1. Đơn thức
- Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc 1 biến, hoặc 1 tích giữa các số và các biến.
Ví dụ: $x;\,\,\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}y;\,-2xy{{z}^{2}};\,\,\dfrac{1}{3};\,\,....\,$
2. Đơn thức thu gọn
- Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến, mỗi biến đã được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương.
Ví dụ: $x;\,\,-y;\,\,3{{x}^{2}}y;\,\,2xy{{z}^{3}}$ là các đơn thức thu gọn. Các hệ số lần lượt là $1;-1;3;2$ và phần có biến là $x;\,\,y;\,\,{{x}^{2}}y;\,\,xy{{z}^{3}}$ .
Các đơn thức $xyzx;\,\,\dfrac{1}{2}x{{y}^{2}}\dfrac{2}{3}x$ không phải là đơn thức thu gọn.
3. Bậc của một đơn thức.
Bậc đơn thức có hệ số khác không là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức đó.
Số thực khác không là đơn thức bậc không. Số 0 được coi là đơn thức không có bậc.
Ví dụ: $\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}y$ có bậc (2+1=) 3.
$2{{x}^{2}}y{{z}^{3}}$ có bậc (2+1+3=) 6.
4. Nhân hai đơn thức.
Ví dụ 1.
Thực hiện phép nhân hai biểu thức $A={{2}^{2}}{{.5}^{4}};\,\,B={{2}^{5}}{{.5}^{7}}$.
Giải:
$\begin{align} & A.B=({{2}^{2}}{{.5}^{4}}).({{2}^{5}}{{.5}^{7}})={{2}^{2}}{{.5}^{4}}{{.2}^{5}}{{.5}^{7}} \\ & =({{2}^{2}}{{.2}^{5}}).({{5}^{4}}{{.5}^{7}})={{2}^{7}}{{.5}^{12}} \\ \end{align}$
Ví dụ 2.
Thực hiện phép nhân $\dfrac{2}{3}{{x}^{3}}{{y}^{2}}$ và $\dfrac{3}{5}{{x}^{2}}{{y}^{3}}$ .
Giải:
$\begin{align} & \left( \dfrac{2}{3}{{x}^{3}}{{y}^{2}} \right)\left( \dfrac{3}{5}{{x}^{2}}{{y}^{3}} \right)=\dfrac{2}{3}{{x}^{3}}{{y}^{2}}.\dfrac{3}{5}{{x}^{2}}{{y}^{3}} \\ & =\left( \dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{5} \right)\left( {{x}^{3}}{{x}^{2}} \right)\left( {{y}^{2}}{{y}^{3}} \right)=\dfrac{2}{5}{{x}^{5}}{{y}^{5}}. \\ \end{align}$
${\left( {\dfrac{1}{3}x{y^3}} \right)^2}.\left( {\dfrac{3}{{ - 7}}{x^3}y{z^2}.( - 2)} \right) = \dfrac{1}{9}{x^2}{y^6}.\dfrac{6}{7}{x^3}y{z^2}$
$= \left( {\dfrac{1}{9}.\dfrac{6}{7}} \right)({x^2}.{x^3})({y^6}.y).{z^2} = \dfrac{2}{{21}}{x^5}{y^7}{z^2}$ .
Vậy phần biến là: $ {{x}^{5}}{{y}^{7}}{{z}^{2}} $ .
Thay $ x=-2 $ và $ y=-1 $ ta được giá trị của biểu thức là $ -160 $ .
Ta có $ \dfrac{5}{6}{{x}^{3}}{{y}^{2}}.\left( -xyz \right)=-\dfrac{5}{6}{{x}^{4}}{{y}^{3}}z $
Vậy đơn thức không đồng dạng với $ -\dfrac{5}{6}{{x}^{4}}{{y}^{3}}z $ là $ 8{{x}^{2}}\left( -2{{y}^{2}} \right){{x}^{3}}y $ .
Ta có $ \dfrac{1}{2}x{{y}^{2}}-\dfrac{5}{4}x{{y}^{2}}=-\dfrac{3}{4}x{{y}^{2}} $ .
Ta có $ \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}{{y}^{2}}+~\dfrac{3}{4}{{x}^{2}}{{y}^{2}}-{{x}^{2}}{{y}^{2}}=\dfrac{1}{4}{{x}^{2}}{{y}^{2}} $ .
$ A.B=\dfrac{2}{3}x{{y}^{2}}.\left( -\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}yz \right)=\left( \dfrac{2}{3}.\dfrac{-1}{3} \right).\left( x.{{x}^{3}} \right)({{y}^{2}}.y)z=-\dfrac{2}{9}{{x}^{4}}{{y}^{3}}z $ .
Bậc của đơn thức $ A.B $ là: $ 4+3+1=8. $
$ 3,2{{x}^{2}}{{y}^{3}}.(-5)x{{y}^{2}}{{z}^{5}}=\text{ }\!\![\!\!\text{ }3,2.(-5)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }.({{x}^{2}}.x).({{y}^{3}}.{{y}^{2}}){{z}^{5}}=-16{{x}^{3}}{{y}^{5}}{{z}^{5}} $ .
Ta có $ \dfrac{9}{44}{{x}^{3}}y.\dfrac{-11}{18}x{{y}^{5}}=\dfrac{-1}{8}{{x}^{4}}{{y}^{6}} $
Đơn thức đồng dạng với $ -\dfrac{1}{8}{{x}^{4}}{{y}^{6}} $ là $ 4{{x}^{4}}6{{y}^{6}} $ .
Ta có:
$ \dfrac{3}{2}{{(x{{y}^{2}})}^{2}}{{z}^{3}}=\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}{{y}^{4}}{{z}^{3}} $ có bậc là: 2 + 4 + 3 = 9.
$ \dfrac{1}{2}{{({{x}^{2}}y)}^{2}}z=\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}{{y}^{2}}z $ có bậc là: 4 + 2 + 1 = 7.
$ -\dfrac{3}{2}{{x}^{3}}{{\left( {{y}^{2}}z \right)}^{2}}=-\dfrac{3}{2}{{x}^{3}}{{y}^{4}}{{z}^{2}} $ có bậc là 3 + 4 + 2 =9.
$ -\dfrac{1}{2}x{{y}^{3}}{{z}^{4}} $ có bậc là $ 1+3+4=8. $
$ A.B=3{{x}^{3}}y.\dfrac{4}{3}x{{y}^{2}}=4{{x}^{4}}{{y}^{3}} $
Thay $ x=-1\,;\,y=2 $ vào ta được: $ 4.{{(-1)}^{4}}{{2}^{3}}=32. $
$ \left( -\dfrac{2}{3}{{x}^{3}}{{y}^{2}} \right).\left( \dfrac{3}{4}x{{y}^{3}} \right)=\left( -\dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{4} \right).({{x}^{3}}.x)({{y}^{2}}.{{y}^{3}})=-\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}{{y}^{5}} $
Bậc của đơn thức là: $ 4+5=9 $ .
$ \dfrac{3}{2}{{x}^{2}}y{{z}^{2}} $ có bậc là: $ 2+1+2=5. $
$ \dfrac{1}{2}{{({{x}^{2}}y)}^{2}}=\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}{{y}^{2}} $ có bậc là: $ 4+2=6. $
$ -\dfrac{3}{2}{{x}^{3}}yz $ có bậc là: $ 3+1+1=5. $
$ -\dfrac{1}{2}x{{(yz)}^{2}}=-\dfrac{1}{2}x{{y}^{2}}{{z}^{2}} $ có bậc là: $ 1+2+2=5. $
Ta có: $ \dfrac{3}{2}x{{y}^{2}}.\dfrac{1}{3}xy=\left( \dfrac{3}{2}.\dfrac{1}{3} \right)(x.x).({{y}^{2}}.y)=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}{{y}^{3}} $ ;
$ {{\left( -\dfrac{2}{3} \right)}^{2}}x{{y}^{4}}.\dfrac{1}{2}.{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}{{x}^{2}}y=\dfrac{4}{9}.x{{y}^{4}}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{9}{4}.{{x}^{2}}y=\left( \dfrac{4}{9}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{9}{4} \right).(x.{{x}^{2}}).({{y}^{4}}.y)=\dfrac{1}{2}{{x}^{3}}{{y}^{5}} $ ;
$ {{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{2}}{{x}^{2}}y.\left( -{{3}^{2}}\dfrac{xy}{2} \right)=\left( \dfrac{1}{9}.(-9).\dfrac{1}{2} \right).({{x}^{2}}.x).(y.y)=-\dfrac{1}{2}{{x}^{3}}{{y}^{2}} $ ;
$ \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}{{y}^{2}}.\left( -2x{{y}^{3}} \right)=\left( \dfrac{1}{2}.(-2) \right)({{x}^{2}}.x).({{y}^{2}}.{{y}^{3}})=-{{x}^{3}}{{y}^{5}} $ .
Vậy tích hai đơn thức có phần hệ số là $ -\dfrac{1}{2} $ là: $ {{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{2}}{{x}^{2}}y $ và $ -{{3}^{2}}\dfrac{xy}{2} $ .
Ta có $ -{{x}^{3}}y-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}y~+~\dfrac{4}{15}{{x}^{3}}y=-\dfrac{16}{15}{{x}^{3}}y $ .
Thay $ x=-2\,;\,y=3 $ vào ta được: $ \dfrac{3}{2}{{(-2)}^{3}}{{.3}^{2}}=-108 $ .
Ta có $ \left( -25{{x}^{9}}{{y}^{n}} \right)\left( -4{{x}^{m}}{{y}^{8}} \right)=100{{x}^{24}}{{y}^{107}}\Leftrightarrow 100{{x}^{9+m}}{{y}^{n+8}}=100{{x}^{24}}{{y}^{107}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m=15 \\ n=99 \end{array} \right. $ .
$ \dfrac{3}{8}x{{y}^{3}}z.(-12xy)=\left( \dfrac{3}{8}.(-12) \right).(x.x).({{y}^{3}}.y).z=-\dfrac{9}{2}{{x}^{2}}{{y}^{4}}z $ .
Thay $ x=\dfrac{1}{2}\,;\,y=2;\,z=-3 $ vào ta được: $ -\dfrac{9}{2}.{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}{{.2}^{4}}.(-3)=54. $
Thay $ x=-1,\text{ }y=1;\text{ }z=-1 $ vào biểu thức ta được giá trị bằng $ \dfrac{2}{5} $ .
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới