Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
a/ Đáy có tất cả các cạnh đều bằng .
b/
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất độ dài đường cao của hình chóp nêu trên.
Hướng dẫn giải
Chứng minh nếu hình chóp tồn tại thì khi đó hình chóp là đều:
Chứng minh rằng các cạnh bên bằng nhau
Đặt : ; ; ..... ; .
Dùng định lý cosin trong các tam giác ; ; ...; ta có:
.......................................................
.
Đặt , ta có hệ: với
Trên đồng biến.
Do đó: thì vô lý.
Thật vậy: nếu . Ta có ( vô lý)
Tương tự nếu cũng suy ra điều vô lý: . Vậy .
Do ta được . Từ đó ta được: .
Chứng minh đáy là đa giác đều. Từ suy ra hình vuông góc của lên đáy cách đều các đỉnh của đáy. Đa giác có các cạnh bằng nhau và nội tiếp trong một đường tròn nên là đa giác đều.
a) Tìm lớn nhất, nhỏ nhất.
b) Chứng minh .Ta có các mặt bên của hònh chóp là các tam giác đều cạnh .
Ngoài ra: ; ; ...; .
Do đó: .
Xét tam giác vuông : .
.
; ; .
Hướng dẫn giải
A
B
C
D
G1
E1
M
H1
I1
N1
C
C’
A
B
D
E1
A’
B’
D’
E
G
H
H1
N1
I1
I
M
G1
Xác định đoạn
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng .
Do (gt) và Ksuy ra , suy ra tại .
Mà theo giả thiết cắt tại suy ra mà là trung điểm của đoạn nên phải là trung điểm của .
Từ đó suy ra cách dựng hai điểm .
Tính độ dài
Đặt .
Xét tam giác vuông, ta có: .
Xét tam giác vuông , ta có: ..
(Cách khác: Gọi là trung điểm của , suy ra được ở trên , suy ra .)
.
Cách khác: Dùng phương pháp tọa độ trong không gian....
Hướng dẫn giải
Chiều cao của hình chóp:
Thể tích của hình chóp:
Trung đoạn của hình chóp
Diện tích xung quanh của hình chóp:
a) Tính thể tích hình cầu nội tiếp hình chóp.
b) Tính diện tích của hình tròn thiết diện của hình cầu cắt bởi mặt phẳng đi qua các tiếp điểm của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp .
Hướng dẫn giải
(bán kính mặt cầu nội tiếp)
Thể tích hình chóp :
Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng đi qua các tiếp điểm của với các mặt bên của hình chóp:
Bán kính đường tròn giao tuyến:
Diện tích hình tròn giao tuyến:
Hướng dẫn giải
Ta có phương trình :
Với lần lượt là bán kính đáy của hình trụ, hình cầu và chiều cao ban đầu của cột nước.
Bấm máy giải phương trình:
Ta có:
B. Xét hai độ dài khác nhau . Tìm điều kiện của để tồn tại tứ diện có một cạnh bằng và các cạnh còn lại đều bằng .Với tứ diện này, hãy xác định mặt phẳng sao cho thiết diện của mặt phẳng và tứ diện là một hình vuông .Tính diện tích của hình vuông theo và .
Điều kiện độ dài :
+ Giả sử tứ diện tồn tại. Gọi là cạnh bằng , các cạnh đều cùng bằng . Gọi là trung điểm cạnh .Tam giác là tam giác cân:
. Từ Suy ra:
+Ngược lại với: .Dựng tam giác đều cạnh với chiều cao .
Dựng tam giác cân có , nằm trong mặt phẳng chứa và vuông góc với mặt phẳng .Ta có: mp. Tứ diện thỏa điều kiện bài toán.
Xác định mặt phẳng :
+ Giả sử thiết diện là hình vuông . Các mặt của tứ diện lần lượt chứa các đoạn giao tuyếnđược gọi tên là mặt , mặt , mặt , mặt .
Do nên cạnh chung của mặt và mặt ; cạnh chung của mặt và mặt nằm trên hai đường thẳng song song với mp .
Ngoài ra hai đường thẳng này vuông góc với nhau, vì vuông góc .
+ Do khác nên tứ diện chỉ có một cặp cạnh đối vuông góc , đó là và .
Vì vậy mặt phẳng phải song song với và .
+ Gọi giao điểm của mp với , lần lượt là .Đặt: .
Ta có: ;. Từ ta có : .
+ Diện tích của hình vuông là :
........................................................................................................................................
1/ Tìm tất cả các vị trí của điểm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
2/ Tìm giá trị lớn nhất của .
Hướng dẫn giải
1/
+ .Dấu bằng khi và chỉ khi .
+ cắt mp tại tâm của hình bình hành . Gọi là trung điểm của . Từ dựng mặt phẳng song song với mp cắt lần lượt tại . Từ dựng mặt phẳng song song với mp cắt tại .
Ta có : trùng thuộc cạnh hình bình hành
Nối cắt cạnh hình bình hành tại , ta có : .
+ Từ đó khi và chỉ khi thuộc cạnh hình bình hành
là hình chiếu song song của hình bình hành lên mp
theo phương .
2/
+ Miền hình bình hành hợp bởi các miền tam giác
thuộc miền hình bình hành nên thuộc một trong bốn miền tam giác này. Chẳng hạn thuộc miền . ; ; .
Do đó thuộc miền và thuộc đoạn , với và lần lượt là trung điểm của và .
Do đó: . Vì vậy: hay .
+Đặt : Ta có : với .
vàø . .
+Giá trị lớn nhất của là : . Đạt khi trùng với hoặc các đỉnh .
Chứng minh:
a/
b/ Diện tíchcủa tam giác là: .
Hướng dẫn giải
Câu a:
+ Do ở trên mặt phẳng phân giác của góc nhị
diện cạnh nên khoảng cách từđến hai mặt phẳng
, bằng nhau và kí hiệu là .
+ Do đó:
Câu b:
+ Tính công thức thể tích tứ diện:
K
A
D
S
M
C
+ , áp dụng công thức tính thể tích trên ta suy ra:
Rút gọn, được: .
a/ Chứng minh rằng nếu tứ diện thỏa điều kiện:
thì trong ba số: có một số bằng tổng hai số còn lại.
b/ Chứng minh rằng nếu tứ diện thỏa điều kiện:và thì nó là hình chóp tam giác đều.
Hướng dẫn giải
C1
A
C
D
B1
D1
a /
A1
suy ra các mặt của hình hộp cùng diện tích .
Đặt
.
B
Tương tự:
b/
thì .
Hướng dẫn giải
+ Phát biểu và chứng minh mệnh đề:
Nếu hai điểm phân biệt. Điều kiện cần và đủ để điểm thuộc đường thẳng là tồn tại cặp số thực thỏa:
, với điểm tùy ý.
+Từ giả thiết: là cấp số cộng công sai nên: .
+ áp dụng nhận xét trên, ta có:
thì .
và
Thế vào trên ta được: suy ra cố định, nên đường thẳngluôn đi qua một điểm cố định .
+ Tương tự, chứng minh được:
Vậy các đường thẳng lần lượt đi qua ba điểm cố định.
+Chứng minh ba điểm thẳng hàng:
Ta có: , , .
Do đó:
Vậy thẳng hàng. Điều này chứng tỏ mặt phẳng luôn đi qua một đường thẳng cố định.
Hướng dẫn giải
+ Gọi là giao điểm của 3 mặt phẳng. là 3 giao tuyến . Dùng tính chất hình hộp và tính chất trọng tâm, ta có: , với là trọng tâm của.
_
U
_
C
_
V
_
M
'
_
O
_
M
_
A
_
C
_
B
+ Tìm tập hợp các điểm :
Ba mặt phẳng chia không gian làm 8 miền. Ta chỉ cần xét một miền: Gọi thuộc : .
Chứng minh được: M thuộc miền trong tam giác khi và chỉ khi: với .
Mà .
Do đó: Tập các điểm là miền trong của tam giác .
Suy ra các điểm ( trọng tâm của tam giác ) là ảnh của miền trong tam giác qua phép vị tựtâm tỉ
a/ Tính độ dài đoạn vuông góc chung của và .
b/ Gọilần lượt là trung điểm của đoạn thẳng và . Chứng minh: Các đường thẳng và vuông góc nhau.
Hướng dẫn giải
_
D
_
C
_
B
_
A
_
S
_
O
_
K
_
M
_
N
a) + Theo giả thiết ta được: .
Mà và B.
+ Gọi là hình chiếu của xuống
và ( vì )
⇒ là đoạn vuông góc chung của và .
Suy ra được: và vuông tại .
+ Do vuông đỉnh nên: .
+ cân đỉnh , là đường cao nên
+ Do vuông tại nên:
b) + ( vì là trung điểm của )
+
+ .
+ Do đó:
Vậy: .
( Có thể tính và áp dụng định lý Pythagor).
a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các khoảng cách từ một điểm tùy ý trong không gian đến các đỉnh của tứ diện.
b/ Giả sử tứ diện thay đổi vị trí trong không gian nhưng có ba đỉnh lần lượt ở trên mặt cầu cố định và đồng tâm.Chứng minh rằng đỉnh luôn ở trong một hình cầu cố định khi độ dài thay đổi thỏa các giả đã cho.
Hướng dẫn giải
I
J
A
B
C
D
D’
A’
K0
a)
bằng . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh
. Ta dễ dàng suy ra vuông góc với và
và chính là trục đối xứng của tứ diện.
của qua suy ra trung điểm của chính là
hình chiếu của trên đường thẳng và ta có:
.
( Do tính chất: trung tuyến của một tam giác thì bé hơn nữa tổng
của hai cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh của nó).
.
b)
.
( ký hiệu là góc giữa hai đường thẳng )
Hướng dẫn giải
+ Với tứ diệnta chứng minh:
và .
Thật vậy ta có đẳng thức: . Từ đó nếu:
thì
Với nhận giá trị hay. Mặt khác ta có bất đẳng thức đối với các cạnh của tứ diện là:
, nên .
+khi và chỉ khi hình chiếu lên là trực tâm tam giác .
+ Đặt . Gọi là hình chiếu của và lên . Ta có:
mà ta có:
+Suy ra: . Tập hợp các điểm là đoạn .
Vậy tập hợp các điểm là dải mặt phẳng ở giữa hai đường thẳng lần lượt đi qua và vuông góc mặt phẳng .
2.1 Chứng minh rằng .
2.2 Tìm quỹ tích của điểm khi di động trên .
Hướng dẫn giải
1/ (1,5 điểm) | * * Tương tự MQ // NP Kết luận: Tứ giác MNPQ là hình bình hành * MNPQ là hình thoi khi AC = BD | 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 |
2 / (1 điểm) | Thiết diện là tứ giác NEQF * Tứ giác NEQF là hình bình hành | 0,25 0,25 0,25 0,25 |
Hướng dẫn giải
Đặt hình chóp vào hệ trục toạ độ như hình vẽ. Suy ra ta có:, , và . Suy ra phương trình của là
Gọi thuộc cạnh , ta có:
.
Mặt khác ⇔
hay
1/. Chứng minh rằng : là trực tâm của tam giác.
2/. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
Hướng dẫn giải
S
A
K
O
B
C
H
2a
3a
M
1/. Gọi là trung điểm của cạnh .
Do đều, là trọng tâm của nên ta có .
Do nên là hình chiếu vuông góc của lên .
Theo Định lí ba đường vuông góc ta có .
Mặt khác do là hình chiếu vuông góc của lên nên và Suy ra.
Suy ra (1)
* Do đều nên ta có
Do nên.
Từ đó suy ra.
Suy ra .
Mặt khác
Từ đó ta có .
Suy ra (2)
Từ (1) và (2) suy ra là trực tâm của .
2/. Gọi là hình chiếu vuông góc của điểm lên .
Do đó ta có.
Ta có đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên.
Vì vậy góc giữa đường thẳng và bằng góc giữa đường thẳng và bằng góc giữa hai đường thẳng bằng góc .
Do và nên
Xét vuông tại có , .
Suy ra
Từ đó ta có góc .
Kết luận: .
a/. Chứng minh trực tâm tam giác cố định.
b/. Xác định để diện tích tam giác là nhỏ nhất.
Chứng minh rằng: .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : .
1/. Chứng minh rằng .
2/. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
Tính các góc của tam giác.
1/. Xác định vị trí của điểm để hai đường thẳng và vuông góc với nhau.
2/. Lấy điểm thuộc đường thẳng vuông góc với tại sao cho , xét mặt phẳng qua điểm và vuông góc với . Mặt phẳng cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì ? Tính diện tích của thiết diện theo biết và?.
a/. Tìm giao tuyến của và.
b/. Tìm giao điểm của và , tính tỷ số .
Hướng dẫn giải
S
A
B
C
D
M
N
K
I
J
a/. Trªn gäi lµ giao ®iÓm cña vµ.
Ta cã: lµ ®iÓm chung thø nhÊt cña 2 mp vµ .
MÆt kh¸c:
- nªn
- nªn do ®ã .
- nªn
lµ ®iÓm chung thø 2 cña 2 mp vµ .
VËy: giao tuyÕn cña vµ lµ.
b/. Trªn gäi lµ giao ®iÓm cña vµ.
Ta cã: , mµ nªn .
VËy lµ giao ®iÓm cña vµ .
Gäi lµ trung ®iÓm cña th× lµ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c nªn .
MÆt kh¸c dÔ thÊy lµ träng t©m tam gi¸c nªn . Do ®ã: .
Suy ra: nªn : .
a/. Khi Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng .
b/. Tính theo độ dài của để góc giữa và có số đo lớn nhất.
Hướng dẫn giải
A
S
B
C
D
H
M
K
I
N
a/. Ta có
vuông tại.
Gọi là giao của và.
Ta có: vuông tại .
Kết hợp với
b/. Gọilà góc giữa và ; là hình chiếu vuông góc của lên ; là giao của với . Lấy đối xứng với qua .
Vì . Kết hợp với .
Mà là đường trung bình của tam giác nên .
Suy ra tại . Suy ra vuông tại và là hình chiếu của trên. Ta có .
Đặt . Tam giác vuông tại và là đường cao nên
.
Tam giác vuông tại nên .
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi .
Vậy lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất khi và chỉ khi
a/. Tính côsin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
b/. Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
A
S
B
C
D
H
M
N
Hướng dẫn giải
a/. Vì là hình chiếu của trên nên
góc giữa và là
( vì tam giác vuông tại nên nhọn)
Tam giác đều cạnh nên
Ta có
Trong tam giác ta có:
b/. Ta có
vuông tại.
Gọi là giao của và . Suy ra vuông tại .
Kết hợp với
a/. Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
b/. Tính độ dài đoạn thẳng theo .
Hướng dẫn giải
S
A
B
C
H
a/. Ta có (Vì vuông tại ) (1)
(Vì ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra .
b/. Ta có (theo giả thiết) (3)
Từ (3) và (4) suy ra hay tam giác vuông tại .
Tam giác vuông tại có là đường cao nên
Tam giác vuông tại nên
Do đó,
a) Tính góc giữa và biết , .
b) Giả sử . Chứng minh rằng:
a) Chứng minh rằng tứ giác là hình bình hành và .
b) Tìm để diện tích tứ giác đạt GTNN.
a) Chứng minh rằng .
b) Tìm điều kiện cần và đủ để nằm cùng phía đối với trên đường thẳng .
Chứng minh rằng:
a)Cho tứ diện và là Một điểm nằm trong . Chứng minh:
b)Gọi và là tổng độ dài các cạnh và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Hỏi tứ diện nào có tỉ số lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
Hướng dẫn giải
a) Gọi là giao điểmcủa và , ta có :
Hay : (1)
A
D
B M K
C
tương tự : (2)
(3)
Cộng (1), (2), (3) theo từng vế ta có đpcm.
b) Gọi và lần lượt là trọng tâm và tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ta có :
Mặt khác ta có :
Từ (1) và (2) hay . đẳng thức xảy ra là tứ diện đều.
Và khi đó
a)Tính diện tích tứ giác theo .
b) Xác định để thể tích hình chóp bằng lần thể tích hình chóp .
Hướng dẫn giải
a) Gọi là giao điểm của và ; là giao điểmcủa và . Áp dụng định lý cosin trong tam giác ta có : .
Theo Tính chất đường phân giác trong ta có : .
S
L
N
D C
H
A
B Hình 2
M
K
P
.
b) Gọi hình chóp đều đó là , vì thiết diện cắt tất cả các mặt bên nên các đỉnh của ngũ giác đều nằm trên các cạnh tương ứng
Không mất tính tổng quát, hình chiếu trên mặt phẳng vuông góc với cạnh .(xem hình 3)
S’
N’
M’
P’
A’
B’ K’
Hình 3
Giả sử
VÌ nên
(vì )
.
Giả sử Ta có : và ()
(Do )
⇔ . Vậy mặt bên của hình chóplà tam giác đều.
Tính diện tích thiết diện đó khi cho cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng và .
b) Giả sử thiết diện của hình chóp tứ giác đều là một ngũ giác đều. Hãy chứng minh rằng mặt bên của hình chóp này là các tam giác đều.
a)Xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng .
b) Gọi . Tính tỉ số và.
Hướng dẫn giải
+) Xác định được điểm và suy ra hai giao tuyến và
+) Xác định được điểm ; suy rađược đoạn giao tuyến và
+) Kết luận thiết diện là tứ giác
b,(1,25)
+) Xét tam giác có
+) Trong Dựng , khi đó
+) Xét tam giác có:
Suy ra là trung điểm . Vậy
a)Chứng minh rằng: .
b) Chứng minh: và không song song với .
c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi . Thiết diện là hình gì?
Hướng dẫn giải
H
A
B
C
D
d
S
O
d’
I
K
P
a, Vì nên là hình chiếu của trên mp
Theo gt nên theo định lí đường vuông góc ta có .
b, Cách dựng:
Qua kẻ đường thẳng vuông góc với mp.
Dựng mp là mp trung trực của .
Giao của mpvà đường thẳng là điểm cần xác định
CM:
Vì nên cách đều .
Vì nên cách đều và .
Vậy điểm vừa dựng cách đều điểm .
c, . Kẻ tại . Kẻ tại
Ta có
Để tứ giác có diện tích lớn nhất thì độ dài và lớn nhất khi và chỉ khi
Vậy tứ giác là hình vuông. Khi đó
a)Tứ giác là hình gì?
b). Tính diện tích theo và . Tìm để diện tích lớn nhất.
a) Tính góc giữa hai đường thẳng và .
b) Gọi lần lượt là các điểm thuộc các cạnh sao cho . Chứng minh rằng trọng tâm tam giác luôn thuộc một đường thẳng cố định khi thay đổi.
a)Tính góc giữa các mặt phẳng và với .
b) Gọi là giao điểm của hai đường chéo và .Tính khoảng cách từ đến
Hướng dẫn giải
Hình vẽ ;
a).
Góc giữa với chính là góc
Góc giữa với là góc
Ta có
b). Từ kẻ . Nối và từ kẻ
Vậy chính là khoảng cách cần tìm
Ta có ;
Từ đó ta có kết quả ;
a) Gọi là trung điểm . Tính góc giữa và .
b) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mpđi qua và vuông góc với . Tính diện tích của thiết diện đó.
a) Chứng minh rằng vuông góc với .
b) Gọi là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng .Chứng minh nằm trên
trung tuyến của tam giác . Tính , biết tam giác vuông.
c) Gọi là trung điểm . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi đi qua và
vuông góc với .
1) Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
2) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh ba điểm thẳng hàng
3) Tính tỉ số
1) Trong mp dựng đường thẳng qua song song với cắt tại , suy ra là trung điểm của
Do Suy ra thuộc mp
2) Ta có là giao tuyến của và mp
Mặt khácsuy ra nằm trên giao tuyến của mp và mp
Vậy thẳng hàng.
3) Xét tam giác có là trọng tâm nên .
a)Tính độ dài theo .
b)Gọi lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng . CMR các đoạn thẳng và vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải
a. Chứng minh rằng: là tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn.
b. Khi điểm chạy trên nửa đường thẳng, chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định.
Hướng dẫn giải
a) Chứng minh đồng qui hoặc song song và là hình thang cân.
b) Chứng minh rằng: . Suy ra: .
c) Tính diện tích tứ giác theo và .
a) Đường thẳng qua vuông góc với cắt các đường thẳng lần lượt tại . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Hãy xác định các giao điểm của với và chứng minh rằng
b) Tính diện tích tứ giác
Hướng dẫn giải
Trong gọi
Trong gọi
Ta có , mà . Suy ra
Suy ra . Mà .Vậy
b) Ta có; ;
Do , do đó .
Tương tự phần (a) thì . Từ đó tính được
Suy ra
đi qua và vuông góc với, cắt tại sao cho: và cắt các cạnh
bên lần lượt tại .
a) Tính tỷ số diện tích thiết diện và diện tích đáy hình chóp.
b) Cho biết cạnh đáy của hình chóp là a . Tính .
2. Cho hình chóp S.ABC có đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (SBC). Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng đường thẳng SB vuông góc với đường thẳng SC, biết rằng .
3. Cho tứ diện ABCD thỏa mãn điều kiện và một điểm X thay đổi trong không gian. Tìm vị trí của điểm X sao cho tổng đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
Gọi . Do nên các tam giác SAC, SBD cân tại đỉnh S nên SI vuông góc với AC, BD suy ra SI vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Dễ thấy mọi điểm nằm trên đường thẳng SI cách đều các đỉnh A, B, C, D.
Trong tam giác SIC, dựng trung trực của cạnh SC cắt đường thẳng SI tại O suy ra .
Ta có .
Vậy .
Gọi K là giao điểm của đường thẳng AH và BC; trong mặt phẳng (SBC) gọi D là giao điểm của đường thẳng qua S, vuông góc với SC. Ta có BC vuông góc với SH và SA nên BC vuông góc với mặt phẳng (SAH) suy ra BC vuông góc với SK.
Trong tam giác vuông SAK ta có , kết hợp với giả thiết ta được (1)
Trong tam giác vuông SDC ta có (2)
Từ (1) và (2) ta được , từ đó suy ra hay suy ra SB vuông góc với SC.
Gọi G là trọng tâm của tứ diện; M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, AD. Ta có tam giác ACD bằng tam giác BCD nên suy ra , tương tự ta chứng minh được và đường thẳng PQ vuông góc với cả hai đường thẳng BC, AD. Từ đó suy .
Ta có
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X trùng với điểm G. Vậy nhỏ nhất khi và chỉ khi X là trọng tâm của tứ diện ABCD.
Hướng dẫn giải
a) Gọi là trung điểm của
Ta có mà nên
b) Qua kẻ đường thẳng song song với cắt và lần lượt tại và. Qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại . Thiết diện của hình chóp với mp() là tứ giác .
Ta có vì cùng song song với
nên tam giác bằng tam giác suy ra do đó là hình thang cân
Ta có
.Gọi h là độ dài đường cao của hình thang ta có
Diện tích thiết diện là
c) Qua dựng đường thẳng song song với cắt tại N. Nối A với N cắt BD tại Q. Trong mp (AMN) từ Q dựng đường thẳng song song với MN cắt AM tại P.
Ta có PQ//MN, MN//SC nên PQ//MN
Suy ra hai điểm P, Q thỏa mãn điều kiện bài toán.
Ta có ,
Suy ra
a) Chứng minh đồng qui hoặc song song và là hình thang cân.
b) Chứng minh rằng: . Suy ra: .
c) Tính diện tích tứ giác theo và .
Hướng dẫn giải
a) Ta có: ,, , phân biệt nên song song hoặc đồng qui.
Gọi là trung điểm, ta có: nên , do đó
Các mặt phẳng đi qua cắt theo các giao tuyến lần lượt là nên : . Suy ra : hay là hình thang.
Ta có: là các tam giác đều,
Nên. Suy ra : , hay là hình thang cân.
b) Ta có:
Vì : nên ;
Mặt khác:
. Vậy : .
c) Ta có: , ,
Gọi h là chiều cao hình thang cân MNPQ, ta có:
Vậy:
Gọi là hình chiếu của lên.
Ta chứng minh được
. Suy ra vuông tại K và . Do đó
Đặt . Trong tam giác vuông ta có
C
A
B
S
H
K
x
a
Tương tự, trong tam giác vuông SBC ta có
Ta có , vì x > 0. Vậy
a) Tính.
b) Mặt phẳng () qua điểm thuộc đoạn ( khác) và song song với hai đường thẳng và.
Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (). Biết. Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất.
Kẻ ( thuộc). Suy ra và vuông góc.
Ta có: .
Xét tam giác có
Xét tam giác vuông có ,
Qua kẻ các đường thẳng song song với cắt lần lượt tại . Thiết diện là ngũ giác.
Ta có: cùng vuông góc với.
=
.
Ta có: .
Suy ra:
Diện tích lớn nhất bằng khi
a) Trình bày cách dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (P).
b) Xác định vị trí của M để thiết diện nói trên có diện tích lớn nhất.
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là trung điểm của SC. Một mặt phẳng (P) chứa AM và lần lượt cắt các cạnh SB, SD tại các điểm B', D' khác S. Chứng minh rằng: .
Trong mp(ABCD), qua M vẽ đường thẳng song song với AC cắt DB, BC lần lượt tại E, N.
Trong mp(BDD’B’), qua E vẽ đường thẳng song song với D’O (O=AC∩BD) cắt B’D’ tại F.
Trong mp(A’B’C’D’), qua F vẽ đường thẳng song song với AC cắt A’D’, D’C’ lần lượt tại R, Q.
Trong mp(AA’D’D), qua R vẽ đường thẳng song song với AD’ cắt AA’ tại S.
Trong mp(CC’D’D), qua Q vẽ đường thẳng song song với CD’ cắt CC’ tại P.
Thiết diện là lục giác MNPQRS
Do các mặt đối diên của hình hộp song song nên các cạnh đối của lục giác thiết diên MNPQRS song song và 3 cặp cạnh đó lần lượt song song với các cạnh tam giác ACD’.
⇒ Các tam giác JKI, ACD’, RQI, JMS, NKP đồng dạng
⇒ ⇒ MJ=NK và PK=QI
⇒ Các tam giác RQI, JMS, NKP bằng nhau (gọi diện tích của chúng là S1 và gọi diện tích các tam giác JKI, ACD’ lần lượt là S2, S)
Đặt ta có điều kiện và có:
⇒ S1 = k2S
⇒ S2 =( k2 + 2k +1)S⇒ Diện tích thiết diện:
(dấu bằng xảy ra ⇔ )
Lấy I = AM∩B'D' và O = AC∩BD,
ta có: S, O, I là các điểm chung của 2 mặt phẳng (SAC) và (SBD)
⇒ S, O, I thẳng hàng.
Và I là trọng tâm các mặt chéo SAC
⇒
Vẽ BP // B'I và DN // D'I ⇒ . Đặt
⇒ ⇒ (*)
Suy ra: Suy ra:
Kẻ , do suy ra .
Mà là tứ diện đều, nên suy ra là tâm của tam giác đều.
Ta có: . =;
= .
Suy ra =(x+y)
Diện tích toàn phần của tứ diện :
+ + . = +.
Từ
Suy ra khi
Hướng dẫn giải
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. Gọi .
Ta có:
Mặt khác, vì C’ là trung điểm SC nên .
Khi đó tứ giác B’C’D’M là hình bình hành khi .
Vậy M là trung điểm của SA.
b,
b) Khi thay đổi. Xác định vị trí của M để .
Xét ta giác SAC:
Qua A, C lần lượt kẻ các đường thẳng song song với C’M, cắt SO tại E, F. Ta có:
.
Tương tự, xét ta, giác SBD, ta có:
.
Vậy .
1/ Chứng minh (SOF)(SAD).
2/ Tính khoảng cách từ O và C đến mặt phẳng (SAD).
3/ Gọi là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng . Tính diện tích của thiết diện này.
Hướng dẫn giải
1/ Tam giác ABD đều nên ; OF//BE (1).
(2).
Từ (1) và (2) .
2/ Kẻ tại H.
.
O là trung điểm của AC nên .
3/ Gọi K là hình chiếu của C trên mp(SAD) H là trung điểm của AK.
; BC//AD nên mp(BCK) cắt mp(SAD) theo giao tuyến song song với AD. Từ K kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD, SA tại M và N. Thiết diện tạo thành là hình thang BCMN.
MN cắt SF tại trung điểm I MN là đường trung bình của tam giác SAD.
a) Chứng minh rằng vuông góc với mặt phẳng và đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác .
b) Hãy xác định các điểm lần lượt nằm trên các cạnh sao cho vuông góc với mặt phẳng . Tính độ dài đoạn theo .
Hướng dẫn giải
a) Ta có và nên .
Tương tự ta chứng minh được . Từ đó ta suy ra .
Gọi là giao điểm của và . Khi đó chính là giao điểm của và mặt phẳng .
Do suy ra là trọng tâm của tam giác .
b) Đặt
và
Ta có
Do đường thẳng MN vuông góc với mặt phẳng (CB’D’) nên ta có
Vậy M, N là các điểm sao cho
Do đó ta có .
a) Nêu cách dựng các điểm .
b) Chứng minh: không đổi.
c) Tìm tập hợp điểm sao cho diện tích của tam giác có giá trị lớn nhất.
a) Tìm thiết diện của với mặt phẳng mp. Thiết diện là hình gì?
b) Tính diện tích thiết diện theo và . Tìm giá trị của x để diện tích thiết diện lớn nhất
Hướng dẫn giải
a) Từ kẻ đường thẳng song song và , lần lượt cắt tại , tại .
Từ kẻ đường thẳng song song với cắt tại suy ra được là thiết diện. Dễ dàng chứng minh được là hình thang cân.
b) * Tính diện tích thiết diện
Sử dụng định lý Talets ta suy ra được ;
Từ đó tính ra được
Áp dụng công thức
*Tìm để đạt giá trị lớn nhất
Dấu "=" xảy ra khi .
a) Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng và .
b) Gọi là trọng tâm tam giác , xác định hình chiếu của lên và tính độ dài theo .
Hướng dẫn giải
a) Gọi là trung điểm suy ra góc giữa và là góc ,
Tam giác vuông tại , suy ra hay .
b) Kẻ là đường cao tam giác suy ra vuông góc , từ kẻ đường thẳng song song với trong cắt tại thì là điểm cần tìm.
Ta có
a. Cho tứ diện . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Trên cạnh lấy điểm sao cho . Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng . Chứng minh rằng .
b. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Hai điểm và lần lượt thay đổi trên các đoạn thẳng sao cho , Gọi là trọng tâm tam giác . Chứng minh rằng luôn song song với một mặt phẳng cố định khi thay đổi và tìm để .
a) Xác định thiết diện của hình chóp với (P).Tính khoảng cách từ điểm đến .
b) Tính sin với là góc giữa và .
a) CMR: .
b) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
a) Chứng minh tam giác là tam giác nhọn.
b) Biết số đo 3 góc của tam giác là . Gọi là số đo của góc nhị diện , tìm theo và .
c) Gọi là độ dài lớn nhất trong độ dài 3 cạnh và gọi là độ dài lớn nhất trong độ dài 3 đường cao của tam giác . Chứng minh rằng:
a) Ta coi hình chóp đã cho là tứ diện có trọng tâm , gọi là góc giữa mp và mp. Hãy tính để cách đều tất cả các mặt của .
b) Biết . Xét mặt phẳng thay đổi đi qua , sao cho mp cắt các đoạn thẳng thứ tự tại . Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác theo .
a) Khi , chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng .
b) Tính theo để góc giữa và có số đo lớn nhất.
Hướng dẫn giải
Giả sử số đỉnh của thiết diện là ;Ta xét một tron.
Tổng các cạnh đi qua m đỉnh mới là .
Vậy số cạnh của khối đa diện này bằng là số chẵn
a) Tính độ dài theo .
b) Gọi lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng . Chứng minh rằng các đoạn thẳng và vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải
Ta có là giao tuyến của hai mặt phẳng : Mặt phẳng chứa và song song với và mặt phẳng chứa và song song với .
Trong mặt phẳng kẻ cắt ở .
Qua kẻ ( thuộc ) , cắt tại . Vậy .
Ta có là các trung điểm của và
Mà
Ta có . Vậy .
Hướng dẫn giải
Gọi là tâm đáy , . Ta có thẳng hàng (do chúng thuộc giao tuyến hai mặt phẳng và ).
Đặt Trong tam giác , ta có:
Tương tự với tam giác ta được
Từ (1) và (2) ta suy Ta có ĐPCM.
a) Tính .
b) Mặt phẳng qua điểm thuộc đoạn ( không trùng với ), song song với và . Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng Tính diện tích thiết diện theo và biết . Tìm để diện tích thiết diện đó lớn nhất.
Hướng dẫn giải
a) Tính
+) Dựng song song (thuộc cạnh );
Ta có:
+) Mặt khác:
+) Áp dụng định lý cosin trong tam giác , tính được
+) Do và nên .
Trong tam giác vuông , tính được .
b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng
+) Xác định được thiết diện là tam giác NPQ (với N, P, Q lần lượt nằm trên các cạnh BA, BC, BS)
+) Ta có:
Diện tích thiết diện:
+) Trong tam giác , tính được
+) Trong tam giác , tính được
+) Diện tích thiết diện:
+) Vì thuộc đoạn ( ) nên
Do đó, . Vậy, .
Hướng dẫn giải
Đặt Gọi M là trung điểm BC, gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Gỉa sử.
Ta có: Ta thấy Vậy G, I, J thẳng hàng. Hay IJ luôn đi qua điểm G cố định, hay mặt phẳng (SIJ) luôn đi qua đường thẳng cố định SG.
.
Hướng dẫn giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (ABC)
H là trực tâm của tam giác ABC.
Gọi AK là đường cao của tam giác ABC. Ta có:
Mặt khác:
Tương tự: nên tam giác ABC nhọn.
- Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có:
R cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC.
- Trong tam giác ABH:
Nên:
Từ (1) và (2) ta có:
Chứng minh tương tự ta cũng có:
Vậy ta có ĐPCM.
góc với mặt phẳng (ABC) ; S là một điểm di động trên (P) sao cho S.ABC là hình chóp có hai mặt bên SAB, SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo lần lượt là và . Gọi H, I, J lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên BC, AB, AC.
a. Chứng minh rằng .
b. Tìm giá trị lớn nhất của SH và khi đó hãy tìm giá trị của .
Hướng dẫn giải
a) Chứng minh rằng MG song song với mp(SBC)
b) Gọi () là mặt phẳng chứa MG và song với CD. Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp với mp()
c) Xác định điểm P thuộc MA và điểm Q thuộc BD sao cho PQ song song với SC. Tính PQ theo a.
Hướng dẫn giải
Gọi I là trung điểm của BC
Ta có
Mà nên MG //(SBC)
Qua G kẻ đường thẳng song song với CD cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Qua M kẻ đường thẳng song song với CD cắt SC tại H
Thiết diện của hình chóp với mp() là tứ giác EFHM
Ta có HM//EF vì cùng song song với CD
nên tam giác DME bằng tam giác CHF suy ra ME = HF do đó EFHM là hình thang cân
Ta có:
Gọi h là độ dài đường cao của hình thang ta có
Diện tích thiết diện là
Qua M dựng đường thẳng song song với SC cắt CD tại N. Nối A với N cắt BD tại Q. Trong mp (AMN) từ Q dựng đường thẳng song song với MN cắt AM tại P.
Ta có PQ//MN, MN//SC nên PQ//MN
Suy ra hai điểm P, Q thỏa mãn điều kiện bài toán.
Ta có ,
Suy ra .
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
M
N
I
K
H
Gọi I là trung điểm của BC.
NI mp(ABCD) (1đ)
Chứng minh được:
Gọi H là giao điểm của AI và DM, từ H hạ ,HK là đoạn vuông góc chung của AN và DM,
Tính được
🛆AKH đồng dạng 🛆AIN
Vậy khoảng cách AN và DM là:
Hướng dẫn giải
Xét hai trường hợp: +) B và C không tù. Khi đó Suy ra | A B C B’ C’ H |
.
+) B hoặc C tù.
Do nên và C tù .
Còn (giống trường hợp 1) Suy ra .
đạt giá trị bé nhất.
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới