Định lí Pitago trong tam giác vuông

Định lí Pitago trong tam giác vuông

4.1/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Định lí Pitago trong tam giác vuông

Lý thuyết về Định lí Pitago trong tam giác vuông

1. Định lí Pytago

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
$∆ABC$ vuông tại $A$$\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2$

2. Định lí Pytago đảo

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bẳng tổng bình phương các cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.

$∆ABC: BC^2=AB^2+AC^2$

 

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Tam giác $ DEF $ là tam giác đều cạnh $ a $ . $ H $ là trung điểm của $ EF $ . $ DH $ có độ dài là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Do $ H $ là trung điểm của $ EF $ nên $ FH=EH=\dfrac{a}{2} $

Áp dụng định lí pytago trong tam giác DEH ta có $ D{{H}^{2}}=D{{E}^{2}}-E{{H}^{2}}\Rightarrow DH=\sqrt{D{{E}^{2}}-E{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2} $

Câu 2: Tam giác $ ABC $ có $ BC=3cm;AC=5cm;AB=4cm $ . Tam giác $ ABC $ vuông tại đâu?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $ B{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}={{3}^{2}}+{{4}^{2}}=25 $ ; $ A{{C}^{2}}={{5}^{2}}=25 $

Áp dụng định lí pytago đảo ta có $ B{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}} $ nên tam giác $ ABC $ vuông tại B

Câu 3: Một tam giác vuông cân có độ dài cạnh huyền 2cm. Khi đó độ dài của cạnh góc vuông tam giác đó là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét tam giác ABC vuông cân tại A có $ BC=2cm $ .

$ \Delta ABC $ vuông cân tại A nên $ AB=AC $ và theo định lí Py-ta-go ta có:

$ A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}={{2}^{2}}=4 $

$ \Rightarrow 2A{{B}^{2}}=4\Rightarrow AB=\sqrt{2}\left( cm \right). $

Câu 4: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ điểm A có tọa độ $ \left( 3;5 \right) $ . Khoảng cách từ A đến gốc tọa độ bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Kẻ $ AH\bot Ox\,\,(H\in \,\,Ox) $ .

$ A(3\,;5) $ nên $ AH=5\,;\,\,OH=3 $ .

Theo định lí Py-ta-go ta có:

$ O{{A}^{2}}={{3}^{2}}+{{5}^{2}}=34\Rightarrow OA=\sqrt{34}. $

Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại B, $ AB=17cm,AC=16cm. $ Gọi M là trung điểm của AC. Độ dài BM là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét tam giác ABM và tam giác CBM có:

$ AB=BC $ (Vì $ \Delta ABC $ cân tại B);

Cạnh BM chung;

$ AM=MC $ (Vì M là trung điểm của AC)

$ \Rightarrow $ $ \Delta ABM=\Delta CBM\left( c.c.c \right)\Rightarrow {{\widehat{M}}_{1}}={{\widehat{M}}_{2}}. $

Ta lại có: $ {{\widehat{M}}_{1}}+{{\widehat{M}}_{2}}={{180}^{0}} $ (kề bù) nên $ {{\widehat{M}}_{1}}={{90}^{0}}. $

Vì M là trung điểm của AC nên $ AM=MC=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}.17=8\,(cm). $

Xét tam giác ABM vuông tại M, theo định lí Py-ta-go ta có: $ B{{M}^{2}}=A{{B}^{2}}-A{{M}^{2}}={{17}^{2}}-{{8}^{2}}=289-64=225={{15}^{2}}. $

Vậy $ BM=15cm. $

Câu 6: Cho tam giác $ ABC $ cân tại $ A $ có $ AB=5cm,BC=6cm $ . Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC $ . Tính độ dài $ AM $ .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Do $ M $ là trung điểm của $ BC $ nên BM=MC=3cm.

Áp dụng định lí pytago trong tam giác vuông ABM có

$ A{{M}^{2}}=A{{B}^{2}}-B{{M}^{2}}\Rightarrow AM=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{M}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4 $ cm.

Câu 7: Một tam giác vuông cân có độ dài mỗi cạnh góc vuông bằng 2dm. Khi đó độ dài cạnh huyền của tam giác đó là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét tam giác ABC vuông cân tại A.

$ \Delta ABC $ vuông cân tại A nên $ AB=AC=2\,dm. $

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

$ B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}} $

$ \Rightarrow $ $ B{{C}^{2}}={{2}^{2}}+{{2}^{2}}=8\Rightarrow BC=\sqrt{8}\left( dm \right). $

Câu 8: Cho hình vẽ sau: Khi đó độ dài x trên hình vẽ là:  

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét tam giác ABH vuông tại H, theo định lí Py-ta-go ta có:

$ A{{H}^{2}}=A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}={{15}^{2}}-{{12}^{2}}={{9}^{2}} $ $ \Rightarrow AH=9 $ .

Xét tam giác AHC vuông tại H, định lí Py-ta-go ta có:

$ H{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}-A{{H}^{2}}={{41}^{2}}-{{9}^{2}}={{40}^{2}} $ $ \Rightarrow HC=40 $ .

Vậy $ x=HC=40. $

 

Câu 9: Cho hình vẽ sau: Độ dài các cạnh BC và CE là:  

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ \Delta ABC $ vuông tại A, theo định lí Py-ta-go ta có:

$ B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{4}^{2}}+{{3}^{2}}=25 $ $ \Rightarrow BC=5\left( cm \right). $

$ \Delta CDE $ vuông tại C, theo định lí Py-ta-go ta có:

$ C{{E}^{2}}=D{{E}^{2}}-C{{D}^{2}}={{5}^{2}}-{{4}^{2}}=9 $ $ \Rightarrow CE=3\left( cm \right). $

Câu 10: Cho tam giác $ MNP $ vuông tại $ M $ có $ MN=9cm,MP=12cm $ . Chu vi tam giác $ MNP $ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Áp dụng định lí pytago trong tam giác vuông MNP ta có $ N{{P}^{2}}=N{{M}^{2}}+M{{P}^{2}}\Rightarrow NP=\sqrt{N{{M}^{2}}+M{{P}^{2}}}=\sqrt{{{9}^{2}}+{{12}^{2}}}=15 $ cm

Vậy chu vi tam giác $ MNP $ là MN+NP+MP=9+15+12=36 cm

Câu 11: Cho tam giác ABC có $ \widehat{A} $ là góc tù. Trong các cạnh của tam giác ABC thì cạnh nào là cạnh lớn nhất?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Kẻ $ AD\bot AB $ (D thuộc BC).

$ \Delta ABC $$ \widehat{A} $ là góc tù nên tia AD nằm giữa hai tia AB và AC $ \Rightarrow BD < BC\left( 1 \right). $

$ \Delta ABD $ vuông tại A, theo định lí Py-ta-go ta có:

$ B{{D}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}\Rightarrow A{{B}^{2}} < B{{D}^{2}}\Rightarrow AB < BD\left( 2 \right) $

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow AB < BC. $

Chứng minh tương tự: $ AC < BC. $

Vậy BC là cạnh lớn nhất.

Câu 12: Tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài ba cạnh như sau

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Dễ thấy $ {{3}^{2}}+{{4}^{2}}=25={{5}^{2}} $

Theo định lí pytago đảo, thì tam giác đó là tam giác vuông.

Câu 13: Cho hình vẽ bên

Độ dài cạnh $ AC $ bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Dễ thấy $ A{{\text{D}}^{2}}+B{{\text{D}}^{2}}={{4}^{2}}+{{3}^{2}}=25={{5}^{2}}=A{{B}^{2}} $

Theo định lí pytago ta có tam giác ABD vuông tại D hay $ A\text{D}\bot BC $ .

Xét tam giác ADC có $ \widehat{DAC}=\widehat{DCA}\Rightarrow \Delta DAC $ cân tại D mà $ A\text{D}\bot BC $ nên $ \Delta DAC $ vuông cân tại D

Áp dụng định lí pytago trong tam giác vuông ta có $ A{{\text{D}}^{2}}+D{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}\Rightarrow AC=\sqrt{A{{\text{D}}^{2}}+D{{C}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{4}^{2}}}=\sqrt{32} $

Câu 14: Chọn câu trả lời đúng

Cho tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ có $ AH\bot BC $ tại $ H $ . Xét các khẳng định sau

(I) $ A{{B}^{2}}+H{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}+H{{B}^{2}} $

(II) $ 2\text{A}{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}+H{{C}^{2}}=B{{C}^{2}} $

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Áp dụng định lí pytago trong các tam giác vuông ABC, ABH, ACH ta có

$ A{{B}^{2}}-H{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}=A{{H}^{2}}\Rightarrow A{{B}^{2}}+H{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}+H{{B}^{2}} $

$ B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=\text{A}{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}+\text{A}{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}=2\text{A}{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}+H{{C}^{2}} $

Câu 15: Cho hình vẽ bên

Độ dài đoạn $ AC $ bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Áp dụng định lí pytago trong tam giác vuông ABH, AHC ta có $ AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{20}^{2}}-{{16}^{2}}}=12 $

$ AC=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}=\sqrt{{{12}^{2}}+{{5}^{2}}}=13 $

Câu 16: Tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài ba cạnh như sau (1) 9cm; 15cm; 12cm. (2) 5dm; 13dm; 12dm. (3) 7m; 7m; 10m ? Chọn đáp án đúng.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta thấy:

(1) $ {{15}^{2}}={{9}^{2}}+{{12}^{2}} $ nên tam giác vuông.

(2) $ {{13}^{2}}={{5}^{2}}+{{12}^{2}} $ nên tam giác vuông.

(3) $ {{10}^{2}}\ne {{7}^{2}}+{{7}^{2}} $ nên tam giác không vuông.

Câu 17: Cho hình vẽ sau: Độ dài các đoạn thẳng BC, CD là:  

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ \Delta ABC $ vuông tại A, theo định lí Py-ta-go ta có:

$ B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{3}^{2}}+{{4}^{2}}=25 $ $ \Rightarrow BC=5\left( cm \right). $

$ \Delta BCD $ vuông tại B, theo định lí Py-ta-go ta có:

$ C{{D}^{2}}=B{{C}^{2}}+B{{D}^{2}}={{5}^{2}}+{{2}^{2}}=29 $ $ \Rightarrow CD=\sqrt{29}cm. $

Câu 18: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ điểm A có tọa độ $ \left( 1;1 \right) $ . Đường tròn tâm O với bán kính OA cắt các tia Ox, Oy theo thứ tự ở B và C. Tọa độ điểm B là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: $ OB=OC=OA=\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{2} $ (theo định lí Py-ta-go).

Vậy $ B\left( \sqrt{2};0 \right). $