Dạng toán chia hết ôn thi hsg đại số 8 có lời giải chi tiết
Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
A.Bài toán
Chứng minh rằng: với
Chứng minh rằng: chia hết cho
a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9
b) Tìm các số nguyên n để chia hết cho
Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9
Chứng minh chia hết cho với mọi
Chứng minh rằng:
chia hết cho
Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì
Chứng minh rằng
a) chia hết cho 17
b) chia hết cho 44
Chứng minh rằng
Cho là hai số tự nhiên. Biết rằng chia cho 5 dư 3 và chia cho 5 dư 2. Hỏi tích chia cho 5 dư bao nhiêu ?
Cho các số nguyên . Đặt và . Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6.
a) Chứng minh rằng: chia hết cho 45
b) Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n ta có: .
Chứng minh:
a) chia hết cho 7.
b) chia hết cho 2, với .
c) chia hết cho 30, với .
d)Nếu thì chia hết cho .
e) là bình phương của một số nguyên, với .
f) chia hết cho .
g) chia hết cho , với .
Chứng minh rằng: chia hết cho 6 (Câu 2b đề 10)
Chứng minh: Với mọi n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức:
chia hết cho
Chứng minh rằng chia hết cho 16, với
a) Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9
b)Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì
Cho là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 3
Chứng minh rằng: chia hết cho 3.
Cho hai số nguyên, số thứ nhất chia cho 5 dư 1, số thứ hai chia cho 5 dư 2. Hỏi tổng bình phương của chúng có chia hết cho 5 không ?
Chứng minh rằngchia hết cho
Chứng minh rằng:
chia hết cho 40
Chứng minh rằng chia hết cho
Chứng minh rằngchia hết cho
Chứng minh rằng:
- chia hết cho 17
- chia hết cho 44
a)Chứng minh rằng: với mọi số nguyên
b)Tìm số nguyên n sao cho:
. Cho số tự nhiên Chứng minh rằng nếu thì tích chia hết cho 6
Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng 16n – 15n – 1 chia hết cho 225.
Chứng minh rằng chia hết cho 7
Chứng minh rằng chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n
Chứng minh rằng chia hết cho 1930
Chứng minh rằng: chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên .
Tìm các số có 3 chữ số chia hết cho 7 và tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho 7
Chứng minh rằng vơi mọi số tự nhiên thì phân số tối giản
Chứng minh rằng chia hết cho với mọi
Chứng minh rằng
- Đặt Chứng minh rằng chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên dương của
- Nếu chia dư và b chia dư 3 thì chia hết cho 13
- Tìm các số nguyên thỏa mãn
Chứng minh rằng: với
Hãy chứng minh :
chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n
- Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9
- Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì
Cho là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 3
Chứng minh rằng: chia hết cho 3
Cho hai số nguyên, số thứ nhất chia cho 5 dư 1, số thứ hai chia cho 5 dư 2. Hỏi tổng bình phương của chúng có chia hết cho 5 không ?
Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9
Chứng minh rằng với mọi số nguyên ta có: chia hết cho 30.
Hãy viết thêm vào bên phải số 43 hai chữ số để nhận được một số có 4 chữ số chia hết cho 3 và 7.
Chứng minh rằng vơi mọi số tự nhiên thì phân số tối giản.
a) Cho Tìm để là số nguyên.
b) Tìm số tự nhiên để chia hết cho .
Chứng minh tổng lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9.
Cho a, b, c thỏa mãn Chứng minh:
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thìA = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 59
a. Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B
A = 3xn-1y6 - 5xn+1y4 và B = 2x3yn
b. Xác định các giá trị của a,b và c để đa thức P(x) = x4 + ax2 + bx + c chia hết cho (x – 3)3
Chứng minh rằng số có dạng chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n.
Chứng minh rằng chia hết cho 64 với mọi n là số nguyên lẻ.
Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên thỏa mãn chia hết
Cho số tự nhiên n > 3. Chứng minh răng nếu 2n = 10a + b (a, b , 0 < b < 10) thì tích ab chia hết cho 6.
Chứng minh thì là hợp số
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì biểu thức luôn chia hết cho 30.
Chứng minh rằng:
- chia hết cho 17
- chia hết cho 44
Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh
Chứng minh chia hết cho với mọi
Cho là các số nguyên. Chứng minh rằng chia hết cho 30.
Cho 3 số tự nhiên Chứng minh rằng nếu chia hết cho 3 thì chia hết cho 6
- Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9
- Tìm các số nguyên n để chia hết cho
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương thì:
Chứng minh chia hết cho 100
Chứng minh rằng: chia hết cho
Cho là các số tự nhiên có tổng cộng bằng
Chứng minh rằng: chia hết cho 3.
Tìm sao cho chia hết cho đa thức
Chứng minh rằng với mọi số nguyên thì chia hết cho 6
Chứng minh rằng: với mọi
B. HƯỚNG DẪN
Chứng minh rằng: với
Lời giải
Ta có:
Do đó là tích của số nguyên liên tiếp
Chứng minh rằng: chia hết cho
Lời giải
Ta có:
Vì chia hết cho 2010 (1)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9
b) Tìm các số nguyên n để chia hết cho
Lời giải
- Gọi 2 số phải tìm là và , ta có chia hết cho 3
Ta có:
Vì chia hết cho 3 nên chia hết cho 3.
Do vậy, chia hết cho 9
Hay
Xét hai trường hợp:
không có giá trị của n thỏa mãn
Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9
Lời giải
Gọi 2 số phải tìm là và b, ta có chia hết cho 3.
Vì chia hết cho nên chia hết cho 3
Do vậy chia hết cho 9
Chứng minh chia hết cho với mọi
Lời giải
Vì là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3, nên chia hết cho 6
, suy ra điều phải chứng minh
Chứng minh rằng:
chia hết cho
Lời giải
Vậy
a) Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì
Lời giải
a) Ta phải chứng minhvới
Nhận thấy và Vậy
và
Vậy
Chứng minh rằng
a) chia hết cho 17
b) chia hết cho 44
Lời giải
a)Ta có: chia hết cho 17
b)Ta có:
chia hết cho 44
Chứng minh rằng
Lời giải
Do tích của số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 5 và trong 5 số nguyên liên tiếp luôn có ba số nguyên liên tiếp mà tích của chúng chia hết cho 6 và
Suy ra và
Vậy
Cho là hai số tự nhiên. Biết rằng chia cho 5 dư 3 và chia cho 5 dư 2. Hỏi tích chia cho 5 dư bao nhiêu ?
Lời giải
chia cho 5 dư 3 nên tồn tại số tự nhiên m sao cho (1)
chia cho 5 dư 2 nên tồn tại số tự nhiên n sao cho (2)
Từ (1) và (2) suy ra
Suy ra chia cho 5 dư 1.
Cho các số nguyên . Đặt và . Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6.
Lời giải
HD: Xét hiệu:
Chứng minh: với mọi số nguyên .
Sau đó sử dụng tính chât chia hết của một tổng suy ra đpcm.
a) Chứng minh rằng: chia hết cho 45
b) Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n ta có: .
Lời giải
a) Chứng minh rằng: chia hết cho 45.
HD: Đặt
Nhận xét 45 = 5.9 mà 5 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau (1)
Vậy để c/m ta cần c/m và
Thật vậy, (2)
(Vì và )
Mặt khác, và . Do đó, (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra đpcm.
* Chú ý:
b) Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n ta có: .
Ta có:
( Vì ).
Suy ra đpcm.
Chứng minh:
a) chia hết cho 7.
b) chia hết cho 2, với .
c) chia hết cho 30, với .
d) Nếu thì chia hết cho .
e) là bình phương của một số nguyên, với .
f) chia hết cho .
g) chia hết cho , với .
Lời giải
Chứng minh:
a) chia hết cho 7
Ta có:
Vậy, chia hết cho 7 .
b) chia hết cho 2, với .
Ta có:
Vậy, chia hết cho 2, với
c) chia hết cho 30, với .
Ta có:
Vì và mà nên
Vậy, chia hết cho 30, với .
d) Nếu thì chia hết cho .
Ta có:
Vậy, chia hết cho
e) là bình phương của một số nguyên, với .
Ta có:
Vậy, là bình phương của một số nguyên, với
f) chia hết cho .
Ta có
Xét tại thì
Vậy, chia hết cho .
g) chia hết cho , với .
Ta có: (1)
Mặt khác,
Từ (1) và (2) suy ra
Vậy, chia hết cho , với .
Chứng minh rằng: chia hết cho 6
Lời giải
Chứng minh rằng: chia hết cho 6
Ta có:
Vì và nên (đpcm)
Chứng minh: Với mọi n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức:
chia hết cho
Lời giải
Chứng minh: Với mọi n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức:
chia hết cho .
Ta có: và . Ta cần c/m: và .
Ta có
Mà hay
Và ( vì là số chẵn ) hay
Từ (1) và (2) suy ra .
Tương tự,
Mà hay
Và ( vì là số chẵn ) hay
Từ (3) và (4) suy ra .
Vì và mà suy ra (đpcm)
Chứng minh rằng chia hết cho 16, với
Lời giải
Chứng minh rằng chia hết cho 16, với
Ta có:
Vì là tích của hai số nguyên liên tiếp nên
Suy ra mà
Vậy, với .
a)Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì
Lời giải
- Ta phải chứng minhvới
Nhận thấy và
Vậy
và
Vậy
Cho là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 3
Chứng minh rằng: chia hết cho 3.
Lời giải: Dễ thấy là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3
Xét hiệu:
Các hiệu trên chia hết cho 3 , do vậy A chia hết cho 3
Cho hai số nguyên, số thứ nhất chia cho 5 dư 1, số thứ hai chia cho 5 dư 2. Hỏi tổng bình phương của chúng có chia hết cho 5 không ?
Lời giải
Vì số thứ nhất chia cho 5 dư 1 nên có dạng , số thứ hai chia cho 5 dư 2 nên có dạng (
Ta có tổng bình phương hai số đó là:
Vậy tổng bình phương của hai số chia hết cho 5
Chứng minh rằngchia hết cho
Lời giải
Ta có:
Vì (1)
Từ (1) và (2) ta có dpcm.
Chứng minh rằng:
chia hết cho 40
Lời giải
Vậy
Chứng minh rằng chia hết cho
Lời giải
Vì
Và có chữ số tận cùng bằng 0
Nên chia hết cho 10
Vậy chia hết cho
Chứng minh rằngchia hết cho
Lời giải
Ta có:
Vì
chia hết cho 2010 (1)
Vì
chia hết cho
Từ (1) và (2) ta có đpcm.
Chứng minh rằng:
- chia hết cho 17
- chia hết cho 44
Lời giải
- Ta có:
Rõ ràng kết quả trên chia hết cho 17
- Áp dụng hằng đẳng thức
với mọi n lẻ
Ta có:
chia hết cho 44
a) Chứng minh rằng: với mọi số nguyên
Lời giải
Ta có:
Vì là số nguyên nên: là ba số nguyên liên tiếp
Do đó có ít nhất một số chia hết cho 2, 1 số chia hết cho 3
hay với mọi số nguyên
b)Tìm số nguyên n sao cho:
Lời giải
Để thì hay là Ư
Vậy thì
Cho số tự nhiên Chứng minh rằng nếu thì tích chia hết cho 6
Lời giải
Ta có:
Ta chứng minh
Thật vậy , từ đẳng thức có chữ số tận cùng là
Đặt ta có:
Nếu thì tận cùng là
Suy ra
Từ và suy ra
Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng 16n – 15n – 1 chia hết cho 225.
Lời giải
Với n = 1 ta có: 16 – 15 – 1 = 0 225
Giả sử bài toán đúng với n = k tức là ta có:
16k – 15k – 1 225
Ta chứng minh bài toán đúng với n = k + 1
Thật vậy: 16k+1 – 15(k+1) – 1 = 16.16k – 15k – 15 – 1
= 16k (15 + 1) – 15k – 15 – 1
= (16 k – 15k – 1) + 15(15k – 1)
= (16 k – 15k – 1) + 225. A(k) 225
Vậy 16n – 15n – 1 chia hết cho 225 với mọi n là số nguyên dương.
Chứng minh rằng chia hết cho 7
Lời giải
Chứng minh rằng chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n
Lời giải
Ta có: chia hết cho 3 vì tích của 3 số nguyên liên tiếp
Ta cũng có chia hết cho 2 vì trong 3 số liên tiếp có 1 số chẵn
Mà . Vậy chia hết cho 6
. Chứng minh rằng chia hết cho 1930
Lời giải
Đặt . Ta có:
Mà nên suy ra đpcm.
Chứng minh rằng: chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên .
Lời giải
Chứng minh rằng: chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên .
Theo giả thiết là một số tự nhiên nên là ba số tự nhiên liên tiếp
Vì tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3 nên
Mặt khác, nên .
Vậy, chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên .
Tìm các số có 3 chữ số chia hết cho 7 và tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho 7
Lời giải
Gọi số có ba chữ số cần tìm là
Ta có:
Vì
Mặt khác, vì ết hợp với (3) suy ra
Do đó chỉ có thể nhận các giá trị
Với Kết hợp với (4) ta chọn được các số thỏa mãn.
Với Đổi vai trò và của trường hợp trên ta được các cặp số thỏa mãn Câu toán.
Với mà do (4) nên
Do nên chỉ có thể nhận các giá trị
Từ đó ta chọn được 12 số thỏa mãn là
Vậy có 18 số thỏa mãn Câu toán:
Chứng minh rằng vơi mọi số tự nhiên thì phân số tối giản
Lời giải
Gọi là ƯCLN của và
là số tự nhiên lẻ
Mặt khác, mà lẻ nên
Vậy phân số trên tối giản
Chứng minh rằng chia hết cho với mọi
Lời giải
là tích 4 số nguyên liên tiếp trong đó phải có 1 số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 4
Nên
Vậy
Chứng minh rằng
Lời giải
Do tích của số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 5 và trong 5 số nguyên liên tiếp luôn có ba số nguyên liên tiếp mà tích của chúng chia hết cho 6 và
Suy ra và
Vậy
a) Đặt Chứng minh rằng chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên dương của
b)Nếu chia dư và b chia dư 3 thì chia hết cho 13
c)Tìm các số nguyên thỏa mãn
Lời giải
Khi đó: ; là tích của 3 số nguyên dương liên tiếp nên chia hết cho 3
- Thực hiện chia
Để nguyên với n nguyên khi
Khi đó
Chứng minh rằng: với
Lời giải
Ta có:
Do đó là tích của số nguyên liên tiếp
Hãy chứng minh :
chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n
Lời giải
Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên có một bộ của 2, 1 bội của 3, 1 bội của 5, 1 bội của 7
Mà nên
Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9
- Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì
- Lời giải
- Ta phải chứng minhvới
Nhận thấy và
Vậy
và
Vậy
Cho là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 3
Chứng minh rằng: chia hết cho 3.
Lời giải
Dễ thấy là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3
Xét hiệu:
Các hiệu trên chia hết cho 3 , do vậy A chia hết cho 3
Cho hai số nguyên, số thứ nhất chia cho 5 dư 1, số thứ hai chia cho 5 dư 2. Hỏi tổng bình phương của chúng có chia hết cho 5 không ?
Lời giải
Cho hai số nguyên, số thứ nhất chia cho 5 dư 1, số thứ hai chia cho 5 dư 2. Hỏi tổng bình phương của chúng có chia hết cho 5 không ?
Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9
Lời giải
Gọi 2 số phải tìm là và b, ta có chia hết cho 3.
Ta có: Vì chia hết cho nên chia hết cho 3
Do vậy chia hết cho 9
Chứng minh rằng với mọi số nguyên ta có: chia hết cho 30.
Lời giải
Ta có:
Ta có: chia hết cho 2, 3 và 5
Tương tự, ta có:
Hãy viết thêm vào bên phải số 43 hai chữ số để nhận được một số có 4 chữ số chia hết cho 3 và 7.
Lời giải
Vì , theo bài toán ta có
Vì chia 21 dư 16 nên hay chia 21 dư 5.
Vậy
Cho , số mới là 4305
Cho , số mới là 4326
Cho số mới là 4347
Cho , số mới là
Cho số mới là 4389
Chứng minh rằng vơi mọi số tự nhiên thì phân số tối giản.
Lời giải
Gọi là ƯCLN của và
là số tự nhiên lẻ
Mặt khác: , mà lẻ nên
Vậy phân số trên tối giản
a) Cho Tìm để là số nguyên.
b) Tìm số tự nhiên để chia hết cho
Lời giải
a) Rút gọn
Để A nguyên nguyên
b)
+) Nếu
+) Nếu thì nên không thể xảy ra
Vậy
Chứng minh tổng lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9.
Lời giải
Ta có ba số tự nhiên liên tiếp là
Khi đó ta có:
Cho a, b, c thỏa mãn Chứng minh:
Lời giải
Ta có:
Do là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2, 3 và 5, do đó chia hết cho 30.
Lại có chia hết cho 6 nên chia hết cho 30.
Từ đó suy ra chia hết cho 30
Tương tự chia hết cho 30 và chia hết cho 30
Từ đó suy ra chia hết cho 30
Mà nên chia hết cho 30
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thìA = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 59
Lời giải
5n+2 + 26.5n + 82n+1 = 25.5n + 26.5n + 8.82n = 5n(59 – 8) + 8.64n = 59.5n + 8(64n – 5n)
59.5n 59 vaø 8(64n – 5n) (64 – 5) = 59
Vaäy 5n+2 + 26.5n + 82n+1 59
a. Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B
A = 3xn-1y6 - 5xn+1y4 và B = 2x3yn
b. Xác định các giá trị của a,b và c để đa thức P(x) = x4 + ax2 + bx + c chia hết cho (x – 3)3
Lời giải a) Điểu kiện để A chia hết cho B là
Vậy với n = 4 thì đa thức A chia hết cho đơn thức B
Khi đó A:B = (3x3y6 – 5x5y4)(2x3y4) =
b) Chia P(x) cho (x – 3)3 ta được thương là x + 9 và dư là
R(x) = (a + 54)x2 + (b-216)x + 243 + c
P(x) (x - 3)3 R (x) 0 cho ta
a + 54 = 0 a = -54; b – 216 = 0 b = 216; c + 243 = 0 c = -243
Chứng minh rằng số có dạng chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n.
Lời giải
=
Vì là ba số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại 1 số chia hết cho 3. Do đó
Vì là bốn số tự nhiên liên tiếp nên có 2 số chẵn liên tiếp, trong 2 số chẵn liên tiếp có 1 số chia hết cho 2, số kia chia hết cho 4.
Vậy
Vì ƯCLN(3;8) =1 nên chia hết cho 24.
Chứng minh rằng chia hết cho 64 với mọi n là số nguyên lẻ.
Lời giải
Ta có với mọi x, y.
P = khi x = 10 và y = 10
Vậy Max P = khi x = 10 và y = 10.
Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên thỏa mãn chia hết
Lời giải
Giả sử tồn tại số nguyên thỏa mãn chia hết
=
ta có là 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số là bội của 3 suy ra
Vì 12a chia hết cho 3 nên (1)
Mặt khác chia cho 3 dư 2 (2)
Từ (1) và (2) dẫn đến điều giả sử trên là sai, tức là không có số nguyên nào thỏa mãn điều kiện bài toán đã cho.
Cho số tự nhiên n > 3. Chứng minh rằng nếu 2n = 10a + b (a, b , 0 < b < 10) thì tích ab chia hết cho 6.
Lời giải
Ta có 2n 10a b b 2 ab 2 (1)
Ta chứng minh ab 3 (2)
Thật vậy, từ đẳng thức 2n 10a b 2n có chữ số tận cùng là b.
Đặt n 4k r (k, r N, 0 ≤ r ≤ 3) ta có: 2n 16k2r.
Nếu r 0 thì 2n 16k tận cùng là 6 b 6 ab 6.
Nếu 1 ≤ r ≤ 3 thì 2n 2r 2r(16k 1) 10 2n tận cùng là 2r
suy ra b 2r 10a 2n 2r 2r(16k 1) 3 a 3 ab 3.
Từ (1) và (2) suy ra ab 6.
Chứng minh thì là hợp số
Lời giải
- Ta có:
Do nên .Vậy là hợp số.
: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì biểu thức luôn chia hết cho 30.
Lời giải
Vì là tích ba số nguyên liên tiếp nên
+) Nếu
+)Nếu dư 1 thì
+)Nếu dư 4 thì
+)Nếu dư 2 hoặc 3 thì dư 4
Vậy với mọi x và (2)
Từ (1) và (2) suy ra
Chứng minh rằng:
- chia hết cho 17
- chia hết cho 44
Lời giải
- Ta có:
Rõ ràng kết quả trên chia hết cho 17
- Áp dụng hằng đẳng thức
với mọi n lẻ
Ta có:
chia hết cho 44
Lời giải
Ta có:
Vì là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một trong ba số đó chia hết cho 3 (1)
Do đó
(2)
Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên kết hợp với (1); (2) suy ra
Vì là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3, nên chia hết cho 6
, suy ra điều phải chứng minh
Học sinh biến đổi được
Lập luận được , kết luận
là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6
- Gọi 2 số phải tìm là và , ta có chia hết cho 3
Ta có:
Vì chia hết cho 3 nên chia hết cho 3.
Do vậy, chia hết cho 9
Hay
Xét hai trường hợp:
không có giá trị của n thỏa mãn
chia hết cho 7
chia hết cho 13
Do nên chia hết cho 91
Vì
Và có chữ số tận cùng (hàng đơn vị ) bằng 0
Nênchia hết cho 10
Vậychia hết cho 10.
- Ta có:
Vì chia hết cho 2010 (1)
Vì chia hết cho 2010 (2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
Dễ thấy là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3
Xét hiệu
chia hết cho 3
Mà là các số tự nhiên có tổng bằng
Do vậy chia hết cho 3.
Tìm sao cho chia hết cho đa thức
Lời giải
- Thay vào ta có:
và và
Vậy
Chứng minh rằng với mọi số nguyên thì chia hết cho 6
Lời giải
Vì là tích 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3 mà nên chia hết cho 6
chia hết cho 6 Nên chia hết cho 6
Chứng minh rằng: với mọi
Lời giải
Đặt
Ta thấy chia hết cho 3( vì tích 3 số tự nhiên liên tiếp)
Và chia hết cho 3
Nên chia hết cho 9
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới