Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
DẠNG 2: SỐ NGUYÊN TỐ
Tìm các số nguyên tố p sao cho 7p + 1 bằng lập phương một số tự nhiên
Số tự nhiên là số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích
Lời giải
Ta có:
Do nên và . Vậy là hợp số
Lời giải
Để A là nguyên tố thì . Khi đó
Lời giải
Do là số nguyên tố lớn hơn nên có dạng
với
+ Nếu
thì
Suy ra
là hợp số (vô lý)
+Nếu thì
Do nên Do đó là hợp số.
Lời giải
nên có thể viết
là hợp số
Lời giải
Ta có:
Mà
Ta thấy do đó nếu là các số nguyên tố thì xảy ra các trường hợp sau:
Lời giải
Vì là số tự nhiên nên Như vậy muốn là số nguyên tố thì ta phải có
Khi đó là số nguyên tố .
Lời giải
Ta có:
Vì
Có: và
Lời giải
Để và là hai số chính phương
và
Nhưng 59 là số nguyên tố, nên:
Từ
Thay vào ta được
Vậy với thì và là hai số chính phương
Lời giải
Vì nên giá trị nhỏ nhất của thừa số thứ nhất là 1 khi
Giá trị nhỏ nhất của thừa số thứ hai là nếu
Còn các trường hợp khác là tích
Vậy ngoài khi đó thì có thể phân tích thành tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên không thể là số nguyên tố.
Lời giải
Do p là số nguyên tố và p > 3 nên p không chia hết cho 3. (*)
pn có 20 chữ số. Các chữ số chỉ có thể là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gồm 10 chữ số đôi một khác nhau.
Nếu không có quá nhiều hơn 2 chữ số giống nhau thì mỗi chữ số phải có mặt đúng 2 lần trong cách viết số pn. Như vậy tổng các chữ số của số pn là: 2(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 903 nên pn ..3
Điều này mâu thuẫn (*).
Vậy trong số pn phải có ít nhất 3 chữ số giống nhau.
Lời giải:
+ Với ta có là số nguyên tố.
+ Với ta có
Mặt khác, ta có
* Chú ý :
Mà
Suy ra
Tương tự,
Khi đó,
Suy ra với thì là hợp số.
Vậy, thì là số nguyên tố.
Chứng minh: và là hai số nguyên tố cùng nhau
Lời giải
Chứng minh: và là hai số nguyên tố cùng nhau.
Gọi ,
Khi đó,
Vậy, và là hai số nguyên tố cùng nhau.
Lời giải
Tìm các số nguyên tố p sao cho 7p + 1 bằng lập phương một số tự nhiên.
Giả sử , mà
Khi đó (*)
Vì 7, p là các số nguyên tố,
nên từ (*) suy ra hoặc .
, đúng.
.
Giải ra ta được m = 2 hoặc m = -3 đều không thỏa mãn điều kiện .
Vậy chỉ có số nguyên tố p = 73 là số cần tìm.
Cho Tìm tất cả các số tự nhiên để là số nguyên tố.
Lời giải
Vì là số tự nhiên nên Như vậy muốn là số nguyên tố thì ta phải có
Khi đó là số nguyên tố
Lời giải
nên có thể viết
là hợp số
để là số nguyên tố
Lời giải
Đặt:
Với thì là số nguyên tố
Với ta có:
Ta lại có:
. Suy ra mà nên A là hợp số.
Vậy là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn điều kiện
Lời giải
Biến đổi được
Nếu không thỏa mãn đề Câu
Nếu thỏa mãn đề Câu vì
Nếu không thỏa mãn đề Câu vì khi đó có từ 3 ước trở lên là và
Vậy thì là số nguyên tố.
Lời giải
Ta có:
Vì
Có: và
Vậy là số nguyên tố thì
Lời giải
Ta có:
Vì là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một trong ba số đó chia hết cho 3.
Do đó
Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên kết hợp với suy ra
Lời giải
Các ước dương của là
Tổng các ước là
Ta có:
Do đó :
Vậy
Lời giải
Ta có:
Xét trường hợp :
Khi đó ta có (do nguyên tố) . Từ đó suy ra
Xét trường hợp
Khi đó ta có: (do y nguyên tố) suy ra
Với thì
Nên để B là số nguyên tố thì trước hết
Hay
Thử lại , với thì
37 là số nguyên tố nên là giá tị cần tìm
A = x(x + 1) – 12 = x2 + x – 12= x2 – 3x + 4x – 12
= (x2 – 3x) + (4x – 12) = x(x - 3) + 4(x - 3)
= (x - 3)(x + 4)
Thay (1) vào biểu thức A, ta có
A = (a2 + a - 2)(a2 + a + 5)
= (a2 + 2a – a - 2)(a2 + a + 5)
= (a - )( a + 2)(a2 + a + 5)
Ta thấy
Vậy A là hợp số
Lời giải
Đặt:
Với thì là số nguyên tố
Với ta có:
Ta lại có:
Suy ra nên A là hợp số
Vậy n =1 là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn điều kiện.
Lời giải
Vì n là số tự nhiên nên . Như vậy muốn là số nguyên tố thì phải có hay
Khi đó là số nguyên tố.
Lời giải
Biến đổi được
Nếu không thỏa mãn đề bài
Nếu thỏa mãn đề bài vì
Nếu không thỏa mãn đề bài vì khi đó có từ 3 ước trở lên là và
Vậy thì là số nguyên tố.
Lời giải
1) Biến đổi được
Nếu không thỏa mãn đề bài
Nếu thỏa mãn đề bài vì
Nếu không thỏa mãn đề bài vì khi đó có từ 3 ước trở lên là và
Vậy thì là số nguyên tố.
Lời giải
Ta có:
Vì
Có: và
Vậy là số nguyên tố thì
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới