Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
DẠNG 10: BIỂU THỨC HỮU TỈ
A. Bài minh họa
Bài 1: Cho biểu thức :
Bài 2: Cho
Chứng minh rằng
Bài 3: Cho chứng minh rằng :
Bài 4: Cho biểu thức:
Bài 5: Cho biểu thức
Bài 6: Cho biểu thức
Bài 7: Cho biểu thức
Bài 8: Cho và Tính
Bài 10: Cho Tính
Bài 11: Tìm số tự nhiên để: có giá trị là một số nguyên
Bài 12: Chứng minh rằng:
Bài 13: Cho và . Chứng minh rằng:
Bài 14: Cho phân thức
Bài 15: Cho biểu thức
Bài 16: a) Rút gọn biểu thức :
b) Cho Tính
Bài 17: Thực hiện phép tính:
Bài 18: Cho đôi một khác nhau và
Tính giá trị của biểu thức:
Bài 19: Cho ba số khác nhau đôi một và khác 0, đồng thời thỏa mãn diều kiện . Tính giá trị của biểu thức:
Bài 20: Cho trong đó la các số khác nhau và khác 0, Chứng minh rằng:
Bài 21: Cho biểu thức
a) Tìm giá trị của để biểu thức xác định
b) Tìm giá trị của để biểu thức có giá tri bằng 0
c) Tìm giá trị nguyên của dể biểu thức A có giá trị nguyên.
Bài 22:
a) Chứng minh :
b) Tìm biết: và
Bài 23: Cho biểu thức:
với
a) Rút gọn biểu thức
b) Tính giá trị của biểu thức biết thỏa mãn đẳng thức:
Bài 24: Cho Chứng minh rằng:
Bài 25: Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A, biết
c) Tìm giá trị của để
d) Tìm các giá trị nguyên của để A có giá trị nguyên.
Bài 26: Cho dương và . Tính :
Bài 27: Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị của để A đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 28: Cho 3 số khác 0, thỏa mãn Tính giá trị của biểu thức
Bài 29: Cho đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng:
Nếu thì
Bài 30: Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của P khi là nghiệm của phương trình
Bài 31: Cho biểu thức :
a) Tìm điều kiện của để biểu thức xác định
b) Rút gọn biểu thức
c) Tìm giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên.
Bài 32: Cho biểu thức :
a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm các giá trị nguyên của để bểu thức nhận giá trị nguyên
c) Tìm để
Bài 33: Cho các số nguyên thỏa mãn
Tính giá trị của biểu thức
Bài 34:
a) Cho Hãy rút gọn phân thức :
b) Tìm tích:
c) Cho và .
CMR:
d) Cho tính giá trị của biểu thức
Bài 35: Cho biểu thức :
a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm để
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của khi
Bài 36:
a) Rút gọn biểu thức sau:
b) Chứng minh rằng:
Bài 37:
a) Chứng minh rằng: Nếu thì
b) Cho ba số khác thỏa mãn :
Chứng minh rằng
Bài 38: Rút gọn biểu thức
Bài 39: Cho biểu thức
a) Hãy tìm điều kiện của để giá trị của biểu thức A được xác định
b) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến
Bài 40:
a) Cho đôi một khác nhau thỏa mãn:
Tính giá trị của biểu thức
b) Cho
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ta có:
Bài 41:
a) Tìm biết và
b) Tìm 2 số hữu tỉ và b biết:
c) Cho và Tính
d) Cho và
Tính
Bài 42:
a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
b) Tính giá trị biểu thức Biết
Bài 43: Cho biểu thức :
a) Tìm điều kiện của để giá trị của A được xác định
b) Rút gọn
c) Nếu là các số thực làm cho xác định và thỏa mãn:hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của
Bài 44: Cho biểu thức :
a) Tìm để giá trị của được xác định. Rút gọn biểu thức
b) Tìm giá trị nguyên của để A nhận giá trị nguyên
Bài 45: Cho biểu thức :
Bài 46: Cho biểu thức
Bài 47: Cho biểu thức:
Bài 48: Cho biểu thức:
Bài 49: Cho biểu thức :
Bài 50: Cho biểu thức
Bài 51: Cho biểu thức
Bài 52: Cho
Bài 53: Cho biểu thức :
Bài 54: Cho biểu thức :
Tìm giá trị nguyên lớn nhất của để có giá trị là một số nguyên
Bài 55. Cho biểu thức :
Bài 56. Cho biểu thức
Bài 57. Rút gọn biểu thức sau:
Bài 58. Chứng minh rằng:
Bài 59 Biết với . Tính giá trị biểu thức:
Bài 60. Cho biểu thức :
Bài 61. Cho và Chứng minh rằng
Bài 62. Rút gọn biểu thức :
Bài 63. Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0 và x + y = 1.
a) Rút gọn biểu thức .
b) Chứng minh rằng: A < - 4.
Bài 64. Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện:
4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0,
Tính gia trị của biểu thức T = (x – 4)2014 + (y – 4)2014 + (z – 4)2014.
Bài 65. Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0 và x + y = 1.
a) Rút gọn biểu thức .
b) Chứng minh rằng: A < - 4.
Bài 66. Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện:
4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0,
Tính gia trị của biểu thức T = (x – 4)2014 + (y – 4)2014 + (z – 4)2014.
Bài 67. Cho
Bài 68 Cho Tính
Bài 69. Cho biểu thức: .
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên ? Cho biểu thức:
Bài 70: Cho ba số x, y, z đôi một khác nhau, thỏa mãn x3 + y3 + z3 = 3xyz và xyz ≠ 0.
Tính giá trị của biểu thức: .
Bài 71. Cho biểu thức:
Bài 72. Cho Hãy tính giá trị của biểu thức
Bài 73. Tính tổng
Bài 74. Cho là 3 số thỏa mãn . Chứng minh rằng:
Bài 75: a) Cho thỏa mãn và Tính
b) Tính
Bài 76.
Bài 77. Cho biểu thức
c) Tìm giá trị của để
Bài 78. Cho ba số thỏa mãn
Tính:
Bài 79. Tính giá trị của biểu thức Biết
Bài 80. Cho và thỏa mãn : Tính giá trị của biểu thức
Bài 81: a) Tính giá trị của biểu thức sau: với
b) Cho . Tìm giá trị của biểu thức
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức
b) Tìm các giá trị của để
Bài 83: Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm x để và biểu diễn tập các giá trị tìm được của x trên trục số
d) Tìm tất cả các số nguyên x để A có giá trị là số nguyên
Bài 84: Cho phân thức
a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định
b) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1
Bài 85: Cho biểu thức
a) Rút gọn P
b) Tìm để P có giá trị nguyên
c) Tìm để
Bài 86: Cho biết . Hãy tìm giá trị của biểu thức
Bài 87: Cho biểu thức:
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có giá trị.
b) Rút gọn biểu thức P.
Bài 88: Cho biểu thức A =
a. Rút gọn biểu thức A
b. Tìm x để A có giá trị bằng 671
c. Tìm x Z để Z
Bài 89: Cho biểu thức , với và .
a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tính giá trị của Q biết .
c) Tìm x để Q > 0.
Bài 90: Cho biểu thức với .
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để .
Bài 91: Cho biểu thức , với và .
a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tìm giá trị của x để Q có giá trị là .
Bài 92: Cho và . Tính tỉ số
Bài 93: Cho và Chứng minh rằng :
Bài 94: Tìm đa thức A, biết rằng
Bài 95: Cho và . Chứng minh rằng:
Bài 96: a) Cho hai số thực x và y thỏa mãn và . Tính giá trị biểu thức
.
b) Cho a, b, c là ba số thực khác 0 thỏa mãn và . Tính giá trị biểu thức .
Bài 97: Cho và ( Với x, y, z, a, b, c khác 0).
Chứng minh rằng : .
Bài 98: Cho a +b +c0 và a3 + b3 + c3 = 3abc . Tính N =
Bài 99: Cho biểu thức A =
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x, để A < 0
c) Tìm các số tự nhiên x, thỏa mãn: A2 – = 6
Bài 100: Cho các số tự nhiên a,b,c thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca và a + b + c = 3.
Tính M = a2016 + 2015b2015 + 2020c
Bài 101: Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức .
b) Tìm để .
c) Tìm các giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của khi .
Bài 102: Cho Chứng minh rằng:
Bài 103: Cho biểu thức
Bài 104: Cho dương và
Tính
Bài 105: Cho biểu thức :
với .
a. Rút gọn biểu thức P.
b. Tính giá trị của biểu thức P biết x, y thỏa mãn đẳng thức:
.
Bài 106:
Bài 107: Cho và Chứng minh rằng:
Bài 108: Cho biểu thức :
Bài 109: Cho biểu thức
Bài 110: Cho biểu thức:
Bài 111: Cho biểu thức:
Bài 112: Cho biểu thức :
Bài 113: Cho: và (
Chứng minh
Bài 114: Cho Tính
Bài 115: Cho biểu thức
Bài 116: Cho thỏa mãn Tính giá trị của biểu thức
Bài 117: Cho Chứng minh rằng:
Bài 118: Cho biểu thức
Bài 119: Cho là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn:
Tính giá trị của biểu thức :
Bài 120: Chứng minh rằng nếu với
Thì
Bài 121: Cho ba số thỏa mãn . Tính
Bài 122: Cho Tính giá trị biểu thức
Bài 123: Cho biểu thức:
Bài 124: Cho biểu thức
Bài 125:
Bài 126: Cho
Bài 127: Cho biểu thức :
Bài 128: Cho biểu thức:
Bài 129: Rút gọn biểu thức:
Bài 130: Cho biểu thức :
Bài 131: Cho dương và . Tính
Bài 132: Cho Chứng minh rằng:
Bài 133: Cho chứng minh rằng
Bài 134: a) Cho và Tính giá trị của biểu thức
b) Cho và Tính giá trị của biểu thức
Bài 135: Cho Chứng minh rằng:
Bài 136: Cho và Chứng minh rằng:
Bài 137: Cho là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn:
Tính giá trị của biểu thức:
Bài 138: Cho Chứng minh rằng:
Bài 139: Cho biểu thức
Bài 140: Cho và Tính
Bài 141: Cho là số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn
Chứng minh là bình phương của một số hữu tỷ.
Bài 142: Cho thỏa mãn
Tính giá trị của biểu thức
Bài 143: Cho Chứng minh rằng:
Bài 144: Cho dương và .
Tính :
Bài 145: Biết và . Tính
Bài 146:
a) Cho Tính giá trị của biểu thức
b) Cho hai số thỏa mãn: và
Tính giá trị của biểu thức
Bài 147: Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn
b) Tìm để P=
Bài 148: Cho và tính giá trị của biểu thức:
Bài 149: Cho biểu thức
Bài 150: Cho biểu thức
Bài 151: Tính giá trị của biểu thức , với.
Bài 152: Cho biểu
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn .
b) Tìm để .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của khi
Bài 153: Cho
Bài 154: Cho . Chứng minh :
Bài 155: a) Cho x, y > 0. Chứng minh rằng và
b) Áp dụng: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c =1. Chứng minh rằng
Bài 156: Cho biểu thức
Tính theo biết rằng
Bài 157: Cho ba số khác 0 thỏa mãn đẳng thức: .
Tính giá trị của biểu thức:
Bài 158: a) Biết và . Tính giá trị của biểu thức
b) Biết và . Tính giá trị của biểu thức
Bài 159: Tính giá trị của biểu thức , với.
Bài 160: Cho là hai số khác nhau, biết .
Tính giá trị của biểu thức
Bài 161: Cho . Chứng minh rằng:
Bài 162: Cho . Tính giá trị của biểu thức:
Bài 163: Chứng minh rằng nếu ba số thỏa mãn điều kiện: và thì một trong ba số phải có một số bằng 2018.
Bài 164: Rút gọn các phân thức:
a) ;
b)
Bài 165: a) Rút gọn phân thức:
b) Rút gọn phân thức:
Bài 166: Cho các số khác 0, thoả mãn .
Tính giá trị của biểu thức
Bài 167: Cho là các số dương thỏa mãn .
Chứng minh rằng:
Bài 168: Cho . Chứng minh rằng:
Bài 169: Chứng minh rằng nếu và thì
Bài 170: Cho thỏa điều kiện và .
Hãy tính giá trị của biểu thức:
Bài 171: Rút gọn biểu thức:
a)
b)
Bài 172: Cho a + b + c = 0 và . Tính giá trị của biểu thức
Bài 173: Cho phân thức
a) Rút gọn A.
b) Tính để
Bài 174: a) Cho, hãy tính
b) Cho , hãy tính
Bài 175: Cho biểu thức:
c) Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.
Bài 176: Cho biểu thức:
c) Tìm các giá trị của để .
Bài 177: Cho phân thức:
b) Tìm để có giá trị nguyên.
Bài 178: Cho . Tính theo .
Bài 179: Cho là ba số dương khác 0 thỏa mãn: ( Với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa ). Tính: .
Bài 180: Cho và . Chứng minh:
Bài 181: Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện: . Chứng minh rằng:
Bài 182: Cho . Tính giá trị của biểu thức
Bài 183: Cho biểu thức
b) Tính giá trị của tại .
Bài 184: Cho là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn:
a) Tính giá trị của biểu thức:
b) Cho Chứng minh rằng:
Bài 185: Rút gọn biểu thức sau:
Bài 186:Cho biểu thức
Bài 187: Cho biểu thức
Tìm x để biểu thức xác định, khi đó hãy rút gọn biểu thức
Bài 188: Cho x2 + x =1.Tính giá trị biểu thức Q = x6 + 2x5 +2x4 +2x3 + 2x2 +2x + 1
Bài 189: Cho biểu thức
Bài 190: Cho biểu thức
Bài 191: Cho các số nguyên a,b,c thỏa mãn (a - b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 2010
Tính giá trị của biểu thức A = |a – b| +|b – c| +|c – a|
Bài 192: Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x :
(x – 1)4 –x2(x2 + 6) + 4x(x2 + 1)
Bài 193: Chứng minh rằng:
a(b – c)(b + c – a)2 + c(a – b)(a + b – c)2 = b(a – c)(a + c – b)2
Bài 194: Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng:
Nếu a + b + c = 0 thì
Bài 1195: Tìm 3 số dương a,b,c thỏa mãn :
Bài 196: Chứng minh rằng (x2 + y2 +z2)2 = 2(x4 + y4 +z4) biết x+ y + z = 0
Bài 197: Biết và . Tính
Bài 198: Biết với Tính giá trị biểu thức
Bài 199: Cho 10a2 = 10b2 – c2. Chứng minh rằng: (7a – 3b – 2c)(7a – 3b + 2c) = ( 3a – 7b)2
Bài 200: Chứng minh rằng: Với mọi thì giá trị của đa thức :
là bình phương của một số hữu tỉ
Bài 201: Cho ba số thỏa mãn Chứng minh rằng
Bài 202: Chứng minh rằng:
Bài 203: Cho dương và .
Tính
Bài 204: Tìm biết
Bài 205: Chứng minh rằng:
Bài 206:
a) Cho . Tính
b) Cho . Tính theo
Bài 207: Rút gọn biểu thức:
Bài 208: Cho biểu thức
c)Tìm giá trị của để . d) Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.
Bài 209: Cho biểu thức: với
Bài 210: Cho biểu thức:
Bài 211: Cho biểu thức :
Bài 212: Cho biểu thức :
Bài 213: Tính giá trị của biểu thức Biết
Bài 214: Rút gọn các biểu thức
Bài 215: Cho 3 số thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào các biến :
Bài 216: Cho biểu thức:
Bài 217: Cho biểu thức :
Bài 218:
Tìm giá trị của biểu thức
Bài 219: Cho biểu thức
Bài 220: Cho trong đó la các số khác nhau và khác 0, Chứng minh rằng:
Bài 221: Tính tổng:
Bài 222:
Chứng minh rằng
Bài 223: Cho biểu thức:
Bài 224: Rút gọn biểu thức sau:
Bài 225: Chứng minh rằng:
Bài 226: Cho đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng:
Nếu thì
Bài 227: Cho biểu thức
Bài 228: Tìm 3 số dương thỏa mãn : và
Bài 229: Một giải bóng chuyền có 9 đội bóng tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt (hai đội bất kỳ chỉ thi đấu với nhau 1 trận). Biết đội thứ nhất thắng trận và thua trận, đội thứ 2 thắng trận và thua trận, …., đội thứ 9 thắng trận và thua trận.
Chứng minh rằng
Bài 230: Cho Tính giá trị biểu thức
Bài 231: Cho biểu thức . Tìm để biểu thức xác định, khi đó hãy rút gọn biểu thức
Bài 232: Cho biểu thức
Bài 233: Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến
Bài 234:Chứng minh rằng
Bài 235: Cho biểu thức
Bài 236: Cho các số nguyên thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức
Bài 237: Cho biểu thức
Bài 238: Cho và Tính
Bài 239: Cho là số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn
Chứng minh là bình phương của một số hữu tỷ.
Bài 240: Cho thỏa mãn
Tính giá trị của biểu thức
Bài 241: Cho dương và .
Tính :
Bài 242: Cho Chứng minh rằng:
Bài 243: Rút gọn biểu thức:
Bài 244: Biết và . Tính
Bài 245:
Tính giá trị của biểu thức
Bài 246: Cho biểu thức
Bài 247: Cho và tính giá trị của biểu thức:
Bài 248: Rút gọn biểu thức:
Bài 249: Cho biểu thức
a) Rút gọn
b) Tìm giá trị lớn nhất của
Bài 250: Cho là số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn Chứng minh là bình phương của một số hữu tỷ.
Bài 251: Cho thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức
Bài 252: Cho Tính giá trị biểu thức
Bài 253: Cho biểu thức . Tìm để biểu thức xác định, khi đó hãy rút gọn biểu thức
Bài 254: Cho biểu thức A =
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi
c) Tìm giá trị của x, để A < 0.
Bài 255: Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn
b) Với thì không nhận những giá trị nào ?
c) Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.
Bài 256: Cho biểu thức . Chứng minh rằng:
a) Nếu là độ dài ba cạnh của một tam giác thì
b) Nếu thì hai trong ba phân thức đã cho của biểu thức bằng 1, phân thức còn lại bằng
Bài 257: Cho biểu thức BTHH
a) Rút gọn
b) Tìm để có giá trị nguyên
c) Tìm để
Bài 258: Cho biết Hãy tính giá trị của biểu thức:
Bài 259: Cho là những số thực thỏa mãn: và . Chứng minh:
Bài 260: Cho biểu thức với BTHH
a) Rút gọn biểu thức
b) Tính biết thỏa mãn
Bài 261: Cho là các số hữu tỷ khác 0 thỏa mãn . Chứng minh rằng: là bình phương của một số hữu tỷ
Bài 262: Rút gọn biểu thức sau và tìm giá tri nguyên của để biểu thức có giá trị nguyên:
Bài 263: Cho biểu thức :
a) Tìm điều kiện của để giá trị của biểu thức được xác định
b) Rút gọn biểu thức
c) Tìm để và biểu diễn tập các giá trị tìm được của trên trục số
d) Tìm tất cả các số nguyên để A có giá tri là số nguyên.
Bài 264: Cho và Tính tỉ số
Bài 265: Cho và . Tính:
Bài 266: Cho
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.
Bài 267:
a) Cho Chứng minh rằng
b) Cho (với Tính giá trị của biểu thức
Bài 268: Cho biểu thức :
a) Tìm điều kiện xác định, rồi rút gọn biểu thức
b) Tìm để
c) Tìm các giá trị của để
Bài 269: Cho biểu thức
a) Rút gọn M
b) Tìm nguyên đểcó giá trị là số nguyên dương
c) Tìm để
Bài 270: Cho biểu thức :
a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm giá trị nguyên của để giá trị của biểu thức là số nguyên.
Bài 271: Cho biểu thức :
a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.
Bài 272: Cho biểu thức
a) Tìm để giá trị của được xác định. Rút gọn biểu thức
b) Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.
Bài 273: Cho là hai số dương và Tính giá trị của biểu thức
Bài 274: Cho và Chứng minh rằng:
Bài 275: Cho và Tính
Bài 276: Cho Tính giá trị biểu thức
Bài 277: Cho . Chứng minh :
Bài 278: Cho biểu thức
Bài 279: Tìm giá trị nguyên của để giá trị của biểu thức sau có giá trị là số nguyên.
Bài 280: Cho biểu thức
Tính theo biết rằng
Bài 281: Cho biểu thức
Bài 282: Cho ba số khác 0 thỏa mãn đẳng thức: .
Tính giá trị của biểu thức:
Bài 283: Cho là 2018 số thực thoả mãn , với .
Tính
Bài 284: a) Biết và . Tính giá trị của biểu thức
b) Biết và . Tính giá trị của biểu thức
Bài 285: Rút gọn:
a) ; b) .
Bài 286: Tính giá trị của biểu thức , với.
Bài 287: a) So sánh hai số và
b) và
Bài 288: Cho . Chứng minh rằng:
Bài 289: Cho . Tính giá trị của biểu thức:
Bài 290: Chứng minh rằng nếu ba số thỏa mãn điều kiện: và thì một trong ba số phải có một số bằng 2018.
Bài 291: Cho biểu
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn .
b) Tìm để .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của khi
Bài 292: Rút gọn các phân thức:
a) ; b)
Bài 293: Chứng tỏ rằng đa thức: luôn không âm với mọi giá trị của biến .
Bài 294: a) Rút gọn phân thức:
b) Rút gọn phân thức:
Bài 295: Cho các số khác 0, thoả mãn .
Tính giá trị của biểu thức
Bài 296: Cho là các số dương thỏa mãn .
Chứng minh rằng:
Bài 297: Thực hiện phép tính:
a) .
b)
Bài 298: Cho . Chứng minh rằng:
Bài 299: Chứng minh rằng nếu và thì
Bài 300: a) Xác định để là số tự nhiên
b) Tính tổng
Bài 301: Cho thỏa điều kiện và .
Hãy tính giá trị của biểu thức:
Bài 302: Cho
Bài 303: Rút gọn biểu thức:
a)
b)
Bài 304: Cho a + b + c = 0 và . Tính giá trị của biểu thức
Bài 305: Cho phân thức
Bài 306: a) Cho, hãy tính
b) Cho , hãy tính
c) Cho thỏa mãn: . Tính
Bài 307: Cho biểu thức:
c)Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.
Bài 308: Cho . Tính ?
Bài 309: Cho biểu thức:
Bài 310: Cho phân thức:
Bài 311: Cho . Tính theo .
Bài 312: a) Cho là ba số dương khác 0 thỏa mãn: ( Với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa ). Tính: .
b) Tìm số tự nhiên khác 0, biết: .
c) Tính:
Bài 313: Cho và . Chứng minh:
Bài 314: Cho biểu thức với là một số tự nhiên chẵn. Hãy chứng tỏ có giá trị nguyên.
Bài 315: Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện: . Chứng minh rằng:
Bài 316: Cho . Tính giá trị của biểu thức
Bài 317: Cho biểu thức
Bài 318: Cho đa thức .
Tính giá trị của với là nghiệm của phương trình: .
Bài 319: So sánh và , biết: ; .
Bài 320: Hãy viết biểu thức sau : thành hiệu hai bình phương
Bài 321: Cho biểu thức :
Bài 322: Cho và
Chứng minh rằng giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến số
Bài 323: Cho
Bài 324: Chứng minh rằng: nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thỏa mãn thì tam giác đó là tam giác đều.
B. Lời giải bài minh họa.
Bài 1: Cho biểu thức :
Lời giải
Vì với mọi nên xảy ra khi và chỉ khi
Bài 2: Cho
Chứng minh rằng
Lời giải
Biến đổi đẳng thức để được
Biến đổi để có:
Biến đổi để có:
Vì với mọi
Nên xảy ra khi và chỉ khi
Từ đó suy ra
Bài 3: Cho chứng minh rằng :
Lời giải
Ta có:
Mặt khác
Bài 4: Cho biểu thức:
Lời giải
Thay vào, tính được
Vậy không có giá trị nào của để
Để thì Ư
Thử lại và kết hợp với ĐKXĐ ta được
Bài 5: Cho biểu thức
Lời giải
Từ đó tìm được và
Kết hợp điều kiện
Kết hợp với điều kiện :
Bài 6: Cho biểu thức
Lời giải
Với
Bài 7: Cho biểu thức
Lời giải
Ta có:
Kết hợp với điều kiện suy ra khi và
Vì với mọi nên với mọi
Dấu xảy ra khi
Vậy khi
Bài 8: Cho và Tính
Lời giải
Từ
Mà
Nếu
Nếu
Nếu
Bài 10: Cho Tính
Lời giải
nhận hai giá trị là hoặc 1
Bài 11: Tìm số tự nhiên để: có giá trị là một số nguyên
Lời giải
có giá trị nguyên
là ước tự nhiên của 2
Vậy với thì B có giá trị nguyên.
Bài 12: Chứng minh rằng:
Lời giải
(Vì )
Từ (1) và (2)
Bài 13: Cho và . Chứng minh rằng:
Lời giải
Suy ra điều phải chứng minh
Bài 14: Cho phân thức
Lời giải
b)
Bài 15: Cho biểu thức
Lời giải
Điều kiện
Vậy Ư
Ta có:
Để thì
Với thì
Bài 16: a) Rút gọn biểu thức :
b) Cho Tính
Lời giải
Do đó:
Bài 17: Thực hiện phép tính:
Lời giải
Bài 18: Cho đôi một khác nhau và
Tính giá trị của biểu thức:
Lời giải
Tương tự:
Do đó:
Tính đúng
Bài 19: Cho ba số khác nhau đôi một và khác 0, đồng thời thỏa mãn diều kiện . Tính giá trị của biểu thức:
Lời giải
Nếu thì
Do đó,
Nếu thì
Do đó, , trái giả thiết
Vậy
Bài 20: Cho trong đó la các số khác nhau và khác 0, Chứng minh rằng:
Lời giải
Vì nên:
Bài 21: Cho biểu thức
a) Tìm giá trị của để biểu thức xác định
b) Tìm giá trị của để biểu thức có giá tri bằng 0
c) Tìm giá trị nguyên của dể biểu thức A có giá trị nguyên.
Lời giải
a) ĐKXĐ:
b)
Vậy thì
c)
Vì
Vậy thì
Bài 22:
a) Chứng minh :
b) Tìm biết: và
Lời giải
a) Ta có:
Vậy đẳng thức được chứng minh.
b) Biến đổi về
Lập luận suy ra
Thay vào ta có:
Vậy
Bài 23: Cho biểu thức:
với
a) Rút gọn biểu thức
b) Tính giá trị của biểu thức biết thỏa mãn đẳng thức:
Lời giải
a) Với ta có:
Lập luận
Nên thay vào biểu thức
Bài 24: Cho Chứng minh rằng:
Lời giải
Nhân cả 2 vế của với , rút gọn suy ra đpcm
Bài 25: Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A, biết
c) Tìm giá trị của để
d) Tìm các giá trị nguyên của để A có giá trị nguyên.
Lời giải
a) Rút gọn kết quả :
c)
Bài 26: Cho dương và . Tính :
Lời giải
Vì
Vì
Vậy
Bài 27: Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị của để A đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó
Lời giải
a) ĐKXĐ
b)
Vậy
Bài 28: Cho 3 số khác 0, thỏa mãn
Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
Nếu
Nếu
Nếu
Bài 29: Cho đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng:
Nếu thì
Lời giải
Đặt
Ta có:
Ta lại có:
Tương tự ta có:
Vì
Do đó:
Bài 30: Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của P khi là nghiệm của phương trình
Lời giải
a) Với ta có:
Vậy thì
b)
thay vào ta có:
Kết luận với thì
Bài 31: Cho biểu thức :
a) Tìm điều kiện của để biểu thức xác định
b) Rút gọn biểu thức
c) Tìm giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên.
Lời giải
a) Điều kiện
b)
c) Ta có nguyên
Vậy là ước của
Bài 32: Cho biểu thức :
a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm các giá trị nguyên của để bểu thức nhận giá trị nguyên
c) Tìm để
Lời giải
ĐKXĐ:
b) Để nguyên thì
Vậy thì A nhận giá trị nguyên
Đối chiếu với ĐKXĐ ta có là giá trị cần tìm
Bài 33: Cho các số nguyên thỏa mãn
Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
Đặt Ta có:
Ta có:
Do la số nguyên có tổng bằng và nên
Bài 34:
a) Cho Hãy rút gọn phân thức :
b) Tìm tích:
c) Cho và .
CMR:
d) Cho tính giá trị của biểu thức
Lời giải
Tương tự: . Khi đó:
Khi đó:
Bài 35: Cho biểu thức :
a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm để
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của khi
Lời giải
a) ĐKXĐ:
Rút gọn ta có:
b)
Vậy với và thì
c) Ta có:
Khi Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: . Dấu xảy ra khi và chỉ khi Vậy GTNN của P bằng
Bài 36:
a) Rút gọn biểu thức sau:
b) Chứng minh rằng:
Lời giải
a) Điều kiện:
Ta có:
Vậy với
b) Ta có:
Đặt
Khi đó ta có:
=
Bài 37:
a) Chứng minh rằng: Nếu thì
b) Cho ba số khác thỏa mãn :
Chứng minh rằng
Lời giải
a) Ta có:
Ta có:
Do đó
b) Ta có:
Đặt Ta được:
Áp dụng kết quả câu a ta được:
Bài 38: Rút gọn biểu thức
Lời giải
Ta có:
Vậy
Bài 39: Cho biểu thức
a) Hãy tìm điều kiện của để giá trị của biểu thức A được xác định
b) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến
Lời giải
a) Giá trị của biểu thức được xác định với điều kiện:
b) Với ta có:
Vậy khi giá trị biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến
Bài 40:
a) Cho đôi một khác nhau thỏa mãn:
Tính giá trị của biểu thức
b) Cho
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ta có:
Lời giải
a) Ta có:
Tương tự:
và
Do đó:
b) Từ
Bởi vì : thế vào ta có:
Nếu
*) Nếu
Do đó:
Vậy trong mọi trường hợp, ta có:
Bài 41:
a) Tìm biết và
b) Tìm 2 số hữu tỉ và b biết:
c) Cho và Tính
d) Cho và
Tính
Lời giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Do đó:
Nên và
Vậy
c) Phân tích 2 giả thiết để suy ra đfcm
Phân tích , phần nào có thì thay bằng
d) Ta có:
Do đó:
Vậy
Bài 42:
a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
b) Tính giá trị biểu thức Biết
Lời giải
Vì nên Khi đó
Bài 43: Cho biểu thức :
a) Tìm điều kiện của để giá trị của A được xác định
b) Rút gọn
c) Nếu là các số thực làm cho xác định và thỏa mãn:hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của
Lời giải
Từ (gt):
(do
+)khi
+)khi . Từ đó , chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của và y, chẳng hạn :
Vậy chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là:
Bài 44: Cho biểu thức :
a) Tìm để giá trị của được xác định. Rút gọn biểu thức
b) Tìm giá trị nguyên của để A nhận giá trị nguyên
Lời giải
a) ĐK: Ta có:
Vậy
b)
Bài 45: Cho biểu thức :
Lời giải
Vậy
b) ĐK:
Ta có
Vậy
Bài 46: Cho biểu thức
Lời giải
Bài 47: Cho biểu thức:
Lời giải
Để có giá trị nguyên có giá trị nguyên
vì
Bài 48: Cho biểu thức:
Lời giải
Thay vào, tính được
Vậy không có giá trị nào của để
Để thì Ư
Thử lại và kết hợp với ĐKXĐ ta được
Bài 49: Cho biểu thức :
Lời giải
Bài 50: Cho biểu thức
Lời giải
Với
Với
Bài 51: Cho biểu thức
Lời giải
Bài 52: Cho
Lời giải
Nêu ĐKXĐ:
Rút gọn
ta thấy nguyên khi là ước của 3, mà , từ đó tìm được
Bài 53: Cho biểu thức :
Lời giải
ĐKXĐ:
b)
Vậy thì
Bài 54: Cho biểu thức :
Lời giải
Ta có:
Vì
Mà lớn nhất nên lớn nhất . Do đó (thỏa mãn )
Vậy giá trị nguyên lớn nhất của để có giá trị là một số nguyên.
Bài 55. Cho biểu thức :
Lời giải
1a)
1b)
Điều kiện :
Ta có:
Vậy
1c)
Với dương và thỏa mãn điều kiện ta có:
(vì Dấu xảy ra
Vậy GTLN của bằng 1
Bài 56. Cho biểu thức
Lời giải
Vì với mọi nên xảy ra khi và chỉ khi
Bài 57. Rút gọn biểu thức sau:
Lời giải
Điều kiện:
Ta có:
Vậy với
Bài 58. Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có:
Đặt
Khi đó ta có:
=
Bài 59
Biết với . Tính giá trị biểu thức:
Lời giải
Do nên loại
Với thì
Bài 60. Cho biểu thức :
Lời giải
So sánh với điều kiện suy ra thì
đạt GTLN đạt . Lúc đó
Vậy GTLN của là khi
Bài 61. Cho và Chứng minh rằng
Lời giải
Từ
Do đó:
Suy ra :
(do )
Suy ra
Bài 62. Rút gọn biểu thức:
Lời giải
Điều kiện:
Bài 63. Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0 và x + y = 1.
a) Rút gọn biểu thức .
b) Chứng minh rằng: A < - 4.
Lời giải
a) Với x + y = 1, biến đổi và thu gọn A.
b) (vì x > 0; y < 0 và x + y = 1)
Suy ra A < - 4.
Bài 64. Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện:
4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0,
Tính gia trị của biểu thức T = (x – 4)2014 + (y – 4)2014 + (z – 4)2014.
Lời giải
4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0
⇔ [4x2 – 4x(y + z) + (y + z)2]+ (y2 + z2 – 6y – 10z + 34) = 0
⇔ (2x – y – z)2 + (y – 3)2 + (z – 5)2 = 0
…
⇔ y = 3; z = 5; x = 4
Khi đó T = (4 – 4)2014 + (3 – 4)2014 + (5 – 4)2014 = 2.
Bài 65. Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0 và x + y = 1.
a) Rút gọn biểu thức .
b) Chứng minh rằng: A < - 4.
Lời giải
a) Với x + y = 1, biến đổi và thu gọn A.
b) (vì x > 0; y < 0 và x + y = 1)
Suy ra A < - 4.
Bài 66: Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện:
4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0,
Tính gia trị của biểu thức T = (x – 4)2014 + (y – 4)2014 + (z – 4)2014.
Lời giải
4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0
⇔ [4x2 – 4x(y + z) + (y + z)2]+ (y2 + z2 – 6y – 10z + 34) = 0
⇔ (2x – y – z)2 + (y – 3)2 + (z – 5)2 = 0
…
⇔ y = 3; z = 5; x = 4
Khi đó T = (4 – 4)2014 + (3 – 4)2014 + (5 – 4)2014 = 2.
Bài 67 Cho
Lời giải
Dấu xảy ra
Vậy GTNN của
Bài 68.
Cho Tính
Lời giải
Ta có:
Nên
Bài 69. Cho biểu thức: .
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên ?Cho biểu thức:
Lời giải
* ĐKXĐ: x ≠ ±1
a)
b) =
Để P Z thì Z x – 1 Ư(1) = {1; -1}
+) Với x-1 = 1 thì x = 2 (TMĐKXĐ)
+) Với x-1=-1 thì x = 0 (TMĐKXĐ)
Vậy P nguyên khi x {2;0}.
Bài 70.
Cho ba số x, y, z đôi một khác nhau, thỏa mãn x3 + y3 + z3 = 3xyz và xyz ≠ 0.
Tính giá trị của biểu thức: .
Lời giải
x3 + y3 + z3 = 3xyz (x ≠ y ≠ z; xyz ≠ 0)
(x+y)3 – 3xy(x+y) + z3 – 3xyz= 0
(x+y+z)3 – 3z(x+y)(x+y+z) – 3xy(x+y+z) = 0
(x+y+z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) = 0
(x+y+z)[(x – y)2 + (y – z)2 + (z-x)2] = 0
Vậy = (-16) + (-13) + 2038 = 2019.
Bài 71. Cho biểu thức:
Lời giải
a)
b)
c)
M có giá trị nguyên Ư(1)
Vậy
Bài 72. Cho Hãy tính giá trị của biểu thức
Lời giải
Với thì
Với thì
Bài 73. Tính tổng
Lời giải
Bài 74. Cho là 3 số thỏa mãn . Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có: nên từ đề bài suy ra
Không mất tính tổng quát , giả sử thì , suy ra , do đó:
Bài 75 a) Cho thỏa mãn và Tính
b) Tính
Lời giải
a) Từ
Vì nên
Ta có:
b) Với ta có:
Áp dụng vào bài toán ta có:
Bài 76. a) Tính giá trị của biểu thức tại
b)Cho và Tính giá trị của biểu thức sau theo và b:
Lời giải
Vậy giá tri của biểu thức tại là 4.
Thay và vào biểu thức ta được:
Vậy giá trị của biểu thức tại và là
Bài 77. Cho biểu thức
c) Tìm giá trị của để
Lời giải
a)Với thì:
b) Tại thì A có giá trị là
c)Với thì
Vì nên
Bài 78. Cho ba số thỏa mãn
Tính:
Lời giải
Thay vào M ta có:
Bài 79. Tính giá trị của biểu thức Biết
Lời giải
Vì nên
Khi đó
Bài 80. Cho và thỏa mãn : Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
Ta có:
Bài 81: a) Tính giá trị của biểu thức sau: với
b) Cho . Tìm giá trị của biểu thức
Lời giải
b)
Vậy
Bài 82: Cho biểu thức
Lời giải
a) ĐKXĐ:
b) với mọi
Để
Vậy để thì
Bài 83: Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm x để và biểu diễn tập các giá trị tìm được của x trên trục số
d) Tìm tất cả các số nguyên x để A có giá trị là số nguyên
Lời giải
a) ĐKXĐ:
b) Rút gọn được :
c) Để thì:
Biểu diễn trên trục số:
d)
9 | ||||
Loại | Loại | Loại |
a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định
b) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1
Lời giải
b) Rút gọn
Bài 85: Cho biểu thức
a) Rút gọn P
b) Tìm để P có giá trị nguyên
c) Tìm để
Lời giải
a) ĐKXĐ:
Ta có:
Vậy
b) Ta có
Từ đó suy ra , kết hợp với điều kiện được
c)
Mà nên và xvà
Kết hợp với ĐKXĐ được và
Bài 86: Cho biết . Hãy tìm giá trị của biểu thức
Lời giải
Lại có :
Suy ra
Bài 87: Cho biểu thức:
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có giá trị.
b) Rút gọn biểu thức P.
Lời giải
a) Tìm điều kiện đúng:
b) Rút gọn đúng:
=
Bài 88: Cho biểu thức A =
a. Rút gọn biểu thức A
b. Tìm x để A có giá trị bằng 671
c. Tìm x Z để Z
Lời giải
a) ĐKXĐ x0, -1,
Ta có
b) Ta có A = 671 (thỏa mãn)
c) Ta có Với x Z để Z thì x -1 phải là ước của 6
Hay x -1 {1; 2; 3; 6}
Kết hợp với ĐKXĐ ta có x {-5; 2; 3; 4; 7}
Bài 89: Cho biểu thức , với và .
a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tính giá trị của Q biết .
c) Tìm x để Q > 0.
Lời giải
a) Với ta có:
b)
Khi
Khi
c) Q > 0
Kết hợp với ĐKXĐ ta có là giá trị cần tìm.
Bài 90: Cho biểu thức với .
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để .
Lời giải
a)
b) Với điều kiện ta có
.
Vậy với thì .
Bài 91: Cho biểu thức , với và .
a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tìm giá trị của x để Q có giá trị là .
Lời giải
Với ĐK:
Ta có
b) Q = =
x = -2 thỏa ĐKXĐ nên là giá trị cần tìm.
Bài 22: Cho và . Tính tỉ số
Lời giải
Bài 33: Cho và Chứng minh rằng :
Lời giải
Biến đổi:
(do và )
Suy ra điều phải chứng minh.
Bài 94: Tìm đa thức A, biết rằng
Lời giải
Bài 95: Cho và . Chứng minh rằng:
Lời giải
Từ
Ta có:
Bài 96: a) Cho hai số thực x và y thỏa mãn và . Tính giá trị biểu thức
.
b) Cho a, b, c là ba số thực khác 0 thỏa mãn và . Tính giá trị biểu thức .
Lời giải
a)
Thay số, ta được .
b)
.
Vậy B = 2.
Bài 97: Cho và ( Với x, y, z, a, b, c khác 0).
Chứng minh rằng : .
Lời giải
Từ :
ayz + bxz + cxy = 0
Ta có :
Bài 98: Cho a +b +c0 và a3 + b3 + c3 = 3abc . Tính N =
Lời giải
a) a3 + b3 + c3 = 3abc
a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc = 0 ( vì a +b +c 0)
2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2ac –2bc = 0
(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0
Vì (a – b)2 0 a, b; (b – c)2 0 b,c; (c – a)2 0 a, c.
Nên (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 0 a, b,c ;
Do đó (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0 a, b,c
Khi a – b = 0 và b – c = 0 và c – a =0
a = b = c
Mà a +b +c 0 a = b = c 0 (*)
Thay (*) vào N ta có: .
Bài 99: Cho biểu thức A =
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x, để A < 0
c) Tìm các số tự nhiên x, thỏa mãn: A2 – = 6
Lời giải
a. ÑKXĐ: x 1; x -2; x 3
A =
b. A < 0
< 0
x – 1 > 0 (vì -3 < 0)
x >1
Đối chiếu với điều kiện ta có x > 1 và x 3 thì thỏa mãn đầu bài
c. Ta có: A2 – = 6A2 – – 6 = 0
Đặt = m (ĐK: m 0).
Ta có m2 – m – 6 = 0
(m + 2) (m – 3) = 0
Với m = 3 ta có = 3
= 1
Mà x là số tự nhiên và x 1 ; x -2; x 3 nên x = 2; x = 0 thỏa mãn.
Vậy x thì thỏa mãn đầu bài.
Bài 100: Cho các số tự nhiên a,b,c thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca và a + b + c = 3.
Tính M = a2016 + 2015b2015 + 2020c
Lời giải
Ta có: a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca
2(a2 + b2 + c2) – 2(ab + bc + ca) = 0
(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0 (1)
Mà (a – b)2 0 với mọi a,b.
(b – c)2 0 với mọi b,c.
(c – a)2 0 với mọi a,c.
Nên (1) a = b = c
Lại có a + b + c = 3 a = b = c = 1
M = a2016+ 2015b2015+ 2020c
= 1 + 2015.1 +2020.1
= 4036
Bài 101: Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức .
b) Tìm để .
c) Tìm các giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của khi .
Lời giải
a) ĐKXĐ :
b) với ĐKXĐ
Vậy thì
c)
Với . Để nguyên thì nguyên là ước của 1.
*) (TMĐK)
*) (Loại do) ĐKXĐ
Vậy thì nhận giá trị nguyên.
d) =
Vì nên và > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương và ta có
Đẳng thức xảy ra khi ( x – 1)2 = 1
x – 1 = 1 (vì x – 1 > 0) x = 2 (TMĐK)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 khi x = 2
Bài 102: Cho Chứng minh rằng:
Lời giải
Nhân cả 2 vế của với
Sau đó rút gọn ta được điều phải chứng minh.
Bài 103: Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm giá trị của , biết
c) Tìm giá trị của để
d) Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên
Lời giải
a) Rút gọn được kết quả:
b)
c)
d) .
Bài 104: Cho dương và
Tính
Lời giải
Với
Với
Vậy
Bài 105: Cho biểu thức :
với .
a. Rút gọn biểu thức P.
b. Tính giá trị của biểu thức P biết x, y thỏa mãn đẳng thức:
.
Lời giải
Với ta có:
P =
= - .
= + .
= + =
Ta có:
Lập luận suy ra
Ta thấy x = 1; y = -3 thỏa mãn điều kiện:
nên thay x = 1; y =- 3 vào biểu thức P =
ta có: P=
Bài 106:
Giải:
Phân tích:
Điều kiện:
Vậy
Ta có:
Với thì
Bài 107: Cho và Chứng minh rằng:
Giải:
Bài 108: Cho biểu thức :
Giải:
Vậy
b) ĐK:
Ta có
Vậy
Bài 109: Cho biểu thức
Giải:
Bài 110: Cho biểu thức:
Giải:
Để có giá trị nguyên có giá trị nguyên
vì
Bài 111: Cho biểu thức:
Tìm nguyên để nhận giá trị là số nguyên
Giải:
Thay vào, tính được
Vậy không có giá trị nào của để
Để thì Ư
Thử lại và kết hợp với ĐKXĐ ta được
Bài 112: Cho biểu thức :
Giải:
Bài 113: Cho: và (
Chứng minh
Giải:
Bài 114: Cho Tính
Giải:
(vì
Theo giả thiết
Bài 115: Cho biểu thức
Giải:
Với
Với
Bài 116: Cho thỏa mãn Tính giá trị của biểu thức
Giải:
Xét
Vì
Bài 117: Cho Chứng minh rằng:
Giải:
Nhân cả 2 vế của với , rút gọn suy ra đpcm
Bài 118: Cho biểu thức
Giải:
Bài 119: Cho là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn:
Tính giá trị của biểu thức :
Giải:
Tương tự:
Bài 120: Chứng minh rằng nếu với
Thì
Giải:
Từ gt
Do nên
Hay
Bài 121: Cho ba số thỏa mãn . Tính
Giải:
Thay vào M ta có:
Bài 122: Cho Tính giá trị biểu thức
Giải:
Bài 123: Cho biểu thức:
Lời giải
Để thì phải là ước của 2
Đối chiếu điều kiện tìm được hoặc thỏa mãn
Bài 124: Cho biểu thức
Lời giải
Từ đó tìm được và
Kết hợp điều kiện
Kết hợp với điều kiện :
Bài 125:
Lời giải
ĐKXĐ:
Kết luận: thì P nhận giá trị nguyên
Ta có:
Để thì
Với thì
Bài 126: Cho
Lời giải
Nêu ĐKXĐ:
Rút gọn
ta thấy nguyên khi là ước của 3, mà , từ đó tìm được
Bài 127: Cho biểu thức :
Lời giải
Bài 128: Cho biểu thức:
Lời giải
Để có giá trị nguyên có giá trị nguyên
vì
Bài 129: Rút gọn biểu thức:
Lời giải
Bài 130: Cho biểu thức :
Lời giải
Vậy với thì biểu thức có giá trị bằng 0
Để có giá trị nguyên thì
Vậy với giá trị nguyên của là 0 và thì có giá trị nguyên
Bài 131: Cho dương và .
Tính
Lời giải
Với
Với
Vậy
Bài 132: Cho Chứng minh rằng:
Lời giải
Nhân cả 2 vế của vớirút gọn
Bài 133: Cho chứng minh rằng
Lời giải
Ta có:
suy ra
Mặt khác:
Suy ra
(đpcm)
Bài 134: a) Cho và Tính giá trị của biểu thức
b) Cho và Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
Ta lại có:
Do đó:
Bài 135: Cho Chứng minh rằng:
Lời giải
Nhân cả 2 vế của với , rút gọn suy ra đpcm
Bài 136: Cho và Chứng minh rằng:
Lời giải
Với và ta có:
Vậy
Bài 137: Cho là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn:
Tính giá trị của biểu thức:
Lời giải
Tương tự:
Bài 138: Cho Chứng minh rằng:
Lời giải
Vì
Hay
Do đó:
Mà
Tương tự:
Vì vậy:
Suy ra :
Bài 139: Cho biểu thức
Lời giải
a) Giá trị của được xác định
Ta có:
b)
mà
Vậy hoặc
Bài 140: Cho và Tính
Lời giải
Biến đổi được:
Mà nên
Ta có:
Vậy và thì
Bài 141: Cho là số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn
Chứng minh là bình phương của một số hữu tỷ.
Lời giải
Ta có
Ta có :
Vì nên là số hữu tỷ , Vậy là bình phương của một số hữu tỷ.
Bài 142: Cho thỏa mãn
Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
Vì
Tương tự ta có:
Vậy
Ta có:
Vậy
Bài 143: Cho Chứng minh rằng:
Lời giải
Nhân cả 2 vế của với , rút gọn suy ra đpcm
Bài 144: Cho dương và .
Tính :
Lời giải
Vì
Vì
Vậy
Bài 145: Biết và . Tính
Lời giải
Bài 146:
a) Cho Tính giá trị của biểu thức
b) Cho hai số thỏa mãn: và
Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
a) Từ với ta có:
Ta lại có
Do đó:
b) Từ
Từ (1) và (2)
Vậy
Bài 147: Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn
b) Tìm để P=
Lời giải
a) ĐKXĐ:
b) với ĐKXĐ
Vậy
Bài 148: Cho và tính giá trị của biểu thức:
Lời giải
Bài 149: Cho biểu thức
Lời Giải:
Cho biểu thức
HD: ĐKXĐ:
và .
Ta có:
Suy ra .
Đề thì và ;
Ta có :
( thỏa ĐKXĐ )
Vậy,
Bài 150: Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện của để giá trị của biểu thức được xác định;
b) Tìm giá trị của để giá trị của bằng 0;
c) Tìm giá trị của để .
Lời Giải:
Cho biểu thức
a) ĐKXĐ: .
b) Rút gọn: .
Để
c)Ta có:
+ Với , ta có: ,
Giải pt ( không thỏa ĐKXĐ )
+ Với , ta có: ,
Giải pt ( vô lý )
Vậy không có giá trị nào của x để .
Bài 151: Tính giá trị của biểu thức , với.
Lời Giải:
Tính giá trị của biểu thức ,
với.
Thay vào ta được:
Vậy, khi .
Bài 152: Cho biểu
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn .
b) Tìm để .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của khi
Lời Giải:
a) ĐKXĐ:
Ta có:
Vậy, với .
b) Để với suy ra với
Vì nên chọn
Vậy,
c) Ta có:
Với nên và . Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương và ta có :
Dấu « = » với ( thỏa ĐKXĐ)
Vậy,
Bài 153: Cho . Chứng minh :
Lời Giải:
Ta có :
Do đó,
KL :…
Bài 154: a) Cho x, y > 0. Chứng minh rằng và
b) Áp dụng: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c =1. Chứng minh rằng
Lời Giải:
a) Cho x, y > 0. Chứng minh rằng và
HD: Dùng biến đổi tương đương.
b) Áp dụng: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c =1. Chứng minh rằng
Theo câu a, ta có:
Dấu “ =”
Bài 155: Cho biểu thức
Tính theo biết rằng
Lời Giải
Ta có:
Từ
Thay vào ta được
Bài 156: Cho ba số khác 0 thỏa mãn đẳng thức: .
Tính giá trị của biểu thức:
Lời Giải:
Từ giả thiết, suy ra
Xét hai trường hợp :
+ Nếu
+ Nếu
KL :.....
Bài 157: a) Biết và . Tính giá trị của biểu thức
b) Biết và . Tính giá trị của biểu thức
Lời Giải:
a) Biết và . Tính giá trị của biểu thức
Ta có:
Vậy, khi và .
b) Biết và . Tính giá trị của biểu thức
Ta có:
Vậy, khi và
Bài 158: Tính giá trị của biểu thức , với.
Lời Giải:
Tính giá trị của biểu thức ,
với.
Thay vào ta được:
Vậy, khi .
Bài 159: Cho là hai số khác nhau, biết .
Tính giá trị của biểu thức
Lời Giải:
Cho là hai số khác nhau, biết .
Tính giá trị của biểu thức
Ta có :
Vì nên
Khi đó,
Vậy, khi và .
Bài 160: Cho . Chứng minh rằng:
Lời Giải:
Ta có:
( Vì )
Bài 161: Cho . Tính giá trị của biểu thức:
Lời Giải:
Ta có: .
( Vì ). Vậy, khi .
Bài 162: Chứng minh rằng nếu ba số thỏa mãn điều kiện: và thì một trong ba số phải có một số bằng 2018.
Lời Giải:
Từ và suy ra
mà
Do đó, trong ba số phải có một số bằng 2018.
Bài 163: Rút gọn các phân thức:
a) ;
b)
Lời Giải:
* Nhớ :
Do đó, nếu hoặc thì .
a)
b)
Ta có :
Do đó,
Ta lại có:
Do đó,
Từ (1) và (2) suy ra
Bài 164: a) Rút gọn phân thức:
b) Rút gọn phân thức:
Lời Giải:
a)
b)
Bài 165: Cho các số khác 0, thoả mãn .
Tính giá trị của biểu thức
Lời Giải:
Từ
Đặt
+ Nếu thì . Vậy, .
+ Nếu thì . Vậy, .
+ Nếu thì . Vậy, .
Kết luận: Với điều kiện đã cho .
Bài 166: Cho là các số dương thỏa mãn .
Chứng minh rằng:
Lời Giải:
Ta có:
Vì nên
KL:…
Bài 167: Cho . Chứng minh rằng:
Lời Giải:
Nhân cả hai vế của với , ta được:
KL:...
Bài 168: Chứng minh rằng nếu và thì
Lời Giải:
Bình phương hai vế , ta được
Suy ra ( Vì ) hay
KL: …
Bài 169: Cho thỏa điều kiện và .
Hãy tính giá trị của biểu thức:
Lời Giải:
Ta có:
( Vì )
Suy ra
Vậy, khi và .
Bài 170: Rút gọn biểu thức:
a)
b)
Lời Giải:
Rút gọn biểu thức:
a)
b)
Bài 171: Cho a + b + c = 0 và . Tính giá trị của biểu thức
Lời Giải:
Ta có :
(1)
Ta lại có :
Do đó,
Bài 172: Cho phân thức
a) Rút gọn A.
b) Tính để
Lời Giải:
Ta có
ĐKXĐ: và
Ta lại có:
Suy ra
Vậy, với và
Ta có:
( Vì )
Kết hợp với ĐKXĐ, ta được và .
Bài 173: a) Cho, hãy tính
b) Cho , hãy tính
Lời Giải:
a) Cho , hãy tính
Ta có: suy ra với và .
Ta có: ( vì )
Vậy, với .
b) Cho , hãy tính
Đặt với
Khi đó,
Vậy, khi với .
c) Cho thỏa mãn: . Tính
Vì nên
Xét
Suy ra vì
Vậy, với thỏa mãn:
Bài 174: Cho biểu thức:
a) Rút gọn ;
b) Với thì không nhận những giá trị nào?
c) Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.
Lời Giải:
a) Rút gọn
ĐKXĐ: .
Ta có:
Vậy, .
b)Với thì không nhận những giá trị nào?
Ta có:
Với
Vậy, với thì P không nhận các giá trị từ (-1) đến 1, tức là .
c) Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.
Ta có:
Suy ra .
Lập bảng :
-6 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 6 | |
-3 | 0 | 1 | 2 | 4 | 5 | 6 | 9 |
Vậy, .
Bài 175: Cho biểu thức:
a) Rút gọn ;
b) Tìm các giá trị của để ;
c) Tìm các giá trị của để .
Lời Giải:
Cho biểu thức:
Ta có:
ĐKXĐ: .
Suy ra
Vậy, với .
Ta có ( thỏa ĐKXĐ )
Ta có: ( không thỏa ĐKXĐ )
Vậy, tại thì và không tồn tại để .
Ta có:
Kết hợp với ĐKXĐ, ta có: và .
Bài 176: Cho phân thức:
a) Rút gọn ;
b) Tìm để có giá trị nguyên
Lời Giải:
Ta có:
ĐKXĐ: .
Khi đó, với .
Để có giá trị nguyên với và thì ( thỏa ĐKXĐ)
Vậy, hoặc thì nhận giá trị nguyên.
Bài 177: Cho . Tính theo .
Lời Giải:
Cho . Tính theo .
Ta có:
Thay vào , rút gọn ta được .
Bài 178: Cho là ba số dương khác 0 thỏa mãn: ( Với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa ). Tính: .
Lời Giải:
Ta có:
Khi đó,
Vậy, với là ba số dương khác 0.
Bài 180: Cho và . Chứng minh:
Lời Giải:
Với và , ta có:
( Vì và )
( Vì và )
( Vì )
Vậy, với và .
Bài 181: Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện: . Chứng minh rằng:
Lời Giải:
Ta có:
.
Vậy, với .
Bài 182: Cho . Tính giá trị của biểu thức
Lời Giải:
Cho . Tính giá trị của biểu thức
Ta có:
Do đó,
Vậy, khi .
Bài 183: Cho biểu thức
b) Tính giá trị của tại .
Lời Giải:
Ta có: với .
Do đó,
Vậy, .
Tại ta có
Vậy, tại .
Bài 184:
Tính giá trị của biểu thức:
b) Cho Chứng minh rằng:
Lời Giải:
Tương tự:
Hay
Do đó:
Mà
Tương tự:
Vì vậy:
Suy ra :
Bài 185: Rút gọn biểu thức sau:
Lời giải
Điều kiện:
Ta có:
= =
=
Vậy
Bài 186: Cho biểu thức
Lời giải
Vậy thì
b) Ta có : x2 – 3x + 2 = 0
thay x= 2 vào P ta có: P =
Kết luận với x = 2 thì P =
Bài 187: Cho biểu thức
Tìm x để biểu thức xác định, khi đó hãy rút gọn biểu thức
Lời giải
Ta có:
ĐK :
Khi đó:
Vậy R xác định khi và
Bài 188: Cho x2 + x =1.Tính giá trị biểu thức Q = x6 + 2x5 +2x4 +2x3 + 2x2 +2x + 1
Lời giải
Ta có: Q = x6 + 2x5 +2x4 +2x3 + 2x2 +2x + 1
= x2.(x4 + 2x3 +x2) + (x4 + 2x3+x2) + x2 + x + x +1 = x2(x2 + x)2 +(x2 +x)2 + x + 2 = x2 + x + 3 = 4
Vậy Q = 4
Bài 189: Cho biểu thức
Lời giải
a) ĐKXĐ : . Rút gọn được:
b) A< 0 ⬄ x – 1 < 0 ⬄ x < 1
Đối chiếu với ĐKXĐ, ta được x < 1
c) Ta có:
Lập luận để suy ra :
Bài 190: Cho biểu thức
Lời giải
Từ đó tìm được tập hợp các giá trị của x để A nhận giá trị nguyên là
Mà mọi x
Vậy Max A= 3 ⬄ x = 0
Bài 191: Cho các số nguyên a,b,c thỏa mãn (a - b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 2010
Tính giá trị của biểu thức A = |a – b| +|b – c| +|c – a|
Lời giải
Đặt
Ta có:
Do x,y,z là số nguyên có tổng bằng 0 và xyz = 70 = (-2).(-5).7 nên
Suy ra A = |a – b| +|b – c| +|c – a| = 14
Bài 192: Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x :
(x – 1)4 –x2(x2 + 6) + 4x(x2 + 1)
Lời giải
Ta có: (x – 1)4 –x2(x2 + 6) + 4x(x2 + 1) = x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 1 – x4 – 6x2 + 4x3 + 4x = 1
Vậy với mọi giá trị của x biểu thức đã cho không phụ thuộc vào biến x.
Bài 193: Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng:
Nếu a + b + c = 0 thì
Lời giải
Ta có: a(b – c)(b + c – a)2 + c(a – b)(a + b – c)2 - b(a – c)(a + c – b)2 = 0 (1)
Đặt
Khi đó ta có:
VT =
=
Bài 194: Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng:
Nếu a + b + c = 0 thì
Lời giải
Đặt : = y; (1)
Ta có: )
Ta lại có:
Tương tự ta có:
Vì a + b + c = 0 nên suy ra a3 + b3 + c3 = 3abc
Do đó:
Bài 195: Tìm 3 số dương a,b,c thỏa mãn :
Lời giải
Từ giả thiết : a2 + 2c2 = 3b2 + 19 suy ra a2 + 2c2 - 3b2 = 19
Ta có:
Suy ra :
Vậy a = 7; b = 8; c =9
Bài 196: Chứng minh rằng (x2 + y2 +z2)2 = 2(x4 + y4 +z4) biết x+ y + z = 0
Lời giải
Ta có: x + y + z = 0 suy ra x = -(y+z)
Do đó: x2 = [-(y+z) ]2
⬄ x2 = y2 + z2 + 2yz ⬄ x2 – y2 – z2 = 2yz
⬄ (x2 – y2 –z2) = 4y2z2 ⬄ x4 + y4 + z4 = 2x2y2 + 2y2z2 + 2x2z2
⬄ 2(x4 + y4 + z4) = x4 + y4 + z4 + 2x2y2 + 2y2z2 + 2x2z2
⬄ 2(x4 + y4 + z4) = (x4 + y4 + z4)2
Bài 197: Biết và . Tính
Lời giải
Bài 198: Biết với Tính giá trị biểu thức
Lời giải
Do nên loại
Với thì
Bài 199: Cho 10a2 = 10b2 – c2. Chứng minh rằng: (7a – 3b – 2c)(7a – 3b + 2c) = ( 3a – 7b)2
Lời giải
VT = (7a – 3b)2 – 4c2 = 49a2- 42ab + 9b2 – 4c2
mà 10a2 = 10b2 + c2 nên c2 = 10a2 – 10b2
nên VT = 49a2 – 42ab + 9b2 – 4(10a2 – 10b2)
= 49a2 – 42ab + 9b2 – 40a2 + 40b2 = 9ª2 – 42ab + 49b2 = (3a – 7b)2 = VP
Bài 200: Chứng minh rằng: Với mọi thì giá trị của đa thức :
là bình phương của một số hữu tỉ
Lời giải
Ta có:
Đặt
Suy ra
Vậy
Bài 201: Cho ba số thỏa mãn Chứng minh rằng
Lời giải
Có:
Cộng được:
Cộng với được
Bài 202: Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có:
Đặt
Khi đó ta có:
=
Bài 203: Cho dương và .
Tính
Lời giải
Với
Với
Vậy
Bài 204: Tìm biết
Lời giải
Từ
Thay vào tỉ lệ thức ta được:
Vậy
Bài 205: Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có:
Đặt
Khi đó ta có:
=
Bài 206:
a) Cho . Tính
b) Cho . Tính theo
Lời giải
Cho . Tính
*Cách 1: Ta có
.
Vậy, khi .
*Cách 2:
b) Cho . Tính theo
+ Xét thì
+ Xét thì
Ta có
Mặt khác,
Từ và suy ra
Vậy, khi .
Bài 207: Rút gọn biểu thức:
Lời giải
Rút gọn biểu thức:
Xét
Do đó,
Bài 208: Cho biểu thức
c)Tìm giá trị của để . d) Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.
Lời giải
ĐKXĐ:
Ta có:
Vậy,
Ta có: hoặc .
+ Với ( thỏa ĐKXĐ) thì
+ Với ( thỏa ĐKXĐ) thì
+Vậy, khi thì hoặc
Ta có: (thỏa ĐKXĐ)
Vậy,
Để có giá trị nguyên khi nguyên và thì
Giải ra hoặc ( thỏa ĐKXĐ)
Suy ra thì có giá trị nguyên.
Bài 209: Cho biểu thức: với
Lời giải
Lập luận
Nên thay vào biểu thức
Bài 210:
Cho biểu thức:
Lời giải
Vậy
Kết hợp với điều kiện :
Bài 211: Cho biểu thức :
Lời giải
a) ĐKXĐ:
Rút gọn ta có:
b)
Vậy với và thì
Khi Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: . Dấu xảy ra khi và chỉ khi Vậy GTNN của P bằng
Bài 212: Cho biểu thức :
Lời giải
Vậy thì
Bài 213: Tính giá trị của biểu thức Biết
Lời giải
Vì nên
Khi đó
Bài 214: Rút gọn
Lời giải
Bài 215: Cho 3 số thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào các biến :
Lời giải
Bài 216: Cho biểu thức:
Lời giải
Để thì phải là ước của 2
Đối chiếu điều kiện tìm được hoặc thỏa mãn
Bài 217: Cho biểu thức :
Lời giải
Ta có: . Vì
Mà lớn nhất nên lớn nhất . Do đó (thỏa mãn )
Vậy giá trị nguyên lớn nhất của để có giá trị là một số nguyên
Bài 218: a) Tính giá trị của biểu thức sau: với
b)Cho
Tìm giá trị của biểu thức
Lời giải
Kết quả
Bài 219: Cho biểu thức
Lời giải
a) ĐKXĐ:
b) với mọi
Để
Vậy để thì
Bài 220: Cho trong đó la các số khác nhau và khác 0, Chứng minh rằng:
Lời giải
Vì nên:
Bài 221: Tính tổng:
Bài 222:
Chứng minh rằng
Lời giải
Bài 223: Cho biểu thức:
Lời giải
Vậy với thì nhận giá trị nguyên.
Bài 224: Rút gọn biểu thức sau:
Lời giải
Điều kiện:
Vậy với
Bài 225: Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có:
Đặt
Khi đó ta có:
=
Bài 226: Cho đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng:
Nếu thì
Lời giải
Đặt
Ta có:
Ta lại có:
Tương tự ta có:
Vì
Do đó:
Bài 227: Cho biểu thức
Lời giải
a) Với ta có:
Vậy thì
b) . Thay vào ta có:
Kết luận với thì
Bài 228: Tìm 3 số dương thỏa mãn : và
Lời giải
Từ giả thiết
Ta có:
Suy ra :
Bài 229: Một giải bóng chuyền có 9 đội bóng tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt (hai đội bất kỳ chỉ thi đấu với nhau 1 trận). Biết đội thứ nhất thắng trận và thua trận, đội thứ 2 thắng trận và thua trận, …., đội thứ 9 thắng trận và thua trận.
Chứng minh rằng
Lời giải
Mỗi đội bóng thi đấu với 8 đội bóng khác và hai đội bất kỳ chỉ gặp nhau 1 trận nên mỗi đôi sẽ thi đấu 8 trận (với
Đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Mặt khác, tổng số trận thắng của các đôi bằng tổng số trận đấu nên :
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
Bài 230: Cho Tính giá trị biểu thức
Lời giải
Ta có:
Vậy
Bài 231: Cho biểu thức . Tìm để biểu thức xác định, khi đó hãy rút gọn biểu thức
Lời giải
Ta có:
ĐK:
Khi đó:
Vậy xác định khi và
Bài 232: Cho biểu thức
Lời giải
1a) ĐKXĐ: Rút gọn được:
1b)
Đối chiếu với ĐKXĐ, ta được
1c) Ta có:
Lập luận để suy ra :
Bài 233: Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến
Lời giải
Vậy với mọi giá trị của biểu thức đã cho không phụ thuộc vào biến
Bài 234: Chứng minh rằng
Lời giải
Ta có:
Bài 235: Cho biểu thức
Lời giải
Vậy tập hợp các giá trị của để A nhận giá trị nguyên là
Mà với mọi
Vậy
Bài 236: Cho các số nguyên thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
Đặt
Ta có:
Do là số nguyên có tổng bằng 0 và nên
Bài 237: Cho biểu thức
Lời giải
Ta có:
mà
Vậy hoặc
Bài 238: Cho và Tính
Lời giải
Biến đổi được:
Mà nên
Ta có:
Vậy và thì
Bài 239: Cho là số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn
Chứng minh là bình phương của một số hữu tỷ.
Lời giải
Ta có
Ta có :
Vì nên là số hữu tỷ , Vậy là bình phương của một số hữu tỷ.
Bài 240: Cho thỏa mãn
Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
Vì
Tương tự ta có:
Vậy
Ta có:
Vậy
Bài 241: Cho dương và .
Tính :
Lời giải
Vì
Vì
Vậy
Bài 242: Cho Chứng minh rằng:
Lời giải
Nhân cả 2 vế của với , rút gọn suy ra đpcm
Bài 243: Rút gọn biểu thức:
Lời giải
Bài 244: Biết và . Tính
Lời giải
Bài 245:
Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
Ta lại có
Do đó:
Từ (1) và (2)
Vậy
Bài 246: Cho biểu thức
Lời giải
Vậy
Vì nên Áp dụng BĐT Cosi ta có:
Dấu “=” xảy ra
Vậy của P là
Bài 247: Cho và tính giá trị của biểu thức:
Lời giải
Bài 248: Rút gọn biểu thức:
Lời giải
Vậy với
Bài 249: Cho biểu thức
a) Rút gọn
b) Tìm giá trị lớn nhất của
Lời giải
Vậy với mọi
b) Ta có : với mọi
Nếu ta có
Nếu , chia cả tử và mẫu của cho ta có:
Ta có:
Nên ta có: . Dấu xảy ra khi
Vậy lớn nhất là khi
Bài 250: Cho là số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn .Chứng minh là bình phương của một số hữu tỷ.
Lời giải
Ta có
Ta có :
Vì nên là số hữu tỷ , Vậy là bình phương của một số hữu tỷ.
Bài 251: Cho thỏa mãn
Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
Vì
Tương tự ta có:
Vậy
Ta có:
Vậy
Bài 252: Cho Tính giá trị biểu thức
Lời giải
Ta có:
Vậy
Bài 253: Cho biểu thức . Tìm để biểu thức xác định, khi đó hãy rút gọn biểu thức
Lời giải
Ta có:
ĐK:
Khi đó:
Vậy xác định khi và
Bài 254: Cho biểu thức A = BTHT
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi
c) Tìm giá trị của x, để A < 0.
Lời giải
a) ĐKXĐ:
Với , ta có:
b) Ta có: hoặc
(không TMĐK)
hoặc (TMĐK)
Với , ta có:
A = = =
Vậy khi thì A =
c) Ta có: A < 0 (1)
Mà với mọi
Nên (1)
Vậy với x > 1 thì A < 0
Bài 255: Cho biểu thức BTHT
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn
b) Với thì không nhận những giá trị nào ?
c) Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.
Lời giải
a) ĐKXĐ:
b) Ta có:
Để thì
Vậy thì không nhận những giá trị từ đến
c) Ta có
P có giá trị nguyên Ư
Từ đó tính được (Chú ý loại
Bài 256: Cho biểu thức BTHT
Chứng minh rằng:
a) Nếu là độ dài ba cạnh của một tam giác thì
b) Nếu thì hai trong ba phân thức đã cho của biểu thức bằng 1, phân thức còn lại bằng
Lời giải
a) Vì là độ dài ba cạnh của tam giác nên và
Đặt
Ta cần chứng minh : hay
Ta có:
Suy ra
(đúng)
Từ đó suy ra đúng vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác hay
Bài 257: Cho biểu thức BTHH
a) Rút gọn
b) Tìm để có giá trị nguyên
c) Tìm để
Lời giải
a) ĐKXĐ:
Ta có:
Vậy
b) Ta có: Ư
Từ đó suy ra
Kết hợp với ĐKXĐ được
c)
Mà nên và và
Kết hợp với ĐKXĐ được và
Bài 258: Cho biết Hãy tính giá trị của biểu thức:
Lời giải
a) Từ do đó :
Lại có:
Suy ra
Bài 259: Cho là những số thực thỏa mãn:
và . Chứng minh: BTHT
Lời giải
Từ giả thiết suy ra:
Bài 260: Cho biểu thức với
a) Rút gọn biểu thức
b) Tính biết thỏa mãn
Lời giải
a)
b)
Thay vào biểu thức có
Vậy
Bài 261: Cho là các số hữu tỷ khác 0 thỏa mãn . Chứng minh rằng: là bình phương của một số hữu tỷ
Lời giải
Ta có:
Vậy là bình phương của một số hữu tỉ
Bài 262: Rút gọn biểu thức sau và tìm giá tri nguyên của để biểu thức có giá trị nguyên:
Lời giải
Để xác định thì
Khi đó nguyên thì nguyên hay nguyên. Mà
Với thỏa mãn (*) và
Với thỏa mãn và
Vậy thỏa mãn điều kiện bài ra.
Bài 263: Cho biểu thức : BTHT
a) Tìm điều kiện của để giá trị của biểu thức được xác định
b) Rút gọn biểu thức
c) Tìm để và biểu diễn tập các giá trị tìm được của trên trục số
d) Tìm tất cả các số nguyên để A có giá tri là số nguyên.
Lời giải
a) ĐKXĐ:
b) Rút gọn được:
c) Để thì
hoặc
Học sinh tự biểu diễn trên trục số
-5 | -1 | 1 | 5 | |
-1 | 3 | 5 | 9 | |
Loại | Loại | Loại |
Thử lại, chỉ có là thỏa mãn. Vậy
Bài 264: Cho và Tính tỉ số
Lời giải
Bài 265: Cho và . Tính:
Lời giải
Ta có: =
= ( do x + y = 1 y - 1= -x và x – 1 = - y)
Bài 266: Cho
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.
Lời giải
a) =
Nêu ĐKXĐ:
Rút gọn
b)
ta thấy nguyên khi là ước của 3,
mà , từ đó tìm được
Bài 267:
a) Cho Chứng minh rằng
b) Cho (với Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
a)
b)Với
Áp dụng kết quả câu ta có:
Bài 268: Cho biểu thức :
a) Tìm điều kiện xác định, rồi rút gọn biểu thức
b) Tìm để
c) Tìm các giá trị của để
Lời giải
ĐKXĐ:
b)
c)
Vậy thì
Bài 269: Cho biểu thức
a) Rút gọn M
b) Tìm nguyên đểcó giá trị là số nguyên dương
c) Tìm để
Lời giải
a) và
xác định
b) Với có giá trị nguyên dương có giá trị nguyên dương nguyên dương
là ước của 1(Thỏa mãn điều kiện)
Thử lại: Với ta có: có giá trị bằng 1(Thỏa mãn)
Với ta có: có giá trị bằng 0 (không thỏa mãn)
Vậy
c)
Ta có: hoặc Giải được hoặc
Kết hợp với điều kiện ta có: hoặc
Bài 270: Cho biểu thức :
a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm giá trị nguyên của để giá trị của biểu thức là số nguyên.
Lời giải
a) ĐKXĐ:
b) có giá trị nguyên khi là số nguyên thì có giá trị nguyên
là Ư(2)
Đối chiếu ĐK thì có thỏa mãn
Bài 271: Cho biểu thức :
a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.
Lời giải
a)
b) Với Ta có:
Để thì phải là ước của 2
Xét từng trường hợp tìm đối chiếu điều kiện
Bài 272: Cho biểu thức
a) Tìm để giá trị của được xác định. Rút gọn biểu thức
b) Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.
Lời giải
a) Giá trị của được xác định
Ta có:
mà
Vậy hoặc
Bài 273: Cho là hai số dương và Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
Có
Do là hai số dương và
Nên
Với (loại) hoặc
Với hoặc
Bài 274: Cho và Chứng minh rằng:
Lời giải
Từ
Ta có:
Bài 275: Cho và Tính
Lời giải
Biến đổi được:
Mà nên
Ta có:
Vậy và thì
Bài 276: Cho Tính giá trị biểu thức
Lời giải
Bài 277: Cho . Chứng minh :
Lời giải
Ta có :
Do đó,
KL :…
Bài 278: Cho biểu thức
Lời giải
HD: ĐKXĐ:
và .
Ta có:
Suy ra .
Đề thì và ;
Ta có :
( thỏa ĐKXĐ )
Vậy,
Bài 279: Tìm giá trị nguyên của để giá trị của biểu thức sau có giá trị là số nguyên.
Lời giải
ĐKXĐ:
Ta có:
Để A có giá trị nguyên khi x nguyên thì
Lập bảng:
2x +1 | -4 | -2 | -1 | 1 | 2 | 4 |
2x | -5 | -3 | -2 | 0 | 1 | 3 |
x | -1 | 0 |
Vậy, .
Bài 280: Cho biểu thức
Tính theo biết rằng
Lời giải
Ta có:
Từ
Thay vào ta được
Bài 281: Cho biểu thức
Lời giải
a) ĐKXĐ: .
b) Rút gọn: .
Để
c)Ta có:
+ Với , ta có: ,
Giải pt ( không thỏa ĐKXĐ )
+ Với , ta có: ,
Giải pt ( vô lý )
Vậy không có giá trị nào của x để .
Bài 282: Cho ba số khác 0 thỏa mãn đẳng thức: .
Tính giá trị của biểu thức:
Lời giải
Từ giả thiết, suy ra
Xét hai trường hợp :
+ Nếu
+ Nếu
KL :.....
Bài 283: Cho là 2018 số thực thoả mãn , với .
Tính
Lời giải
Ta có :
Do đó,
Bài 284: a) Biết và . Tính giá trị của biểu thức
b) Biết và . Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
a) Biết và . Tính giá trị của biểu thức
Ta có:
Vậy, khi và .
b) Biết và . Tính giá trị của biểu thức
Ta có:
Vậy, khi và
Bài 285: Rút gọn:
a) ; b) .
Lời giải
a) ;
b)
Bài 286: Tính giá trị của biểu thức , với.
Lời giải
Thay vào ta được:
Vậy, khi .
Bài 287: a) So sánh hai số và
b) và
Lời giải
Ta có:
Vậy,
Bài 288: Cho . Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có:
( Vì )
Bài 289: Cho . Tính giá trị của biểu thức:
.
Lời giải
Ta có: .
( Vì ).
Vậy, khi .
Bài 290: Chứng minh rằng nếu ba số thỏa mãn điều kiện: và thì một trong ba số phải có một số bằng 2018.
Lời giải
Từ và suy ra
mà
Do đó, trong ba số phải có một số bằng 2018.
Bài 291: Cho biểu
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn .
b) Tìm để .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của khi
Lời giải
a) ĐKXĐ:
Ta có:
Vậy, với .
b) Để với suy ra với
Vì nên chọn
Vậy,
c) Ta có:
Với nên và . Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương và ta có :
Dấu « = » với ( thỏa ĐKXĐ)
Vậy,
Bài 292: Rút gọn các phân thức:
a) ; b)
Lời giải
* Nhớ :
Do đó, nếu hoặc thì .
a)
b)
Ta có :
Do đó,
Ta lại có:
Do đó,
Từ (1) và (2) suy ra
Bài 293: Chứng tỏ rằng đa thức: luôn không âm với mọi giá trị của biến .
Lời giải
Đặt , ta có:
Khi đó, với mọi giá trị của (Đpcm )
Bài 294: a) Rút gọn phân thức:
b) Rút gọn phân thức:
Lời giải
a)
b)
Bài 295: Cho các số khác 0, thoả mãn .
Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
Từ
Đặt
+ Nếu thì . Vậy, .
+ Nếu thì . Vậy, .
+ Nếu thì . Vậy, .
Kết luận: Với điều kiện đã cho .
Bài 296: Cho là các số dương thỏa mãn .
Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có:
Vì nên
KL:…
Bài 297: Thực hiện phép tính:
a) .
b)
Lời giải
a)
b)
Vậy,
Bài 298: Cho . Chứng minh rằng:
Lời giải
Nhân cả hai vế của với , ta được:
KL:...
Bài 299: Chứng minh rằng nếu và thì
Lời giải
Bình phương hai vế , ta được
Suy ra ( Vì ) hay
KL: …
Bài 300: a) Xác định để là số tự nhiên
b) Tính tổng
Lời giải
a) Xác định để là số tự nhiên
Để là số tự nhiên
Lập bảng :
-21 | -7 | -3 | -1 | 1 | 3 | 7 | 21 | |
-8 | 6 | 10 | 12 | 14 | 16 | 20 | 34 | |
-2 | 3 | 4 | 5 |
Vì nên chọn
Thử lại:
+ Với , ta có: ( Loại )
+ Với , ta có: ( Nhận )
+ Với , ta có: ( Nhận )
KL :
b) Tính tổng
Ta có:
Bài 301: Cho thỏa điều kiện và .
Hãy tính giá trị của biểu thức:
Lời giải
Ta có:
( Vì )
Suy ra
Vậy, khi và .
Bài 302: Cho
Lời giải
a) Tìm ĐKXĐ của , rút gọn
+ ĐKXĐ :
+ Rút gọn :
Vậy, với .
b)Tìm nguyên thỏa mãn phương trình
Ta có :
hoặc
hoặc ( thỏa ĐKXĐ )
Vậy, hoặc
Bài 303: Rút gọn biểu thức:
a)
b)
Lời giải
a)
b)
Bài 304: Cho a + b + c = 0 và . Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
Ta có :
(1)
Ta lại có :
Do đó,
Bài 305: Cho phân thức
Lời giải
Ta có
ĐKXĐ: và
Ta lại có:
Suy ra
Vậy, với và
Ta có:
( Vì )
Kết hợp với ĐKXĐ, ta được và .
Bài 306: a) Cho, hãy tính
b) Cho , hãy tính
c) Cho thỏa mãn: . Tính
Lời giải
a) Cho , hãy tính
Ta có: suy ra với và .
Ta có: ( vì )
Vậy, với .
b) Cho , hãy tính
Đặt với
Khi đó,
Vậy, khi với .
c) Cho thỏa mãn: . Tính
Vì nên
Xét
Suy ra vì
Vậy, với thỏa mãn:
Bài 307: Cho biểu thức:
c)Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.
Lời giải
a) Rút gọn
ĐKXĐ: .
Ta có:
Vậy, .
b)Với thì không nhận những giá trị nào?
Ta có:
Với
Vậy, với thì P không nhận các giá trị từ (-1) đến 1, tức là .
c) Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.
Ta có:
Suy ra .
Lập bảng :
-6 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 6 | |
-3 | 0 | 1 | 2 | 4 | 5 | 6 | 9 |
Vậy, .
Bài 308: Cho . Tính ?
Lời giải
ĐKXĐ : .
Ta có :
Vậy, với .
Bài 309: Cho biểu thức:
Lời giải
Ta có:
ĐKXĐ: .
Suy ra
Vậy, với .
Ta có ( thỏa ĐKXĐ )
Ta có: ( không thỏa ĐKXĐ )
Vậy, tại thì và không tồn tại để .
Ta có:
Kết hợp với ĐKXĐ, ta có: và .
Bài 310: Cho phân thức:
a)Rút gọn ;
b)Tìm để có giá trị nguyên.
Lời giải
Ta có:
ĐKXĐ: .
Khi đó, với .
Để có giá trị nguyên với và thì (thỏa ĐKXĐ)
Vậy, hoặc thì nhận giá trị nguyên.
Bài 311: Cho . Tính theo .
Lời giải
Ta có:
Thay vào , rút gọn ta được .
Bài 312: a) Cho là ba số dương khác 0 thỏa mãn: ( Với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa ). Tính: .
b) Tìm số tự nhiên khác 0, biết: .
c) Tính:
Lời giải
a) Cho là ba số dương khác 0 thỏa mãn: ( Với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa ). Tính: .
Ta có:
Khi đó,
Vậy, với là ba số dương khác 0.
b) Tìm số tự nhiên khác 0, biết: .
Ta có:
Khi đó, ta có:
Vậy, .
c) Ta có:
Vậy, .
Bài 313: Cho và . Chứng minh:
Lời giải
Với và , ta có:
( Vì và )
( Vì và )
( Vì )
Vậy, với và .
Bài 314: Cho biểu thức với là một số tự nhiên chẵn. Hãy chứng tỏ có giá trị nguyên.
Lời giải
Vì là một số tự nhiên chẵn nên .
Do đó
Ta có:
Ta cần c/m: . Thật vậy:
+ Nếu thì
+ Nếu thì
+ Nếu thì
Mà
Vậy, có giá trị nguyên với là một số tự nhiên chẵn.
Bài 315: Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện: . Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta có:
.
Vậy, với .
Bài 316: Cho . Tính giá trị của biểu thức
Lời giải
Ta có:
Do đó,
Vậy, khi .
Bài 317: Cho biểu thức
Lời giải
Ta có: với .
Do đó,
Vậy, .
Tại ta có
Vậy, tại .
Bài 318: Cho đa thức .
Tính giá trị của E với là nghiệm của phương trình: .
Lời giải
Ta có:
*)
*) (vô nghiệm).
Vậy với .
Bài 319: So sánh và , biết: ;
Lời giải
Bài 320: Hãy viết biểu thức sau : thành hiệu hai bình phương
Lời giải
Bài 321: Cho biểu thức :
Lời giải
Vì với mọi
Để . Vậy
Vậy phương trình vô nghiệm
Bài 322: Cho và
Chứng minh rằng giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến số
Lời giải
Vậy biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến số
Bài 323: Cho
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức
b) Tìm các giá trị thực của để và có giá trị là số nguyên.
Lời giải
Suy ra
Vậy
Bài 324: Chứng minh rằng: nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thỏa mãn thì tam giác đó là tam giác đều.
Lời giải
Xét hiệu
Suy ra
Vậy, thì tam giác đó là tam giác đều.
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới