: số có dạng với và không phải là số chính phương.
Ta có
Với và thì và
Suy ra với và do đó không phải là số chính phương.
Vậy, số có dạng với và không phải là số chính phương
Tìm các số nguyên để là số chính phương?
Lời giải
Ta có là số chính phương thì cũng là số chính phương.
Đặt
Khi đó,
Vì nên ta có 4 trường hợp:
Giải ra ta lần lượt được:
Vậy, khi hoặc hoặc hoặc thì là số chính phương.
Tìm số tự nhiên để và là hai số chính phương
Lời giải
Để và là hai số chính phương
và
Nhưng 59 là số nguyên tố, nên:
Từ
Thay vào ta được
Vậy với thì và là hai số chính phương
Cho Chứng minh rằng là một số chính phương
Lời giải
Ta có:
là một số chính phương.
Lời giải
Các ước dương của là
Tổng các ước là
Ta có:
Do đó :
Vậy
Lời giải
Giả sử
Suy ra
Mặt khác và nên có các trường hợp sau:
Vậy các số cần tìm là
Chứng minh rằng là bình phương của một số tự nhiên
Lời giải
Ta có:
Mặt khác:
Mà nên nên suy ra đpcm.
Lời giải
Giả sử là số chính phương, suy ra tồn tại số sao cho :
Do nên dễ thấy và là các số nguyên
Ngoài ra và
Suy ra
Căn cứ các lập luận trên và là số nguyên tố nên từ (*) suy ra
Với thì là số chính phương
Vậy là số tự nhiên cần tìm
Lời giải
Giả sử
Suy ra
Mặt khác và nên có các trường hợp sau:
Vậy các số cần tìm là
Lời giải
Đặt với
Khi đó là tổng của hai số chính phương.
Chứng minh là số chính phương.
Lời giải
Vậy là số chính phương
Cho Chứng minh rằng là một số chính phương.
Lời giải
Ta có:
là một số chính phương.
là số chính phương.
Lời giải
Ta có:
Đặt thì
Vì nên
Vậy A là số chính phương
Lời giải
Ta có:
là một số chính phương.
Lời giải
Vì nên
Tương tự:
Do đó:
Lời giải
Ta có:
Vơi x là số nguyên thì P là một số CP.
Lời giải
b) Giả sử
Suy ra
Mặt khác và nên có các trường hợp sau xảy ra:
TH1:
TH2:
TH3:
Vậy các số cần tìm là: 1002; 138; 2
Cũng có : Suy ra
Gọi . Chứng minh được
là số chính phương là số chính phương (đpcm)
Lời giải
Các ước dương của là
Tổng các ước là
Ta có:
Do đó :
Vậy
Lời giải
Giả sử
Suy ra
Mặt khác 2009= 2009.1=287.7 = 49.41 và nên có các trường hợp sau:
Vậy các số cần tìm là 1002; 138; 2.
Chứng minh rằng là bình phương của một số tự nhiên
Lời giải
Ta có:
Mặt khác:
Mà nên suy ra đpcm.
Lời giải
Gọi hại số lần lượt là và
Theo bài ra ta có:
là một số chính phương lẻ vì là số chẵn nên là số lẻ
Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị thì ta vẫn được một số chính phương.
Lời giải
Gọi là số phải tìm
Ta có:
Do đó:
Vậy số cần tìm là
Lời giải
Giả sử là số chính phương, suy ra tồn tại số sao cho :
Do nên dễ thấy và là các số nguyên
Ngoài ra và
Suy ra
Căn cứ các lập luận trên và là số nguyên tố nên từ (*) suy ra
Với thì là số chính phương
Vậy là số tự nhiên cần tìm.
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới