Đa thức một biến

Đa thức một biến

4.8/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 20 Aug 2022

Lưu về Facebook:

Hình minh họa Đa thức một biến

MỤC LỤC

Lý thuyết về Đa thức một biến

1. Đa thức một biến

- Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến.

Ví dụ: $A={{x}^{2}}-1;\,\,\,B=\dfrac{2}{3}{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+4$ là các đa thức một biến.

- Mỗi số được coi là đa thức một biến.

2. Sắp xếp một đa thức.

Sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa tăng hoặc giảm của biến.

Ví dụ: Đa thức $P(x)=2{{x}^{2}}+\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+2-4x$

Sắp xếp theo lũy thừa giảm: $P(x)=\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-4x+2$ .

Sắp xếp theo lũy thừa tăng: $P(x)=2-4x+2{{x}^{2}}-3{{x}^{3}}+\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}$ .

3. Hệ số

Xét đa thức $P(x)=\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-4x+2$ .

Ta nói: $\dfrac{1}{2}$ là hệ số của lũy thừa bậc $4;-3$ là hệ số của lũy thừa bậc $3;2$ là hệ số của lũy thừa bậc $2;-4$ là hệ số của lũy thừa bậc $1;2$ là hệ số của lũy thừa bậc 0 (gọi là hệ số tự do). Vì $P\left( x \right)$ có bậc bằng 4 nên hệ số của ${{x}^{4}}$ gọi là hệ số cao nhất.

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Giá trị của đa thức: $Q\left( x \right)=5{{x}^{14}}-7x-{{x}^{15}}+2$ tại $x=5.$

A
127
B
$-37.$
C
37
D
$-33.$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: $Q\left( 5 \right)={{5.5}^{14}}-7.5-{{5}^{15}}+2={{5}^{15}}-35-{{5}^{15}}+2=-33.$

Câu 2: Cho đa thức $M\left( x \right)=4{{x}^{3}}+2{{x}^{4}}-{{x}^{2}}-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}+1-3{{x}^{3}}$ . Thu gọn đa thức và sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến ta được

A
$1-{{x}^{2}}-3{{x}^{4}}$ .
B
$~{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1~$ .
C
$1+{{x}^{2}}-{{x}^{3}}$ .
D
$1+{{x}^{2}}+{{x}^{4}}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $M\left( x \right)=4{{x}^{3}}+2{{x}^{4}}-{{x}^{2}}-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}+1-3{{x}^{3}}=1+{{x}^{2}}+{{x}^{4}}$ .

Câu 3: Thu gọn đa thức $4{{x}^{2}}-5x+9+3{{x}^{2}}-x$ ta được

A
$3{{x}^{2}}+5$ .
B
$3{{x}^{2}}-6x+5$ .
C
$3{{x}^{2}}+9$ .
D
$7{{x}^{2}}-6x+9$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $4{{x}^{2}}-5x+9+3{{x}^{2}}-x=7{{x}^{2}}-6x+9$ .

Câu 4: Chọn khẳng định đúng Bậc của đa thức $M\left( x \right)=a{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-5$ (a là hằng số) bằng

A
$a\ne 0$ thì $M\left( x \right)$ có bậc 4; $a=0$ thì $M\left( x \right)$ có bậc 2.
B
$M\left( x \right)$ có bậc 2.
C
$M\left( x \right)$ có bậc 0.
D
$M\left( x \right)$ có bậc 4.

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Nếu $a\ne 0$ thì $M\left( x \right)$ có bậc là 4; nếu $a=0$ thì $M\left( x \right)$ có bậc là 2.

Câu 5: Cho đa thức $M\left( x \right)=4{{x}^{3}}+2{{x}^{4}}-{{x}^{2}}-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}+1-3{{x}^{3}}$ . Giá trị của $M\left( x \right)$ Khi $x=-1$ là

A
$3$ .
B
$-1$ .
C
$2$ .
D
$0$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $M\left( x \right)=4{{x}^{3}}+2{{x}^{4}}-{{x}^{2}}-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}+1-3{{x}^{3}}={{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1~$

Khi đó $M\left( -1 \right)=3$ .

Câu 6: Hệ số tự do của đa thức: $-0,2+3x-7{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}+7{{x}^{3}}$ là

A
$-0,2.$
B
7.
C
$0,2.$
D
8.

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Hệ số tự do của đa thức: $-0,2+3x-7{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}+7{{x}^{3}}$ là $-0,2.$

Câu 7: Hệ số cao nhất của đa thức $-6{{x}^{3}}+5x-1+2{{x}^{2}}+6{{x}^{3}}-2x+5{{x}^{2}}$ là

A
3.
B
6.
C
7.
D
$-12.$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\begin{array}{l} -6{{x}^{3}}+5x-1+2{{x}^{2}}+6{{x}^{3}}-2x+5{{x}^{2}} \\ =7{{x}^{2}}+3x-1. \end{array}$

Hệ số cao nhất của đa thức là 7.

Câu 8: Bậc của đa thức $2-9{{x}^{2}}+4{{x}^{5}}-3{{x}^{3}}+x-4{{x}^{5}}$ là

A
Bậc 5.
B
Bậc 3.
C
Bậc 2.
D
Bậc 4.

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\begin{array}{l} 2-9{{x}^{2}}+4{{x}^{5}}-3{{x}^{3}}+x-4{{x}^{5}} =-3{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+x+2. \end{array}$

Bậc của đa thức là 3.

Câu 9: Xác định hệ số a của đa thức $P\left( x \right)=ax+2,$ biết rằng $P\left( -1 \right)=-2.$

A
$a=1.$
B
$a=4.$
C
$a=2.$
D
$a=0.$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$P\left( -1 \right)=a.\left( -1 \right)+2=-2\Rightarrow -a+2=-2\Rightarrow a=4.$

Câu 10: Cho đa thức $M\left( x \right)=4{{x}^{3}}+2{{x}^{4}}-{{x}^{2}}-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}+1-3{{x}^{3}}$ . Giá trị của M

A
Không âm với mọi giá trị x.
B
Chưa xác định được âm, dương.
C
Âm với mọi giá trị x.
D
Dương với mọi giá trị x.

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $M\left( x \right)=4{{x}^{3}}+2{{x}^{4}}-{{x}^{2}}-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}+1-3{{x}^{3}}={{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1~$ .

Vì ${{x}^{4}}$ và ${{x}^{2}} > 0$ với $\forall x$ nên ${{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1 > 0$ với $\forall x$ .

Câu 11: Sắp xếp các hạng tử của đa thức sau theo lũy thừa giảm của biến: $1-6{{x}^{7}}+5{{x}^{4}}-2+13{{x}^{5}}-8{{x}^{7}}.$

A
$-14{{x}^{7}}+13{{x}^{5}}+5{{x}^{4}}-3.$
B
$-2{{x}^{7}}+13{{x}^{5}}+5{{x}^{4}}-3.$
C
$-14{{x}^{7}}+13{{x}^{5}}+5{{x}^{4}}-1.$
D
$-2{{x}^{7}}+13{{x}^{5}}+5{{x}^{4}}-1.$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\begin{array}{l} 1-6{{x}^{7}}+5{{x}^{4}}-2+13{{x}^{5}}-8{{x}^{7}} \\ =-14{{x}^{7}}+13{{x}^{5}}+5{{x}^{4}}-1. \end{array}$

Câu 12: Cho:

(1) $-3{{x}^{2}}+5{{x}^{6}}$ là đa thức bậc 6;

(2) $3{{x}^{2}}-2x+7+2x-3{{x}^{2}}-6$ là đa thức bậc 1;

(3) $2y-3{{y}^{2}}+3{{y}^{2}}-2y$ là đa thức bậc 0.

Chọn đáp án đúng.

A
(1) và (2) đúng; (3) sai.
B
(1); (2) và (3) sai.
C
(1); (2) và (3) đúng.
D
(1) đúng; (2) và (3) sai.

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$3{{x}^{2}}-2x+7+2x-3{{x}^{2}}-6=1$ . Đa thức này có bậc 0.

$2y-3{{y}^{2}}+3{{y}^{2}}-2y=0.$ Đa thức này không có bậc.

Câu 13: Hãy sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa tăng của biến: $Q\left( y \right)=8y-5{{y}^{4}}+7{{y}^{2}}-6{{y}^{3}}+9{{y}^{4}}-6y-7{{y}^{2}}+5{{y}^{3}}-2.$

A
$-2+2y-{{y}^{3}}.$
B
$-2-{{y}^{3}}+4{{y}^{4}}.$
C
$-2+2y-{{y}^{3}}+4{{y}^{4}}.$
D
$-2+2y-2{{y}^{3}}+4{{y}^{4}}.$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\begin{array}{l} Q\left( y \right)=8y-5{{y}^{4}}+7{{y}^{2}}-6{{y}^{3}}+9{{y}^{4}}-6y-7{{y}^{2}}+5{{y}^{3}}-2 \\ =\left( 8y-6y \right)+\left( -5{{y}^{4}}9{{y}^{4}} \right)+\left( 7{{y}^{2}}-7{{y}^{2}} \right)+\left( -6{{y}^{3}}+5{{y}^{3}} \right)-2 \\ =2y+4{{y}^{4}}-{{y}^{3}}-2=-2+2y-{{y}^{3}}+4{{y}^{4}}. \end{array}$

Câu 14: Giá trị của a thỏa mãn để đa thức $a{{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+7-2x+3{{x}^{2}}-4{{x}^{4}}$ có bậc là 3 bằng

A
$a=4.$
B
$a\ne 4.$
C
$a=-6.$
D
$a=3.$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$\begin{array}{l} a{{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+7-2x+3{{x}^{2}}-4{{x}^{4}} \\ =\left( a-4 \right){{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2x+7 \end{array}$

Vì đa thức này có bậc bằng 3 nên $a-4=0\Rightarrow a=4.$

Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới