Chuyên đề dãy số bồi dưỡng học sinh giỏi toán có lời giải
Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN
1.1. DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP.
- Cho dãy số xác định bởi : . Xác định số hạng tổng quát của dãy đã cho.
Hướng dẫn giải
Ta có:.
.
Dự đoán: .
Chứng minh theo quy nạp ta có.
, công thức đúng với . Giả sử công thức đúng với ta có .
Ta có: .
Công thức đúng với .
Vậy, .
- Cho dãy số biết . Xác định số hạng tổng quát của dãy.
Hướng dẫn giải
.
Đặt .
.
Dãy cấp số nhân với công bội là .
Nên .
Do đó .
- Cho dãy số xác định bởi.Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số theo .
HƯỚNG DẪN GIẢI
Với mọi , ta có.
.
.
Dãy số là cấp số nhân có công bội và.
.
- Cho hàm số thỏa mãn đồng thời các điều kiện:.
(1) , .
(2) , .
a/Chứng minh: , .
b/Tìm biểu thức .
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu a.
Vì nên từ giả thiết (1) ta được: , .
Kết hợp giả thiết (2) ta được .
do đó: , .
Câu b.
,.
Suyra:.
Thử lại thỏa các điều kiện, nên .
a)Xác định ba số hạng đầu của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của chúng là 125.
b)Cho dãy số có . Tìm số hạng tổng quát .
Hướng dẫn giải
a)Xác định ba số hạng đầu của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của chúng là 125.
Gọi d là công sai, số hạng thứ 2 là a. Khi đó 3 số hạng đầu của csc là .
Theo giả thiết ta có hệ: .
.
Vậy có 2 cấp số thỏa mãn có 3 số hạng đầu là: -4;3;10 hoặc 10;3;-4.
b)Cho dãy số có . Tìm số hạng tổng quát .
Ta có: .
(1).
Đặt .
(1) trở thành: (2).
Đặt .
(2) trở thành: là csn có .
Từ đó ta có: .
- Cho dãy số xác định bởi : .
Chứng minh : là số chính phương với mọi n nguyên dương.
Hướng dẫn giải
Ta có .
Đặt thì .
Khi đó .
Ta có : .
Suy ra : .
Suy ra : .
Từ hệ thức và là các số chính phương suy ra là số chính phương với mọi n nguyên dương.
- Cho dãy số tăng, và . Xét dãy số xác định bởi . Chứng minh rằng tồn tại .
Hướng dẫn giải
Dễ dàng thấy rằng dãy tăng ngặt.
Trường hợp 1. Nếu .
vậy dãy .
bị chặn trên do đó tồn tại .
Trường hợp 2. Nếu .
thật vậy .
. Ta chứng minh (**).
Xét hàm số Trên đoạn rõ ràng hàm số thoả mãn điều kiện của định lí Lagrăng nên tồn tại số thoả mãn đpcm.
Từ đó ta có.
dãy bị chặn trên do đó tồn tại .
- Cho dãy số được xác định bởi : và.
với mọi .
Tính giới hạn .
Hướng dẫn giải
Ta có: .
.
.
=.
Do đó ta suy ra : .
Ta chứng minh . Thật vậy với , ta có .
Giả sử với ta có : .
Ta có : theo (*) hay trong.
.
- Cho hàm số thỏa mãn điều kiện với mọi . Chứng minh rằng với mọi .
Hướng dẫn giải
Ta có: .
Từ (1) suy ra (2).
Khi đó .
Xét dãy , được xác định như sau: và .
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n rằng với mỗi luôn có.
với (3).
Thật vậy, khi thì theo (2), ta có ngay (3).
Giả sử mệnh đề (3) đúng với . Khi đó.
.
Vậy (3) đúng với .
Tiếp theo ta chứng minh . Thật vậy, ta thấy ngay . Do đó:, suy ra dãy tăng ngặt.
Dãy tăng và bị chặn trên nên hội tụ. Đặt thì với , suy ra . Vậy .
Do đó từ (3) suy ra với mỗi (đpcm).
- Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây.
1. với mọi .
2. với mỗi .
Hướng dẫn giải
và bởi vì cho nên .
.
.
.
Dùng quy nạp theo ta CM được .
Cố định ta có .
Xét dãy ta có:.
.
Vậy .
Vậy .
Kết hợp (1) và (3) ta được .
Từ (2) . Kết hợp (2) và (4) ta được . Thử lại ta thấy đúng. Vậy .
Kết hợp (1) và (3) ta được .
Từ (2) . Kết hợp (2) và (4) ta được . Thử lại ta thấy đúng.
- Cho dãy số xác định bởi . Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn.
Hướng dẫn giải
Trước hết, bằng quy nạp, ta dễ dàng có và dãy số đã cho là dãy tăng.
Ta có :.
.
Giả sửvới . Ta có: .
Theo nguyên lý quy nạp ta có .
Ta có : thật vậy : ;.
Do đó .
Ta có với thì.
Do đó thì .
Suy ra .
Vậy dãy đã cho tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn.
- Cho dãy sốxác định như sau .
a) Xác định số hạng tổng quát .
b) Tính .
Hướng dẫn giải
Biến đổi ta được:với khi đó:.
nghĩa là dãy là một cấp số cộng của .
.
.
- Cho dãy số được xác định như sau.
,.
với mọi . Chứng minh rằng dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Hướng dẫn giải
Từ công thức truy hồi của dãy ta được.
.
Do đó . Từ đó .
- Cho dãy số xác định bởi .
Đặt . Tính .
Hướng dẫn giải
Cho dãy số xác định bởi .
Đặt . Tính .
Ta có .
Từ đó bằng quy nạp ta chứng minh được .
.
Từ suy ra .
Do đó .
Ta chứng minh .
Thật vậy, ta có .
Suy ra là dãy tăng, ta có .
Giả sử ngược lại bị chặn trên và là dãy tăng nên thì . Khi đó (vô lý). Suy ra không bị chặn trên, do đó .
Vậy .
- Tìm số hạng tổng quát của dãy số biết.
.
Hướng dẫn giải
Vì nên ta có:.
.
.
.
Đặt , thu được.
.
.
Đặt , thu được.
.
.
Do đó.
.
Như vậy ,.
Từ đó, với , ta có.
.
.
Vậy .
- Cho dãy số xác định bởi .
Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số theo .
Hướng dẫn giải
Vì nên.
.
.
.
.
Đặt , khi đó ta có: .
Lại có: .
Từ đẳng thức trên ta có công thức tổng quát của dãy là: .
Từ đó ta có công thức tổng quát của dãy là: .
- Cho dãy số xác định bởi và với mọi .
a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số .
b) Tính tổng .
Hướng dẫn giải
a) Dễ thấy .
Từ .
Đặt thì có: .
Đặt thì ta có:. Từ đây suy ra là cấp số nhân với , công bội là 3.
Nên: .
b) .
.
.
- Cho dãy số được xác định bởi và với mọi .
a) Chứng minh rằng: .
b) Tính tổng theo .
Hướng dẫn giải
a) Khi : đúng.
Giả sử đúng với .
Ta chứng minh: .
Thật vậy: .
b) .
.
- Cho dãy số(un) xác định như sau: .
a) Chứng minh: .
b) Tính: .
Hướng dẫn giải
a) Ta có: .
(Vì dương).
b) Đặt , ta có: , .
Ta chứng minh: (*).
Với : đúng.
Giả sử (*) đúng với , , hay ta có: .
Ta có: .
Vậy (*) đúng với . Vậy .
Cho , ta có: .
.
- Cho dãy số thực với .
a) Chứng minh với mọi .
b) Tính tổng .
Hướng dẫn giải
a) Dùng phương pháp qui nạp.
, .
Giả sử .
Ta có: .
.
Vậy với mọi .
b).
.
- Cho dãy số với .
Tìm số dư khi chia cho .
Hướng dẫn giải
Xét dãy số với .
Ta có với mọi .
Xét phương trình đặc trưng:.
Phương trình trên có nghiệm.
có dạng . Vì nên .Ta có:.
Ta có: .
Ta có là số nguyên tố Theo định lý Fecma ta có:.
.
Suy ra ,.
Vậy khi chia cho ta được số dư là .
Suy ra khi chia cho ta được số dư là .
- Cho dãy số .
a) Chứng minh dãy số là dãy số giảm.
b) Lập công thức số hạng tổng quát của dãy số .
Hướng dẫn giải
a) Chứng minh dãy số là dãy số giảm.
Ta có: ; Chứng minh: bằng phương pháp quy nạp.
Ta có:.
Giả sử: và . Chứng minh: .
Ta có: . Vậy .
b) Lập công thức số hạng tổng quát của dãy số .
Ta có: .
Đặt , ta được: .
Ta được: là cấp số nhân có công bội .
Suy ra: .
Vậy .
- Tìm số hạng tổng quát của dãy biết rằng:.
().
Hướng dẫn giải
Từ đề bài ta có: với mọi .
Ta có: với mọi .
Đặt ta được với mọi .
Vì phương trình đặc trưng của dãy có hai nghiệm phân biệt nên với mọi .
Với ta có . Suy ra với mọi .
Ta có với mọi .
Kết hợp với , ta suy ra với mọi .
- Cho dãy số .
a) Chứng minh dãy số là dãy số giảm.
b) Lập công thức tổng quát của dãy số .
Hướng dẫn giải
a) Chứng minh dãy số là dãy số giảm.
Ta có: .
Giả sử: với k >1. Cần chứng minh: .
Ta có: .
Mà .
⇒(điều phải chứng minh).
b) Lập công thức tổng quát của dãy số .
Ta có .
Xét dãy số , ta có: .
là cấp số nhân .
.
- Cho dãy số .
a) Chứng minh rằng .
b) Lập công thức tổng quát của dãy số .
Hướng dẫn giải
a) Chứng minh rằng .
Ta có: .
Giả sử: ; Cần chứng minh: .
Ta có: . Vậy .
b)Lập công thức tổng quát của dãy số .
Đặt ta có .
.
là cấp số nhân .
Vậy .
- Cho dãy số xác định bởi: .
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy.
b) Tìm số dư khi chia cho .
Hướng dẫn giải
a) Đặt ta có: .
Khi đó .
Lại có:.
.
.
.
Do đó . Hay .
Vậy .
b) Ta có chia cho 2015 dư 1.
- Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số .
Hướng dẫn giải
Ta có: . Đặt , khi đó ta được dãy xác định như sau: và .
Vì .
Bằng quy nạp ta chứng minh được: .
.
1.2. DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI.
- Cho dãy số biết . Xác định số hạng tổng quát của dãy.
Hướng dẫn giải
.
.
Dãy cấp số nhân với công bội là.
Nên .
Do đó .
- a) Tính giới hạn .
b) Cho dãy số (un) xác định bởi : . Tìm công thức tính theo .
Hướng dẫn giải
a) Tính giới hạn .
Ta có: .
.
Vậy .
b) Ta có:.
.
Dự đoán: .
Chứng minh:.
Ta có: , công thức (1) đúng với .
Giả sử công thức (1) đúng với ta có: .
Ta có: .
Công thức (1) đúng với .
Vậy .
- Cho dãy số xác định bởi:. Tìm công thức của số hạng tổng quát ?.
Hướng dẫn giải
Đặt .
Thay vào giả thiết:.
.
Ta có .
Đặt .
.
Ta có .
Suy ra .
- Cho dãy số xác định bởi: Tìm công thức số hạng tổng quát theo .
Hướng dẫn giải
Ta có Khi đó .
Với mọi đặt .
Suy ra, dãy số là cấp số cộng có và công sai .
Do đó, .
Vậy .
- Cho dãy số xác định bởi: Tìm công thức số hạng tổng quát theo .
Hướng dẫn giải
Với mọi , ta có.
.
Xét dãy số với Ta có: Do đó, dãy số là một cấp số nhân có công bội và số hạng đầu bằng .
Suy ra .
Vậy .
- Cho dãy số xác định bởi: Tìm công thức số hạng tổng quát theo .
Hướng dẫn giải
Với mọi , ta có.
.
.
dãy số là cấp số nhân có công bội và .
.
- Cho dãy số (un) xác định bởi: .
Xét dãy số với . Chứng minh dãy số là một cấp số cộng. Tìm số hạng tổng quát của dãy số .
Hướng dẫn giải
Ta có thay vào hệ thức truy hồi ta có.
.
hay và . Suy ra dãy số là một cấp số cộng có và công sai .
Ta có .
Do đó . Thử lại thấy dãy số này thỏa mãn.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là .
- Cho dãy số xác định bởi:.
.
Tìm công thức của số hạng tổng quát ?.
Hướng dẫn giải
Đặt .
Thay vào giả thiết:.
.
Ta có .
Đặt .
.
Ta có .
Suy ra.
.
1.3. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG.
- Cho dãy số xác định bởi Tìm .
Hướng dẫn giải
Dễ thấy dãy đã cho là dãy số dương, do đó không có số hạng nào của dãy bằng 0. Từ công thức truy hồi của dãy ta có .
Đặt , ta được dãy số .
Dễ thấy dãy là dãy số dương và . Do đó.
Vậy ta có .
Xét hàm số . Ta có Do đó có hai dãy con đơn điệu của dãy và hai dãy con này đều bị chặn nên chúng có giới hạn. Giả sử và thì ta có hệ.
.
Ta thấy chỉ có thỏa mãn và đây là giới hạn cần tìm.
- Tìm số các dãy số thỏa mãn điều kiện: .
Hướng dẫn giải
Viết lại với .
Nhận xét: .
Vì vậy: .
Với tồn tại duy nhất α: và .
Lúc đó: ; .
Quy nạp ta được: .
.
⇔ .
Vì nên .
Do nên: .
Từ đó có tất cả giá trị u1 thỏa bài toán: .
Do đó có tất cả dãy số thỏa điều kiện đã cho.
- Cho là các nghiệm dương của phương trình được sắp theo thứ tự tăng dần. Tính .
Hướng dẫn giải
Xét hàm số , với . Ta có => tăng từ đến .
Suy ra: trong khoảng phương trình có nghiệm duy nhất .
với => => .
= = .
- Cho dãy số xác định như sau: . Tìm điều kiện của để dãy số có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.
Hướng dẫn giải
Ta có: .
* Suy ra dãy số tăng; từ đó dãy số có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi dãy bị chặn trên.
Giả sử tồn tại , thì chuyển qua giới hạn hệ thức ta có: .
- Nếu có chỉ số mà thì nên trái với kết quả .
Do đó: với mọi hay nói riêng từ đó ta được .
* Đảo lại: Nếu .
.
và .
Bằng quy nạp ta chứng minh được (H/s trình bày ra).
Như vậy dãy tăng, bị chặn trên bới , do đó dãy có giới hạn hữu hạn.
Kết luận: Với điều kiện thì dãy số có giới hạn hữu hạn và .
- Cho hai dãy số và được xác định như sau:.
, ;, .
Chứng minh rằng và có cùng giới hạn, tìm giới hạn đó.
Hướng dẫn giải
Bằng quy nạp, ta chứng minh rằng:.
; (2).
Từ (1), (2) tồn tại và .
Ngoài ra: .
.
Vậy hai dãy có cùng giới hạn chung là .
- Cho dãy số (xn) thỏa mãn: . Chứng minh dãy số trên có giới hạn.
Hướng dẫn giải
*) Ta chứng minh với mọi n 1 (1).
Thật vậy: đúng.
Giả sử (1) đúng với .
= .
.
(đpcm).
*) Ta chứng minh có giới hạn.
NX: tăng và với mọi .
Ta có với mọi 1.
Vậy có giới hạn.
- Tam giác mà 3 đỉnh của nó là ba trung điểm của ba cạnh tam giác được gọi là tam giác trung bình của tam giác .
Xây dựng dãy các tam giác sao cho tam giác là một tam giác đều cạnh bằng 1 và với mỗi số nguyên tam giác là tam giác trung bình của tam giác . Với mỗi số nguyên dương , kí hiệu tương ứng là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh rằng dãy số là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân đó?.
Hướng dẫn giải
+ là một cấp số nhân với công bội và số hạng đầu .
+ Số hạng tổng quát: .
- Cho dãy số được xác định bởi: và với mọi Xét dãy số mà: với mọi .
a) Chứng minh rằng dãy số là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.
b) Cho số nguyên dương . Hãy tính tổng số hạng đầu tiên của dãy số theo . Từ đó, hãy suy ra số hạng tổng quát của dãy số .
Hướng dẫn giải
a) Từ giả thiết là một cấp số cộng với số hạng đầu và công sai .
b) + Tổng số hạng đầu của dãy là: .
+ Số hạng tổng quát của dãy là: .
- Cho dãy số được xác định bởi .
Tìm số nhỏ nhất để chia hết cho 2048.
Hướng dẫn giải
Từ công thức truy hồi cuả dãy , đặt , thì dãy () xác định bởi .
Phương trình đặc trưng : , từ đó suy ra : .
.
Do là số là số lẻ nên .
.
Vậy là giá trị cần tìm thỏa mãn điều kiện bài toán.
1.6. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC
- Cho dãy số định bởi . Tính .
Hướng dẫn giải.
Tính đúng .
.
Từ ta viết được .
Theo quy nạp từ và .
Vậy .
- Cho dãy số xác định như sau: . Tính .
Hướng dẫn giải.
Ta có: .
Nên từ giả thiết ta có: .
Đặt , suy ra .
Theo quy nạp ta dễ dàng suy ra: .
Suy ra: .
.
1.7. CÁC DẠNG KHÁC
a/Tìm sao cho hệcó nghiệm.
b/Với tìm được ở câu a/,hãy xác định tập hợp tất cả các giá trị của tổng:.
với và .
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu a.
Do:.
:Khi đó: . Vậy hệ có nghiệm.
:Chọn vàcó nghiệm. Nên là nghiệm của hệ.
:có nghiệm. Nên là nghiệm của hệ.
:Vô nghiệm.
Vậy hệ có nghiệm khi .
Câu b
Ta có: .
Xét hàm: . Ta có: .
Do đó:Dấu đẳng thức xảy ra khi:.
vì . Dấu đẳng thức xảy ra khi,liên tục trên . Khithì.Vậy , tập giá trị là:.
:Chọn .Thỏa giả thiết:.
liên tục trên;.Vậy tập giá trị là:.
Chọnthỏa giả thiết:với;liên tục trên;.Tập giá trị là:.
- Kí hiệu là tập hợp các đa thức bậc dạng: . Chứng minh: .
HƯỚNG DẪN GIẢI
Xét đa thức Trêbưsép .
Chứng minh là đa thức bậc có hệ tử bậc là .
Chứng minh bằng quy nạp dựa vào công thức:.
Do đó: . Ta có . Nếu tồn tại sao cho ,.
. Lúc đó ta xét đa thức bậc nhỏ hơn hay bằng , đổi dấu lần tại các điểm , .
Do đó . Vậy .
- Cho dãy số không âm thỏa mãn ,
và ,.
Chứng minh rằng là số nguyên với mọi nguyên tố lớn hơn hoặc bằng .
HƯỚNG DẪN GIẢI
Viết lại đẳng thức trong đầu bài về dạng .
Từ không âm dẫn đến , với mọi .
Biến đổi về ,.
- Cho dãy số dương thoả mãn: với mọi số tự nhiên . Chứng minh rằng dãy {xn} hội tụ.
Hướng dẫn giải
Đặt .
Từ (1) và (2) suy ra .
Với tuỳ ý, khi đủ lớn, ta có .
Nếu thì .
Nếu thì .
Mà .
Tóm lại, cả hai trường hợp đều dẫn đến .
Vậy dãy số {xn} hội tụ.
- Cho phương trình với là số nguyên dương. Gọi là nghiệm dương của phương trình. Dãy số được xác định như sau:.
.
Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số tự nhiên sao cho chia hết cho .
Hướng dẫn giải
Đầu tiên ta chứng minh là số vô tỉ. Thật vậy, nếu là số hữu tỉ thì là số nguyên (do hệ số cao nhất của là 1) và là ước của 1. Do đó suy ra , trái giả thiết.
Do đó .
.
.
(1). Lại có , suy ra .
(do (1)).
Vậy . Từ đó bằng quy nạp ta có với mọi , thì (2).
Chọn , , từ (2) ta có .
Vậy chia hết cho , .
- Cho dãy với n > 0 được xác định bởi:.
a) Chứng minh chia hết cho với mọi giá trị nguyên dương của .
b) Đặt . Chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương để 2015 là một ước của .
Hướng dẫn giải
a) Ta có .
Dễ thấy với Bằng quy nạp ta chứng minh dãy trùng với dãy .
Thật vậy:.
Mệnh đề đúng với Giả sử mệnh đề đúng đến . Khi đó ta có:.
.
Dùng công thức của dãy Fibonaci : ta dễ dàng biến đổi vế phải thành .
suy ra .
Vậy mệnh đề đúng với , do đó nó đúng với mọi nguyên dương.
Điều đó chứng tỏ luôn chia hết cho với mọi nguyên dương.
b) Gọi là số dư của cho 2015 với .
Trước tiên ta chứng minh là một dãy tuần hoàn. Thật vậy: Ta có .
Vì có vô hạn các cặp ., nhưng chỉ nhận hữu hạn giá trị khác nhau nên tồn tại ít nhất hai phần tử của dãy trùng nhau. Ta giả sử là (với là một số nguyên dương).
Ta chứng minh tuần hoàn với chu kỳ .
+) Ta có: .
.
Tiếp tục như vậy ta chứng minh được: với mọi (1).
+) Ta có: .
.
.
Bằng quy nạp ta chứng minh được: với (2).
Từ (1) và (2) suy ra là một dãy tuần hoàn.
Bổ sung vào dãy phần tử thỏa mãn suy ra .
Khi đó dãy là dãy tuần hoàn bắt đầu từ phần tử đầu tiên Do đó tồn tại vô số phần tử trong dãy bằng 0.Như vậy câu b) được chứng minh xong.
- Cho dãy số được xác định như sau: Chứng minh rằng khi và chỉ khi .
Hướng dẫn giải
Công thức tổng quát .
Đặt .
Ta có , .
Đặt . Khi đó ta được dãy được xác định như sau: .
Do nên bằng quy nạp ta được: hay .
Do đó .
Giả sử , trong đó đều lẻ.
- Cho dãy số . Chứng minh có nhiều nhất 1 số hạng của dãy là số chính phương.
Hướng dẫn giải
So sánh đồng dư của , và theo modun 4 ta có (chú ý ).
0 | 1 | 2 | 3 | |
3 | 0 | 3 | 2 | |
2 | 3 | 2 | 3 |
Một số chính phương khi chia 4 có số dư là 0 hoặc 1.
Vì vậy từ số hạng thứ 3 trở đi, dãy không có số chính phương nào.
Nếu cả và đều chính phương, giả sử ,.
suy ra .
Hơn nữa khi phân tích 2019 thành tích chỉ có 2 cách .
Trường hợp 1: , vô lí do 1009 không là lập phương.
Trường hợp 2: , vô lí do 335 không là lập phương.
Vậy điều giả sử sai, nghĩa là dãy trên có nhiều nhất 1 số chính phương.
- Cho dãy thỏa mãn các điều kiện sau :. Tìm .
Hướng dẫn giải
Ta có : .
Bằng quy nạp ta chứng minh được , với mọi .
Ta có: .
.
Ta chứng minh rằng nếu thì (1).
Thật vậy:.
Với thì (1) đúng.
Ta có .
Giả sử, tồn tại , mà , điều này chứng tỏ, với mọi thì . Điều này mâu thuẫn với .
Vậy, với thì .
Do đó .
- Cho dãy số xác định bởi: . Tìm chẵn thỏa mãn và là lập phương của 1 số tự nhiên.
Hướng dẫn giải
Nhận xét thấy :.
.
Khi đó, giả sử :.
Cần chứng minh: (1) thật vậy ta có.
.
= suy ra (1) đúng.
.
Khi đó , giả sử tồn tại chẵn để là lập phương của 1 số tự nhiên:.
Khi đó . Mặt khác chẵn suy ra lẻ suy ra khi đó đặt.
mà nên:.
(2). Giải hệ (2) ta được hệ không có nghiệm nguyên với mọi suy ra không tồn tại n chẵn.
Vậy không tồn tại chẵn để là lập phương của một số tự nhiên.
- Cho dãy số được xác định như sau: Chứng minh rằng khi và chỉ khi .
Hướng dẫn giải
Công thức tổng quát .
Đặt .
Ta có , .
Đặt . Khi đó ta được dãy được xác định như sau: .
Do nên bằng quy nạp ta được: hay .
Do đó .
Giả sử , trong đó đều lẻ.
Từ đẳng thức này ta được khi và chỉ khi .
- Cho dãy số thực được xác định như sau: . Chứng minh rằng: ( kí hiệu là phần nguyên của số thực ).
Hướng dẫn giải
Ta chứng minh rằng: , với .
, quy nạp .Với đúng giả sử đúng đến . Tức là . Từ đó suy ra.
.
.
Việc tiếp theo ta chứng minh . Ta có BĐT thật vậy,.
Xét hàm số .
hàm số giảm trên khoảng.
, ta suy ra áp dụng.
.
Từ đó: .
2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ.
- Cho cấp số cộng với là số nguyên dương thoã mãn . Tính tổng: .
Hướng dẫn giải
Dễ dàng chứng minh được số hạng tổng quát của cấp số cộng là .
Khi đó.
.
- Cho dãy số thực được xác định bởi. .. Tìm tất cả các giá trị của để với mọi số tự nhiên .
Hướng dẫn giải
Giả sử với .
Từ có .
Lại từ có .
Suy ra và .
Từ đó .
Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức này, ta có:.
.
Mà nên phải có .
Thử lại với thì .
Vậy là giá trị duy nhất cần tìm.
- Cho dãy số xác định bởi . Tìm để là số chính phương.
Hướng dẫn giải
Từ công thức truy hồi của xn ta có.
.
Vậy là số chính phương.
Giả sử n là số thỏa mãn là số chính phương.
Đặt .
Ta có .
Khi đó ta tìm được a = 201, b=1 thì .
Với a = 85, b =82 thì .
Vậy n = 2 thì là số chính phương.
- Dãy số xác định như sau:. Chứng minh rằng.
Hướng dẫn giải
Ta có: . (1).
Do .
Từ đó bằng phép quy nạp ta suy ra là dãy đơn điệu tăng thực sự, và un nhận giá trị nguyên dương lớn hơn hoặc bằng với mọi .
Ta viết lại điều kiện truy hồi xác định dãy số dưới dạng sau đây:.
(2).
Từ đó dẫn đến: Bây giờ từ (3), ta có:.
.
Từ (4) suy ra bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với.
.
(ở đây ). Ta sẽ chứng minh (5) đúng với mọi . Khi đó nó sẽ đúng với .
Do nguyên dương với mọi , (5) tương đương.
(6).
Xét khi . Theo (2), ta có: .
Vì thế theo giả thiết quy nạp suy ra:.
.
Như thế với , ta thu được:.
.
Từ (8) suy ra (6) đúng với mọi .
Vì vậy (5) đúng . Ta có điều phải chứng minh!.
- Cho dãy : .
a) Chứng minh dãy hội tụ và tính .
b) Chứng minh .
Hướng dẫn giải
a) Bằng phương pháp chứng minh qui nạp ta có: .
Đặt và xét hàm .
Suy ra , như vậy nghịch biến trên đoạn .
Dẫn đến .
Kết hợp công thức xác định dãy ta được: .
Vậy .
b) Nhận xét: thì .
Dẫn đến .
(1).
Như vậy bất đẳng thức đúng với .
Trường hợp , chú ý , kết hợp với (1) thu được:.
.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
- Cho dãy số như sau .
a) Chứng minh .
b) Đặt . Chứng minh rằng nếu n là số nguyên tố và n > 2 thì chia hết cho n.
Hướng dẫn giải
a) Với , .
, .
Giả sử .
Chứng minh .
Ta có.
.
.
.
Vậy .
b) Đặt . Chứng minh rằng nếu là số nguyên tố và thì chia hết cho .
Ta có: .
.
Với là số nguyên tố chia hết cho .
Do là số nguyên tố lớn hơn chia hết cho .
Vậy .
- Cho dãy số . Chứng minh rằng nếu là số nguyên tố và thì chia hết cho .
Hướng dẫn giải
Đặt hay .
Khi đó .
Ta được .
Phương trình đặc trưng có nghiệm .
Khi đó .
Ta có .
Suy ra .
Khi đó .
Ta có nên chia hết cho .
Mặt khác là số nguyên tố nên theo định lý Fermat.
hay .
Từ đó .
Suy ra chia hết cho .
Với là số nguyên tố và .
Suy ra chia hết cho .
- Cho dãy số với .
a) Chứng minh , với mọi .
b) Đặt . Tìm .
Hướng dẫn giải
a) Chứng minh , với mọi .
.
Giả sử ta có .
.
Suy ra .
Vậy theo qui nạp với .
b) Đặt . Tìm .
Ta có:.
.
.
.
(vì ).
Vậy .
- Cho dãy số được xác định như sau:.. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố thì chia hết cho .
Hướng dẫn giải
Với mọi ta có: .
Từ đó có: .
Vậy , lại có nên .
+ Nếu : có ngay đpcm.
+ Nếu là số nguyên tố lẻ: .
.
Theo Định lí Fermat nhỏ, suy ra chia hết cho . Mặt khác cũng chia hết cho nên: chia hết cho . Từ đó.
chia hết cho .
Vậy bài toán được chứng minh cho mọi trường hợp.
- Cho dãy số xác định bởi . Tìm để là số chính phương.
Hướng dẫn giải
Từ công thức truy hồi của xn ta có.
.
Vậy là số chính phương.
Giả sử n là số thỏa mãn là số chính phương.
Đặt .
Ta có .
Khi đó ta tìm được thì .
Với thì .
Vậy n = 2 thì là số chính phương.
- Bài 3. Cho phương trình với là số nguyên dương. Gọi là nghiệm dương của phương trình. Dãy số được xác định như sau . Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số tự nhiên n sao cho chia hết cho .
Hướng dẫn giải
Đầu tiên ta chứng minh là số vô tỉ. Thật vậy, nếu là số hữu tỉ thì là số nguyên (do hệ số cao nhất của là 1) và là ước của 1. Do đó suy ra , trái giả thiết.
Do đó .
.
.
(1). Lại có , suy ra .
(do (1)).
Vậy . Từ đó bằng quy nạp ta có với mọi , thì (2).
Chọn , , từ (2) ta có.
.
Vậy chia hết cho , .
- Cho dãy số xác định bởi . Chứng minh rằng là số chính phương.
Hướng dẫn giải
Ta có.
.
Đặt . Ta được dãy số xác định bởi .
Ta phải chứng minh là số chính phương.
Thật vậy, xét dãy số ) xác định bởi .
Hiển nhiên dãy số là dãy số nguyên.
Ta có .
Ta sẽ chứng minh (1) bằng quy nạp.
Thật vậy, rõ ràng với , (1) đúng.
Giả sử (1) đúng đến , tức là .
ta chứng minh (1) đúng với n = k+2, nghĩa là chứng minh .
Thật vậy, theo công thức truy hồi của dãy số , giả thiết quy nạp, tính chất (2) của dãy số , công thức truy hồi của dãy số , ta có.
.
Do đó là số chính phương. Vậy ta có điều phải chứng minh.
- Cho dãy sốđược xác định bởi a là số thực
a)) Tìm a sao cho dãy số có giới hạn hữu hạn.
b) Tìm a sao cho dãy sốlà dãy số tăng (kể từ số hạng nào đó).
Hướng dẫn giải
a) Ta có, trong đó.
Khi .
Do đó tồn tại giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi .
b) Từ lý luận phần a) ta suy ra)
.
Bởi vậy điều kiện cần để tồn tại sao cho là .
Ta đi chứng minh là điều kiện đủ để có kết luận trên.
Thật vậy: Với .
.
Vì.
.
Suy ra .
Vậy dãy sốlà dãy số tăng kể từ số hạng nào đó với và trong trường hợp đó là dãy số tăng từ .
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới